Funktionentheorie: Eine Einführung

134 Pages·1999·5.47 MB·German

by  Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)

Springer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Klaus Jänich
Funktionen
theorie
Eine Einführung
Fünfte Auflage
Mit 100 Abbildungen
, Springer
Prof. Dr. Klaus Jănich
NWF 1 -Mathematik
Universităt Regensburg
Universitătsstr.31
D-93040 Regensburg
e-mail: [email protected]
Mathematics Subject Classification (1991): 30-01
Die 1. und 2. Auflage erschienen in der Reihe Hochschultext mit dem TiteI Einfilhrung
in die Funktionentheorie
Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme
Jinich, Klaus: Funktionentheorie: eine Einfilhrung / Klaus Jinich. - 5. Aufl.
(Springer-Lehrbuch)
ISBN 978-3-540-66152-8 ISBN 978-3-662-07351-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-07351-3
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4) Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1977, 1980, 1993, 1996, 1999
Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1999
Satz: Reproduktionsfertige Vorlagen vom Autor
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SPIN 10725822 44/3143 - 5432 10-Gedruckt auf silurefreiem Papier
Vorwort zur fünften Auflage
Die verschiedenen freundlichen Korrespondenten werden
die kleinen Verbesserungen bemerken, die sie angeregt
haben, wofür ich Dank sage. Sonst ist das Buch geblie
ben, wie es war.
Regensburg, im Juni 1999 K. Jänich
Vorwort zur vierten Auflage
Im vorigen Sommer habe ich wieder einmal Funktionen
theorie gelesen, für Mathematikstudenten im vierten Se
mester, und dabei dieses Buch zugrunde gelegt. Dank der
dabei von meinen Hörern und mir auf den Text gerichte
ten Aufmerksamkeit kann ich die vierte Auflage nun mit
großer Zuversicht, die durch die allgemeine Lebenserfah
rung nur ganz wenig gedämpft ist, zur druckfehlerfreien
Zone erklären.
Die Übungsaufgaben habe ich revidiert und vermehrt,
die in der dritten Auflage leeren halben Seiten am Ende
der Kapitel sind deshalb jetzt auch bedruckt.
Allen Lesern einen freundlichen Gruß!
Regensburg, im Juni 1996 K. Jänich
Vorwort
VI
Vorwort zur dritten Auflage
Unter Funktionentheorie - wenn man ein Vorwort dazu
benutzen darf, direkt zum künftigen Leser zu sprechen,
anstatt darin die Kenner gleichsam um Erlaubnis für das
Buch zu bitten - unter Funktionentheorie also versteht
man nicht die "Theorie der Funktionen" schlechthin,
vielmehr ist Funktionentheorie der traditionelle Name für
die Theorie der komplexwertigen analytischen oder ho
lomorphen Funktionen einer komplexen Veränderlichen.
Diese Funktionen sind einerseits sehr gewöhnlich, in
dem Sinne nämlich, daß man ihnen in vielen mathema
tischen Gebieten begegnet. Polynome sind zum Beispiel
holomorph, ebenso Sinus und Cosinus, die Exponential
funktion, der Logarithmus usw., wenn man sie als von
einer komplexen Variablen abhängig auffaßt.
Andererseits haben die holomorphen Funktionen er
staunliche Eigenschaften und gehorchen merkwürdigen
strikten Gesetzen, die man nicht ahnen kann, wenn man
diese Funktionen nur so im reellen Gewande der Analysis
daherkommen sieht.
Noch zu meiner Studienzeit machten die Mathematik
studenten meist erst im Hauptstudium mit der funktio
nentheorie Bekanntschaft. Heute gehört zumindest eine
Einführung in die Funktionentheorie zur Grundausbil
dung, und als eine solche Einführung ist der vorliegende
Text gedacht. Er heißt zwar dritte Auflage, ist aber ei
gentlich ein unter Benutzung der zweiten Auflage neu
verfaßtes Buch. Beim Schreiben habe ich mir meine Leser
als Mathematikstudenten im dritten oder vierten Seme
ster vorgestellt, die, wie ich aus meiner Lehrerfahrung
weiß, durchaus keine begrifflichen Schwierigkeiten mit
der Funktionentheorie haben, denen aber in ihrer Stu
diensituation naturgemäß die Zeit fehlt, bereits ein um
fangreiches Werk durchzuarbeiten. Ich hoffe, daß dieser
schmale Band mit seinem zügigen Tempo einige Freunde
finden wird.
Regensburg, im November 1992 Klaus Jänich
Inhalt sverzeichnis
1. Holomorphe Funktionen
1.1 Komplexe Differenzierbarkeit ................. 1
1.2 Potenzreihen ................................. 2
1.3 Die Cauchy-Riemannschen
Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Übungsaufgaben ............................. 8
1.5 Hinweise zu den Übungsaufgaben ............. 9
2. Der Cauchysche Integralsatz
2.1 Kurvenintegrale ............................. 10
2.2 Der Cauchysche Integralsatz
für ein Rechteck ............................. 11
2.3 Cauchyscher Integralsatz
für Bilder von Rechtecken ................... 14
2.4 Übungsaufgaben ............................ 17
2.5 Hinweise zu den Übungsaufgaben ............ 18
3. Erste Folgerungen
aus dem Cauchyschen Integralsatz
3.1 Die Cauchyformel ........................... 20
3.2 Der Potenzreihenentwicklungssatz ........... 21
3.3 Satz von Morera und Spiegelungsprinzip ..... 24
3.4 Nullstellen holomorpher Funktionen ......... 26
3.5 Identitätssatz und Gebietstreue .............. 29
3.6 Übungsaufgaben ............................ 32
3.7 Hinweise zu den Übungsaufgaben ............ 33
Inhaltsverzeichnis
Vlll
4. Isolierte Singularitäten
4.1 Die drei Typen isolierter Singularitäten ...... 35
4.2 Meromorphe Funktionen .................... 36
4.3 Laurentreihen ............................... 37
4.4 Laurentreihenentwicklung ................... 40
4.5 Anwendung auf isolierte Singularitäten ...... 42
4.6 Übungsaufgaben ............................ 43
4.7 Hinweise zu den Übungsaufgaben ............ 45
5. Analytische Fortsetzung
5.1 Analytische Fortsetzung längs Kreisketten ... 46
5.2 Der komplexe Logarithmus als Beispiel ...... 48
5.3 Analytische Fortsetzung längs Wegen ........ 50
5.4 Analytische Fortsetzung
und Kurvenintegrale ........................ 52
5.5 Homotopie von Wegen ...................... 54
5.6 Der Monodromiesatz ........................ 59
5.7 Übungsaufgaben ............................ 62
5.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben ............ 63
6. Die Umlaufszahlversion
des Cauchyschen Integralsatzes
6.1 Die Frage nach einer allgemeinen Fassung
des Cauchyschen Integralsatzes .............. 64
6.2 Die Umlaufszahl ............................ 65
6.3 Die Umlaufszahlversion
des Cauchyschen Integralsatzes .............. 69
6.4 Cauchyformel und Residuensatz ............. 72
6.5 Übungsaufgaben ............................ 74
6.6 Hinweise zu den Übungsaufgaben ............ 76
7. Der Residuenkalkül
7.1 Vorbemerkungen ............................ 77
7.2 Integrale über die ganze reelle Achse ......... 78
7.3 Hauptwerte ................................. 80
7.4 Integrale über die positive reelle Halbachse .. 83
7.5 Integrale über ein Intervall .................. 84
Inhaltsverzeichnis IX
7.6 Das Null- und Polstellen zählende Integral .. 85
7.7 Übungsaufgaben ........................... 88
7.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben ........... 90
8. Folgen holomorpher Funktionen
8.1 Kompakte Konvergenz ..................... 91
8.2 Blätterzahlen von Grenzfunktionen ......... 92
8.3 Lokal beschränkte Folgen ................... 94
8.4 Der Satz von Montel ....................... 96
8.5 Übungsaufgaben ........................... 97
8.6 Hinweise zu den Übungsaufgaben ........... 98
9. Satz von Mittag-Leffler
und Weierstraßscher Produktsatz
9.1 Der Satz von Mittag-LefHer ................ 99
9.2 Die Partialbruchzerlegung von l/sin2z .... 100
9.3 Unendliche Produkte ...................... 102
9.4 Der Weierstraßsche Produktsatz ........... 104
9.5 Übungsaufgaben :: ........................ 107
9.6 Hinweise zu den Ubungsaufgaben ......... 108
10. Der Riemannsche Abbildungssatz
10.1 Der Satz .................................. 110
10.2 Erster Beweisschritt ....................... 112
10.3 Zweiter Beweisschritt ..................... 114
10.4 Dritter Beweisschritt ...................... 116
10.5 Übungsaufgaben .......................... 117
10.6 Hinweise zu den Übungsaufgaben ......... 118
Literaturverzeichnis ............................ 119
Register .......................................... 120
1
Holomorphe Funktionen
1.1 Komplexe Differenzierbarkeit
Eine Funktion J : U -+ C auf einer offenen Teilmenge U c C
heißt komplez differenzierbar
an der Stelle Zo EU, wenn U
lim J(z) - J(zo) =: J'(zo) f
%-+%0 z - Zo -- C
existiert. Ist J überall in U kom
plex differenzierbar, so nennt
man J holomorph. Die holo- Fig. 1. Komplexwertige Funk
morphen Funktionen sind der tion auf offenem u ce
Gegenstand dieses Buches. - Ersichtlich ist eine holomorphe
Funktion immer stetig, und wie in der reellen Analysis nennt
man f' die Ableitung von J und J eine 8tammfunktion von
J'. Für die Ableitung gelten die üblichen Summen-, Produkt-,
Quotientenregeln: Sind J, 9 : U -+ C holomorph, so auch J + 9
und J. 9 und, falls 9 keine Nullstellen hat, auch J/ g, und die
Ableitungen sind
(f + g)' = J' + 9'
(f . g)' = f' . 9 + J . g'
(~)' = J'g ~ Jg'
Auch die Kettenregel finden wir wie zu erwarten vor: Sind
u.L V ~ C holomorph, so auch go J, und es gilt
(g J)'(z) = g'(f(z)). f'(z).
0
K. Jänich, Funktionentheorie
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1999