Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten: Eine Einführung mit Ausblicken

303 Pages·2001·0.88 MB·German

by  Prof. Dr. Wolfgang Ebeling (auth.)

Wolfgang Ebeling
Funktionentheorie, Differentialtopologie
und Singularititen
Aus dem Programm _____________ _
Mathematik
Dynamics in One Complex Variable
von John Milnor
Local Analytic Geometry
von Theo de Jong und Gerhard Pfister
Einfiihrung in die Symplektische Geometrie
von Rolf Berndt
Globale Analysis
von Ilka Agricola und Thomas Friedrich
Dirac-Operatoren in der Riemann'schen Geometrie
von Thomas Friedrich
Ebene algebraische Kurven
von Gerd Fischer
Elementare Aigebraische Geometrie
von Klaus Hulek
Differentialgeometrie
von Wolfgang Kiihnel
Differentialgeometrie von Kurven und Flachen
von Manfredo P. doCarmo
Funktionentheorie
von Wolfgang Fischer und Ingo Lieb
Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionentheorie
von Wolfgang Fischer und Ingo Lieb
vieweg ________________
~
Wolfgang Ebeling
Funktionentheorie,
Differentialtopologie
und Singularititen
Eine Einfiihrung mit Ausblicken
~
vleweg
Prof. Dr. Wolfgang Ebeling
Universitat Hannover
Institut fur Mathematik
Postfach 6009
30060 Hannover
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1. Auflage Marz 2001
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DOl: 10.1007/978-3-322-80224-8
Vorwort
Die Untersuchung von Singularitaten analytischer Funktionen kann als ein Teil
gebiet der Funktionentheorie mehrerer komplexer Veranderlicher und der algebrai
schen/analytischen Geometrie aufgefasst werden. Sie hat sich mittlerweile zusammen mit
der Theorie der Singularitaten differenzierbarer Abbildungen zu einem eigenstandigen
Gebiet, der Singularitatentheorie, ausgebildet. Durch ihre Beziehungen zu zahlreichen
anderen mathematischen Gebieten und Anwendungen in den Natur- und Wirtschaftswis
senschaften und in der Technik (zum Beispiel unter dem Stichwort Katastrophentheorie)
hat diese Theorie groBes Interesse gefunden. Der besondere Reiz, aber auch die beson
dere Schwierigkeit dieser Theorie liegt darin, dass in ihr tief liegende Ergebnisse und
Methoden aus verschiedenen mathematischen Gebieten zur Anwendung kommen.
Das vorliegende Buch hat zum Ziel, Grundlagen der Funktionentheorie mehrerer kom
plexer Veranderlicher darzustellen und darauf aufbauend grundlegende Konzepte der
Theorie isolierter Singularitaten holomorpher Funktionen systematisch zu entwickeln.
Es ist aus Vorlesungen entstanden, die der Verfasser mit dem Ziel gehalten hat, Stu
dierende der Mathematik im Hauptstudium vom funften Semester an in dem Gebiet
der Funktionentheorie mehrerer Veranderlicher an aktuelle Fragen der Forschung heran
zufuhren. Dementsprechend ist das Buch auch aufgebaut. An Vorwissen werden nur
Grundkenntnisse in der Funktionentheorie einer komplexen Veranderlichen und in der
Algebra vorausgesetzt, wie sie die Studierenden im Allgemeinen in den ersten vier Se
mestern ihres Studiums erwerben. Die erst en beiden Kapitel entsprechen einer wei
terfiihrenden Vorlesung uber Funktionentheorie und haben Riemann'sche Flachen und
Funktionentheorie mehrerer komplexer Veranderlicher zum lrihalt. Sie stellen auch eine
Einfiihrung in die lokale komplexe Geometrie dar. 1m dritten Kapitel werden die Ergeb
nisse auf die Deformation und Klassifikation von isolierten Singularitaten holomorpher
Funktionen angewandt. Diese drei Kapitel sind aus einem Skriptum zu den Vorlesungen
Funktionentheorie II und III, die der Verfasser im Wintersemester 1998/99 und im Som
mersemester 1999 in Hannover gehalten hat, entstanden. Teile dieses Skriptums gehen
auch auf entsprechende Vorlesungen im Wintersemester 1992/93 und im Sommersemester
1993 zuruck.
Der restliche Teil des Buches beschaftigt sich mit der topologischen Untersuchung
dieser Singularitaten, die mit dem mittlerweile klassischen Buch von J. Milnor [Mil68]
begann. Ein Hilfsmittel dazu ist die Picard-Lefschetz-Theorie, die als eine komplexe Ver
sion der Morse-Theorie angesehen werden kann. Sie ist am Anfang des zweiten Bandes
des umfangreichen zweibandigen Standardwerkes von V. 1. Arnold, S. M. Gusein-Zade
und A. N. Varchenko [AGV85, AGV88] dargestellt. Diese Bucher setzen allerdings viele
Vorkenntnisse voraus. In den letzten beiden Kapiteln des vorliegenden Buches wird ei-
vi
ne Einfiihrung in diese Theorie gegeben. 1m vierten Kapitel werden dazu zunachst die
notigen Grundlagen aus der algebraischen Topologie und Differentialtopologie zusammen
gestellt. Das fiinfte Kapitel fiihrt in die topologische Untersuchung von Singularitaten
ein. Es stlitzt sich zum Teil auf [AGV88, Part I. The topological structure of isolated
critical points of functions]. Am Ende dieses Kapitels wird ein Uberblick liber einige
aktuellere Resultate gegeben, die zum Teil ohne Beweis dargestellt werden. Den letzten
beiden Kapiteln liegt eine Vorlesung mit dem Titel "Singularitaten" zugrunde, die der
Verfasser im Wintersemester 1993/94 in Hannover gehalten hat.
Das Buch kann in TeHen ffir eine weiterfiihrende Vorlesung liber Funktionentheo
rie, eine einfiihrende Vorlesung liber Differentialtopologie und ffir eine Spezialvorle
sung/Seminar Einfiihrung in die Singularitatentheorie benutzt werden. Als Vorlage fUr
eine weiterfiihrende Vorlesung liber FUnktionentheorie eignen sich die ersten beiden Ka
pitel. Der Anfang des Abschnitts 1.1, der Abschnitt 1.2, die ersten vier Abschnitte von
Kapitel 3 und das Kapitel 4 behandeln Themen aus der Differentialtopologie, konnen
unabhangig von dem Rest des Buches gelesen werden und konnen daher als Grundlage
fUr eine einfiihrende Vorlesung liber Differentialtopologie dienen. Kapitel 3 und Kapi
tel 5 konnen als Lektfire fur ein Seminar Einfiihrung in die Singularitatentheorie benutzt
werden, wobei je nach Kenntnisstand der Teilnehmerinnen und Teilnehmer bei Bedarf
auf Resultate aus den friiheren Kapiteln zuriickgegriffen werden kann.
Natiirlich stellen die behandelten Themen nur eine kleine Auswahl aus einer groBen
Vielfalt von moglichen Themen dar. Diese Auswahl ist durch die Vorlieben und die
eigene Arbeit des Verfassers gepragt. Der Verfasser hofft aber, dass das Buch eine gute
Grundlage fur das Studium weiterfiihrender Literatur, auf die irn Literaturverzeichnis
hingewiesen wird, darstellt.
Ich danke Frau S. Guttner und Herrn Dipl.-Math. Robert Wetke sehr herzlich fUr die
sorgfaltige Erstellung des groBten Teils des D-'IEjX.-Skriptums. Besonderer Dank geblihrt
Herrn Wetke auch fUr die Anfertigung der meisten Computerzeichnungen. Herrn Dr. Mi
chael Lonne und Herrn Dr. Jorg Zintl bin ich fUr Hilfe beirn Korrekturlesen sehr dankbar.
Hannover, im Januar 2001 Wolfgang Ebeling
Inhaltsverzeichnis
1 Riemann'sche FHichen 1
1.1 Riemann'sche Fliichen 1
1.2 Homotopie von Wegen, Fundamentalgruppe 9
1.3 Uberlagerungen............ 12
1.4 Analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . 22
1.5 Verzweigte meromorphe Fortsetzung .... 27
1.6 Die Riemann'sche Flache einer algebraischen Funktion 31
1. 7 Puiseuxentwicklung........ 37
1.8 Die Riemann'sche Zahlensphare ........... . 38
2 Holomorphe Funktionen mehrerer Veranderlicher 41
2.1 Holomorphe Funktionen mehrerer Veranderlicher ......... . 41
2.2 Holomorphe Abbildungen und der Satz tiber implizite Funktionen. 54
2.3 Lokale Ringe holomorpher Funktionen 57
2.4 Der WeierstraB'sche Vorbereitungssatz 60
2.5 Analytische Mengen ......... . 70
2.6 Analytische Mengenkeime ...... . 72
2.7 Regulare und singulare Punkte von analytischen Mengen . 80
2.8 Abbildungskeime und Homomorphismen von analytischen Algebren . 85
2.9 Der verallgemeinerte WeierstraB'sche Vorbereitungssatz 91
2.10 Die Dimension eines analytischen Mengenkeims 96
2.11 Eliminationstheorie flir analytische Mengen .... 103
3 Isolierte Singularitaten holomorpher Funktionen 107
3.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 107
3.2 Tangentialbtindel und Vektorfelder 112
3.3 Transversalitat . . . . . . . . 119
3.4 Liegruppen . . . . . . . . . . 120
3.5 Komplexe Mannigfaltigkeiten 127
3.6 Isolierte kritische Punkte . 133
3.7 Die universelle Entfaltung . . 137
3.8 Morsifikationen ....... . 141
3.9 Endlich bestimmte Funktionskeime 150
3.10 Klassifikation der einfachen Singularitaten 157
3.11 Reelle Morsifikationen der einfachen Kurvensingularitaten 162
viii INHALTSVERZEICHNIS
4 Grundlagen aus der Differentialtopologie 173
4.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit Rand 173
4.2 Riemann'sche Metrik und Orientierung. . . . 175
4.3 Der Ehresmann'sche Faserungssatz . . . . . . 177
4.4 Die Holonomiegruppe eines differenzierbaren Faserbiindels . 181
4.5 SinguUixe Homologiegruppen 185
4.6 Schnittzahlen..... 191
4.7 Verschlingungszahlen..... 199
4.8 Die Zopfgruppe . . . . . . . . 201
4.9 Die Homotopiesequenz eines differenzierbaren Faserbiindels 205
5 Topologie von Singularitaten 213
5.1 Monodromie und Variation ...... . . . . . . 213
5.2 Monodromiegruppe und verschwindende Zyklen . 215
5.3 Der Satz von Picard-Lefschetz. . . . . . . . . . 219
5.4 Die Milnorfaserung . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.5 Schnittmatrix und Coxeter-Dynkin-Diagramm. . 237
5.6 Klassische Monodromie, Variation und Seifertform 242
5.7 Die Operation der Zopfgruppe. . . . . . . . . . . 247
5.8 Monodromiegruppe und verschwindendes Gitter. 257
5.9 Deformation................... 265
5.10 Polarkurven und Coxeter-Dynkin-Diagramme . . 271
5.11 Unimodale Singularitaten . . . . . . . . . . . . . 282
5.12 Die Monodromiegruppen der isolierten Hyperfiachensingularitaten 286
Literaturverzeichnis 291
Index 297
A b bildu ngsverzeichnis
1.1 Kartenwechsel.................. 1
1.2 Gitter Lund Parallelogramm P . . . . . . . . 3
1.3 Zur Definition einer holomorphen Abbildung 5
1.4 Eine Homotopie F zwischen 1'1 und 1'2 . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Die Homotopie FG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Die Homotopie F zwischen dem konstanten Weg Xo und l"y-1 . 11
1. 7 Analytische Fortsetzung langs eines Weges . . . . . 25
J
1.8 Die Riemann'sche Flache der Funktion A - z2 • • 36
2.1 Polyzylinder um 0 E C2 •••••• 44
2.2 Zur Wahl der Kugeln Bt, ... ,Bt . 72
2.3 Die Karte iP . . • . . • . . . . . . . 81
3.1 Zur Definition einer differenzierbaren Abbildung 108
3.2 Tangentialvektor . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3 Karte einer Untermannigfaltigkeit ....... 112
3.4 Schnitt eines differenzierbaren Faserbiindels 116
3.5 Tangentialvektor an eine Phasenkurve . . . 117
3.6 transversal- nicht transversal. . . . . . . . 119
3.7 Kritische Menge C und Diskriminante D . . 146
3.8 Li x T c S .................. 148
3.9 Die Gerade C x {At} schneidet die Diskriminante D transversal. 149
3.10 Xo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.11 Fasern der Abbildung f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.12 Die Niveauflache X>. . 165
3.13 Der Weg A. . . . . . . . . . . . . 165
3.14 X>'(t) fiir t = 0, 1/2, 1 . . . . . 165
3.15 Graph der Glockenfunktion X 166
3.16 Verschwindender Zyklus 15 • • 167
3.17 Koverschwindender Zyklus 15* 167
3.18 Bild von 15 und 15* unter ht . 167
3.19 Effekt der Monodromie h 168
3.20 Der Zyklus 15* - h(t5*) •• 168
3.21 Die Kurve XIR,O fur k = 6 169
3.22 Die Kurve XIR,O fur k = 7 . . . . . . . . . . 169
3.23 Das Coxeter-Dynkin-Diagram vom Typ Ak ................. 170
x ABBILDUNGSVERZEICHNIS
3.24 Coxeter-Dynkin-Diagramme der einfachen Kurvensingularitaten . 171
4.1 JR.+...................... 173
4.2 Karte einer Mannigfaltigkeit mit Rand . 174
4.3 Tangentialraum an einem Randpunkt 175
4.4 Bevorzugte Orientierung des Randes . . 178
4.5 Zur Konstruktion des Vektorfeldes X . . 179
4.6 Vertikaler und horizontaler Tangentialraum 181
4.7 Parallelverschiebung langs des Weges 'Y. . . 183
4.8 Standard-2-Simplex.............. 185
4.9 Beispiel eines relativen 1-Zyklus und eines relativen 1-Randes 189
4.10 Zum Ausschneidungssatz . 191
4.11 Umgebung U von ~1 • 192
4.12 Orientierung von ~1 • . • 193
4.13 Beispiel (A, B) = 0 . . . . 194
4.14 Zum Beweis der Behauptung 194
4.15 Verschieben des Nullschnitts . 197
4.16 Das Vektorfeld X . . . . . . . 198
4.17 Zur Definition der Verschlingungszahl 199
4.18 Eine andere Definition der Verschlingungszahl . 201
4.19 Ein Zopf mit 3 Strangen . . . . 202
4.20 Ebene Projektion eines Zopfes . 203
4.21 Der Zopf aj . . . . . . • • . 203
4.22 Ein marokkanischer Zopf. . 204
4.23 Lederstreifen mit Schlitzen . 204
4.24 Der Einheitswiirfel 12 ... 206
4.25 Eine Abbildung f : (12,11, J1) ---4 (X, A, xo) 207
4.26 Die Homotopie H . . . . . . . . 208
4.27 Die Wege f und 'Y ..••••• 209
4.28 Die Retraktion von 1q auf Jq-1 209
5.1 Verschwindender Zyklus . . . . 217
5.2 Einfache Schleife zu 'Y . . • . • 217
5.3 (Stark) ausgezeichnetes System von Wegen 218
5.4 Das Scheibenbiindel D8n 222
5.5 Das Scheibenbiindel D8n 223
5.6 Das Bild von 1lt . . . . . . 224
5.7 Die (n + I)-Zelle e . . . . 227
5.8 Zum Beweis von Lemma 4 . 227
5.9 Das Vektorfeld auf Xo \ {O} 229
5.10 Die Homotopie g . . . 231
5.11 Die Kreisscheiben 15.1)i 232
5.12 Die Mengen V und W 233
5.13 Die Mengen Xi und Yi 234
5.14 81 V 81 V 81 V 81 . . . 235
5.15 Die Schleife w . . . . . 237
5.16 wist homotop zu W/.LW/.L-1 ••• W1 239