Funktionentheorie: Eine Einführung, Sechste Auflage (Springer-Lehrbuch) PDF
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Springer-Lehrbuch Springer Berlin Heidelberg New York Hongkong London Mailand Paris Tokio Klaus Tanich Fun ktionen- theorie Eine Einfiihrung Sechste Auflage Mit loo Abbildungen Springer Prof. Dr. Klaus Janich Universitat Regensburg Fakultat fiir Mathematik 93040 Regensburg Deutschland e-mail: [email protected] Mathematics Subject Classification (2000): 30-01 Die 1. und r. Auflage erschienenin der Reihe Hochschulten mit dem Titel EinfUhrungin die Funktionentheorie Die Deutschc Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothekverzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet (Iber <http:lldnb.ddb.de> abrufbar. ISBN 3-540-20392-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 3-540-66152-2 3. Aufl. Springer-VerlagB erlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadurch begrundeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahmevon Abbildungen und Tabellen, der Funksen-d ung, -d er Mikroverfilmungoder der VervielMlti"e un"e auf anderen Weeen und der S~eicherunein Datenverarbeitunesanlaeen.b leiben. auch bei nur ausrugswisrr Verwcrtung, vorbchaltcn Ems Vcrvrrllngung dteses Werkes oder von Teden dheses Werker ISI auch tm Euuelfall nur In den Gremen der geselzl~chenH esltmmungen des Urheberrechtsgesrtzcs der Bundesrepubhk Dcutrchland vom 9 September 1965 In der )ewe& grllmdcn Fauung zulasslg. Sle st grundsatzkh verf-i iilun-g s- pflichtig. ~uwiderhandhn~eunnt erliegen den ~trafbestimmun~edne s~rheber~echtsgeseizes. Springer-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de @ Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1977,1980,1993.1996,1999,2004 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Amahme, dall solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetgebunga ls frei zu betrachten waren und daher von jedermann benuta werden diirften. Elnbandgestallung: dertgn oproduct~onG mbH. He~drlbcrg Gedruckt auf siurefrelem Papler SPIN. lo7d626d 441y4z:k. 5 4 3 2 I o Vorwort zur sechsten Auflage Wieder konnte ich nach freundlichen Hinweisen meiner Leser und Horer einige Ausbesserungen vornehmen, vom hl, in einer Bildunterschrift, das ein fl, sein musste his zur Verwandlung eines z in z, aber zu wirklichen Veranderungen oder Erganzungen konnte ich mich auch diesmal nicht entschlieflen. Regensburg, im Dezember 2003 K. Janich Vorwort zur vierten Auflage Im vorigen Sommer habe ich wieder ein~naFl unktionen- theorie gelesen, fur Mathematikstudenten im vierten Se- mester, und dabei dieses Buch zugrunde gelegt. Dank der dabei von meinen Horern und mir auf den Text gerichte- ten Aufmerksamkeit kann ich die vierte Auflage nun mit grofler Zuversicht, die durch die allgemeine Lebenserfah- rung nur ganz wenig gedampft ist, zur druckfehlerfreien Zone erklaren. Die ubungsaufgaben habe ich revidiert und vermehrt, die in der dritten Auflage leeren halben Seiten am Ende der Kapitel sind deshalb jetzt auch bedruckt. Allen Lesern einen freundlichen Grufl! Regensburg, im Juni 1996 K. Janich vi Vorwort Vorwort zur dritten Auflage Unter Funktionentheorie - wenn man ein Vorwort dazu benutzen darf, direlct zum kunftigen Leser zu spreehen, anstatt darin die Kenner gleichsam um Erlaubnis fur das Buch zu bitten - unter Funktionentheorie also versteht man nicht die "Theorie der Funktionen" schlechthin, vielmehr ist Funktionentheorie der traditionelle Name fur die Theorie der lcomplexwertigen analytischen oder ho- lomorphen Ffi~ktionene iner kornplexen Veriinderlichen. Diese Funktionen sind einerseits sehr gewohnlich, in den1 Sinne namlich, daB man ihnen in vielen mathema- tischen Gebieten begegnet. Polynome sind zum Beispiel - - holomorph, ebenso Sinus und Cosinus, die Exponential- funlction, der Logarithmus usw., wenn man sie als von einer komplexen Variablen abhangig auffaBt. Andererseits haben die holomorphen Funktionen er- staunliche Eigenschaften und gehorchen merkwurdigen strikten Gesetzen, die man nicht ahnen kann, wenn man diese Funktionen nus so im reellen Gewande der Analysis daherlcommen sieht . Noch zu ~neineSr tudienzeit machten die Mathematik- st,udenten meist erst in1 Hauptstudium mit der Funktio- nentheorie Bekanntschaft. Heute gehort zumindest eine Einfuhrung in die Funlctionentheorie zur Grundausbil- dung, und als eine solche Einfuhrung ist der vorliegende Text gedacht. Er heiBt zwar dritte Auflage, ist aber ei- gentlich ein unter Benutzung der zweiten Auflage neu verfaBtes Buch. Beim Schreiben habe ich mir meine Leser als 2\lIathe1natiiistudei1ttl11i m hitter1 oder viertell Seme- ster vorgestellt, die, wie ich aus meiner Lehrerfahrung weiB, durchaus keine begrifflichen Schwieriglceiten mit der Funlctionentheorie haben, denen aber in ihrer Stu- diensituation naturgemaB die Zeit fehlt, bereits ein uin- fangreiches Sllerlc durchzuarbeiten. Ich hoffe, daB dieser schinale Band nit seine~nz iigigen Tempo einige Freunde finden wid. Regensburg, in1 November 1992 Klaus Janich Inhalt sverzeichnis . 1 Holomorphe Funktionen ................. 1.1 Komplexe Differenzierbarkeit 1 ................................. 1.2 Potenzreihen 2 1.3 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen .......................5 ............................. 1.4 Ubungsaufgaben 8 ............. 1.5 Hinweise zu den Ubungsaufgaben 9 . 2 Der Cauchysche Integralsatz ............................. 2.1 Kurvenintegrale 10 2.2 Der Cauchysche Integralsatz ............................. fiir ein Rechteck 11 2.3 Cauchyscher Integralsatz fiir Bilder von Rechtecken ...................1 4 ............................ 2.4 Ubungsaufgaben 17 2.5 Hinweise zu den ubungsaufgaben ............1 8 . 3 Erste Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz ........................... 3.1 Die Cauchyformel 20 ........... 3.2 Der Potenzreihenentwicklungssatz 21 3.3 Satz von Morera und Spiegelungsprinzip .....2 4 ......... 3.4 Nullstellen holomorpher Funktionen 26 .............. 3.5 Identitatssatz und Gebietstreue 29 ............................ 3.6 Ubungsaufgaben 32 ............ 3.7 Hinweise zu den Ubungsaufgaben 33 ... vlll Inhalt sverzeichnis . 4 Isolierte Singularitaten ...... 4.1 Die drei Typen isolierter Singularitaten 35 .................... 4.2 Meromorphe Funktionen 36 ............................... 4.3 Laurentreihen 37 ................... 4.4 Laurentreihenentwicklung 40 ...... 4.5 Anwendung auf isolierte Singularitaten 42 ............................ 4.6 Ubungsaufgaben 43 ............ 4.7 Hinweise zu den Ubungsaufgaben 45 . 5 Analytische Fortsetzung Analytische Fortsetzung langs Kreisketten ...4 6 Der komplexe Logarithmus als Beispiel ......4 8 Analytische Fortsetzung langs Wegen ........5 0 Analytische Fortsetzung und Kurvenintegrale .......................5. 2 ...................... Homotopie von Wegen 54 Der Monodromiesatz ........................5 9 Ubungsaufgaben ...........................6.2 Hinweise zu den ubungsaufgaben ............6 3 . 6 Die Umlaufszahlversion des Cauchyschen Integralsatzes 6.1 Die Frage nach einer allgemeinen Fassung des Cauchyschen Integralsatzes ..............6 4 6.2 Die Umlaufszahl ...........................6.5 6.3 Die Umlaufszahlversion des Cauchyschen Integralsatzes ..............6 9 6.4 Cauchyformel und Residuensatz .............7 2 6.5 Ubungsaufgaben ............................7 4 6.6 Hinweise zu den Ubungsaufgaben ............7 6 . 7 Der Residuenkalkiil 7.1 Vorbemerkungen ...........................7.7 7.2 Integrale uber die ganze reelle Achse .........7 8 7.3 Hauptwerte ................................8.0 7.4 Integrale iiber die positive reelle Halbachse . . 83 7.5 Integrale iiber ein Interval1 ..................8 4 Inhaltsverzeichnis ix . . 7.6 Das Null- und Polstellen zahlende Integral 85 ............................ 7.7 Ubungsaufgaben 88 ........... 7.8 Hinweise zu den Ubungsaufgaben 90 . 8 Folgen holomorpher Funktionen ..................... 8.1 Kompakte Konvergenz 91 8.2 Blatterzahlen von Grenzfunktionen .........9 2 8.3 Lokal beschrankte Folgen ..................9. 4 8.4 Der Satz von Monte1 ......................9.6 ........................... 8.5 Ubungsaufgaben 97 8.6 Hinweise zu den Ubungsaufgaben ...........9 8 . 9 Satz von Mittag-Leffler und WeierstraBscher Produktsatz ................ 9.1 Der Satz von Mittag-Leffler 99 9.2 Die Partialbruchzerlegung von l/sin z ....1 00 ...................... 9.3 Unendliche Produkte 102 ........... 9.4 Der Weierstraflsche Produktsatz 104 9.5 Ubungsaufgaben .........................1. 07 ......... 9.6 Hinweise zu den Ubungsaufgaben 108 . 10 Der Riemannsche Abbildungssatz 10.1 Der Satz .................................1. 10 ....................... 10.2 Erster Beweisschritt 112 ..................... 10.3 Zweiter Beweisschritt 114 ...................... 10.4 Dritter Beweisschritt 116 .......................... 10.5 Ubungsaufgaben 117 10.6 Hinweise zu den ubungsaufgaben ......... 118 Literaturverzeichnis ............................1 19 Register .........................................1.2 0
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