Fundamentos de Matem atica Aplicada a Inform atica

116 Pages·2002·0.65 MB·Portuguese

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
(cid:19) ~ ^
PROGRAMA DE POS-GRADUAC(cid:24)AO EM CIENCIA DA
~
COMPUTAC(cid:24)AO
Fundamentos de Matema(cid:19)tica Aplicada (cid:18)a
Informa(cid:19)tica
PROF. JORGE MUNIZ BARRETO
PROF. MAURO ROISENBERG
PROFa. MARIA APARECIDA FERNANDES ALMEIDA
PROFa. KATIA COLLAZOS
(cid:19)
FLORIANOPOLIS, 1998
Sum(cid:19)ario
Sum(cid:19)ario iv
Lista de Figuras v
Lista de Tabelas 1
1 Hist(cid:19)oria da Matema(cid:19)tica e da Computa(cid:24)c~ao 2
1.1 Introdu(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 As Origens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 A Matem(cid:19)atica na Gr(cid:19)ecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Os Tempos de Escurid~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 O Renascimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Os Tempos Modernos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 A Era dos Computadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 L(cid:19)ogica 12
2.1 Notas Histo(cid:19)ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 L(cid:19)ogica de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 C(cid:19)alculo Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Sintaxe do Ca(cid:19)lculo Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Sema^ntica do C(cid:19)alculo Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Tabelas-Verdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.4 Tautologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.5 F(cid:19)ormula Inconsistente ou Contradi(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.6 Equival^encia de F(cid:19)ormulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.7 Regras de Infer^encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.8 Tabelas-Verdade como Forma de Valida(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . 27
2.4 C(cid:19)alculo de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1 Algumas De(cid:12)nic(cid:24)~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
i
2.4.2 Sintaxe do Ca(cid:19)lculo de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.3 Regras de Infer^encia para o C(cid:19)alculo de Predicados . . . . . . . 30
3 Teoria dos Conjuntos 34
3.1 Origens da Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Conceitos Primeiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.1 No(cid:24)c~ao de Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2 Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3 Relac(cid:24)~ao de Pertin^encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.4 Conjunto Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Conjuntos Num(cid:19)ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Propriedades dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 Conjuntos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6.1 O Conjunto Vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6.2 O Conjunto Pot^encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 A(cid:19)lgebra dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7.1 Conceito de Operac(cid:24)~oes una(cid:19)rias, bin(cid:19)arias e n-(cid:19)arias . . . . . . . 44
3.7.2 Uni~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7.3 Intersec(cid:24)~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7.4 Diferen(cid:24)ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7.5 Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.9 Propriedades das Operac(cid:24)~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9.1 Propriedade Associativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9.2 Propriedade Comutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9.3 Propriedade Distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9.4 Propriedade Re(cid:13)exiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9.5 Propriedade de Fechamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.9.6 Elemento neutro para a uni~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.9.7 Elemento neutro para a interse(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.9.8 Elemento nulo para a interse(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.10 Cardinalidade de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.10.1 Os Nu(cid:19)meros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.10.2 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.11 Paradoxos na Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.11.1 Paradoxo de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.11.2 Paradoxo de Russel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.11.3 Paradoxo do Barbeiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.11.4 Paradoxo de Burali-Forti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.11.5 Paradoxo de G(cid:127)odel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Rela(cid:24)c~oes 55
4.1 Introdu(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 De(cid:12)nic(cid:24)~ao de Rela(cid:24)c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Relac(cid:24)~oes Bin(cid:19)arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.1 De(cid:12)nic(cid:24)~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.2 Dom(cid:19)(cid:16)nio e Imagem de Relac(cid:24)~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Propriedades das Relac(cid:24)~oes Bin(cid:19)arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.1 Relac(cid:24)~ao de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.2 Relac(cid:24)~ao Re(cid:13)exiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.3 Relac(cid:24)~ao Sim(cid:19)etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.4 Relac(cid:24)~ao Transitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4.5 Relac(cid:24)~ao Anti-sim(cid:19)etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Matrizes e Grafos Representando Relac(cid:24)~oes . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6 Parti(cid:24)c~ao e Cobertura de um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7 Relac(cid:24)~ao de Equival^encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.7.1 Classe de Equival^encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.7.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.8 Relac(cid:24)~ao de Compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.9 Relac(cid:24)~ao de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.9.1 Relac(cid:24)~ao de Ordem Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.9.2 Relac(cid:24)~ao de Ordem Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.10 Relac(cid:24)~oes Externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.11 Composic(cid:24)~ao de Rela(cid:24)c~oes Bin(cid:19)arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Fun(cid:24)c~oes 72
5.1 Introdu(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Conceito de Fun(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3 Dom(cid:19)(cid:16)nio, Contradom(cid:19)(cid:16)nio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4 Tipos de func(cid:24)~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.4.1 Func(cid:24)~oes injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . 75
5.5 Fun(cid:24)c~ao Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.6 Fun(cid:24)c~ao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.7 Fun(cid:24)c~ao Caracter(cid:19)(cid:16)stica de um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.8 Fun(cid:24)c~oes de Hash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.9 Recursividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.9.1 Func(cid:24)~oes Recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.9.2 Recursividade em Linguagens de Programa(cid:24)c~ao . . . . . . . . . 89
5.10 Computabilidade de Fun(cid:24)c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.10.1 Func(cid:24)~oes comput(cid:19)aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.10.2 Func(cid:24)~oes parcialmente computa(cid:19)veis . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.10.3 Func(cid:24)~oes na~o comput(cid:19)aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.11 Modelos abstratos de um Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.11.1 Ma(cid:19)quinas de Estados Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.11.2 Ma(cid:19)quina de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Estruturas Alg(cid:19)ebricas 98
6.1 Introdu(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2 Conceitos de Estruturas Alg(cid:19)ebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3 Estruturas com uma opera(cid:24)c~ao interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4 Estruturas com duas operac(cid:24)~oes internas . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Refer^encias Bibliogr(cid:19)a(cid:12)cas 110
Lista de Figuras
3.1 Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Representac(cid:24)~ao de subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Uni~ao de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Interse(cid:24)c~ao entre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Diferen(cid:24)ca entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6 Distributividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1 Tipos de rela(cid:24)c~oes bina(cid:19)rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Grafos de diferentes tipos de relac(cid:24)~oes bin(cid:19)arias . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Grafos de relac(cid:24)~oes transitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 Grafos de relac(cid:24)~oes sim(cid:19)etricas e anti-sim(cid:19)etricas . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 Grafos de relac(cid:24)~oes bin(cid:19)arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6 Parti(cid:24)c~ao de um conjunto em classes de equival^encia . . . . . . . . . . 65
4.7 Relac(cid:24)~oes R, S e a composta R S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
(cid:14)
5.1 Dom(cid:19)(cid:16)nio, Contradom(cid:19)(cid:16)nio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2 Fun(cid:24)c~oes injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Fun(cid:24)c~ao que tem inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4 Fun(cid:24)c~ao que na~o tem inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5 Esquema de Criptogra(cid:12)a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.6 Modelo de um M(cid:19)aquina de Estados Finitos . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.7 Diagrama de Transic(cid:24)~ao de Estados para um somador sequ(cid:127)encial . . . 94
5.8 M(cid:19)aquina de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.9 Con(cid:12)gurac(cid:24)~ao de uma M(cid:19)aquina de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . 95
v
Lista de Tabelas
1.1 Tabela para multiplicar 41 por 59 pelo m(cid:19)etodo eg(cid:19)(cid:16)pcio . . . . . . . . 4
2.1 Tabela-Verdade para o operador de Nega(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Tabela-Verdade para a Conjun(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Tabela-Verdade para a Disjun(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Tabela-Verdade para o Condiconal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Tabela-Verdade para o Bicondiconal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Tabela de equival^encias de fo(cid:19)rmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1 R1 = Alunos x Disciplinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 R2 = Disciplinas x Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 R3 = Locais x Hora(cid:19)rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.1 Tabela para operac(cid:24)~ao sobre o conjunto e;o . . . . . . . . . . . . . 102
(cid:3) f g
6.2 Tabela da operac(cid:24)~ao + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3 Tabela da operac(cid:24)~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
(cid:2)
1
Cap(cid:19)(cid:16)tulo 1
Hist(cid:19)oria da Matem(cid:19)atica e da
Computac(cid:24)~ao
1.1 Introdu(cid:24)c~ao
A civiliza(cid:24)c~ao industrial baseia-se em grande parte na ci^encia e na tecnologia. En-
tretanto, as aplicac(cid:24)~oes tecnol(cid:19)ogicas com as quais nos deparamos parecem cada vez
mais envolver a humanidade em um mundo \concreto", em que as imagens e co-
munica(cid:24)c~oes reduzem dia-a-dia a necessidade de abstra(cid:24)c~ao, imagina(cid:24)c~ao e dedu(cid:24)c~ao.
Muitas pessoas, hoje em dia, preferem ir ao cinema ao inv(cid:19)es de ler um livro, ou
assistir ao notici(cid:19)ario na televisa~o ao inv(cid:19)es de l^e-lo no jornal ou escuta(cid:19)-lo no ra(cid:19)dio.
Por outro lado, a matem(cid:19)atica valoriza o pensamento abstrato, a formaliza(cid:24)c~ao, a
capacidade de reconhecer estruturas semelhantes sob um manto de detalhes irrele-
vantes. Pode-se mesmo dizer que fazer matem(cid:19)atica n~ao (cid:19)e trabalhar com nu(cid:19)meros, e
sim com abstrac(cid:24)~oes do mundo real, envolvam ou n~ao estas abstrac(cid:24)~oes quantidades
exatas e mensur(cid:19)aveis.
Talvez por causa disto, muitas pessoas encaram a matem(cid:19)atica como uma dis-
ciplina afastada das conquistas e equipamentos tecnolo(cid:19)gicos, verdadeira \torre de
mar(cid:12)m", onde se encastelam os matem(cid:19)aticos que passam a sua vida a pensar em
coisas que n~ao parecem ter a m(cid:19)(cid:16)nima aplica(cid:24)c~ao ao mundo real em que vivemos.
No entanto, isto n~ao (cid:19)e verdade. A matem(cid:19)atica (cid:19)e a base sobre a qual se assentam
as mais importantes conquistas da ci^encia e da tecnologia atuais. Como o homem
poderia ter chegado (cid:18)a Lua sem a matem(cid:19)atica? Como estudar as estrelas? Como
garantir que um computador (cid:19)e capaz de resolver um problema? Como a informac(cid:24)~ao
que chega aos nossos televisores, telefones e computadores poderia ser codi(cid:12)cada e
decodi(cid:12)cada sem a matema(cid:19)tica?
2
Com efeito, v(cid:19)arios fatores in(cid:13)uem na escolha dos assuntos de matem(cid:19)atica que
devem ser vistos como pr(cid:19)e-requisitos para o desenvolvimento da Ci^encia da Com-
puta(cid:24)c~ao. Emgeral, seleciona-se os diversost(cid:19)opicos da matema(cid:19)ticaques~ao essenciais
ao estudos das diversas a(cid:19)reas da computa(cid:24)c~ao, conhecidos a grosso modo como \Ma-
tem(cid:19)atica Discreta", deixando-se de lado os aspectos matema(cid:19)ticos utilizados para a
modelagem de fen^omenos f(cid:19)(cid:16)sicos, tais com o C(cid:19)alculo Diferencial e Integral, etc.
Os t(cid:19)opicos matem(cid:19)aticos que ser~ao vistos neste trabalho sa~o: L(cid:19)ogica, Teoria
dos Conjuntos, Rela(cid:24)c~oes e Fun(cid:24)c~oes, Grafos, Estruturas Alg(cid:19)ebricas e Teoria B(cid:19)asica
de Computabilidade. Apesar de procurarmos apresentar o assunto de uma ma-
neira did(cid:19)atica e coloquial, tentaremos manter o formalismo e a precis~ao adequada.
Tamb(cid:19)em procuraremos, sempre que poss(cid:19)(cid:16)vel, apresentar aplica(cid:24)c~oes pr(cid:19)aticas da (cid:19)area
da computa(cid:24)c~ao relacionada com os to(cid:19)picos estudados.
O objetivo principal deste cap(cid:19)(cid:16)tulo (cid:19)e tentar situar a matem(cid:19)atica atrav(cid:19)es de
uma r(cid:19)apida visa~o panor^amica da histo(cid:19)ria da matem(cid:19)atica, ressaltando os elemen-
tos hist(cid:19)oricos relacionados com a pr(cid:19)opria histo(cid:19)ria da computac(cid:24)~ao. N~ao (cid:19)e por acaso
quemuitoscientistas,responsa(cid:19)veis por grandes feitos eimpulsosno desenvolvimento
dos computadores e da computa(cid:24)c~ao emgeral, como Pascal, Babbage, Von Neumann
e Turing, entre outros, eram matema(cid:19)ticos.
1.2 As Origens
As origens da matem(cid:19)atica remontam ao pro(cid:19)prio in(cid:19)(cid:16)cio da hist(cid:19)oria da humanidade.
Os primeiros passos do pensamento matem(cid:19)atico provavelmente estavam associados
ao ato de contar cole(cid:24)c~oes de objetos discretos, e os dedos das m~aos poderiam ser
utilizados para indicar conjuntos de um, dois, tr^es, quatro ou cinco objetos, tais
como um lobo, duas (cid:19)arvores, tr^es ovelhas e assim por diante.
A descoberta da escrita deu um grande impulso nas habilidades matem(cid:19)aticas,
assim como permitiu que atrav(cid:19)es da arqueologia pudessemos conhecer como a ma-
tem(cid:19)atica evoluiu nos quatro mil^enios que antecederam a era crista~.
Foi o desenvolvimentoda agricultura que tornou o homemsedent(cid:19)ario e possibili-
touoaparecimentodas grandes civilizac(cid:24)~oessurgidas na Mesopota^mia(os babil^onios)
enasmargensdoRioNilo(oseg(cid:19)(cid:16)pcios). Estedesenvolvimentoagr(cid:19)(cid:16)colas(cid:19)ofoiposs(cid:19)(cid:16)vel
gra(cid:24)cas a utiliza(cid:24)c~ao de um calend(cid:19)ario e de sistemas de irriga(cid:24)c~ao.
Odesenvolvimentodeumcalenda(cid:19)riopressup~oealgumdesenvolvimentodaaritm(cid:19)etica,
de t(cid:19)ecnicas de observa(cid:24)c~ao astron^omica e de sistemas de medic(cid:24)~ao de a^ngulos. Entre
o IV e o III Mil^enios AC desenvolveram-se sistemas de calend(cid:19)ario bastante apura-
41 59
1 59
2 118
4 236
8 472
16 944
32 1888
Tabela 1.1: Tabela para multiplicar 41 por 59 pelo m(cid:19)etodo eg(cid:19)(cid:16)pcio
dos na Mesopot^amia e no Egito que j(cid:19)a permitiam prever com razo(cid:19)avel precis~ao as
(cid:19)epocas de enchente, plantio e colheita. Tamb(cid:19)em os sistemas de irrigac(cid:24)~ao exigiam
conhecimentos primitivos de engenharia e agrimensura. Com a agricultura abun-
dante, (cid:13)oresceu o com(cid:19)ercio e a troca de mercadorias, o que exigia conhecimentos de
aritm(cid:19)etica aplicada.
Os babil^onios, que sucederam os sum(cid:19)erios na Mesopota^mia no (cid:12)nal do terceiro
mil^enio AC possuiam um avan(cid:24)cado sistema de numerac(cid:24)~ao. Este era um sistema
posicional com base 60 (o nosso sistema de numera(cid:24)c~ao atual (cid:19)e em base 10). Eles
dividiamo dia em24 horas, cada hora em60 minutos e cada minutoem60 segundo.
Talvez o aspecto mais interessante das habilidades de ca(cid:19)lculo dos babil^onios sejam
as suas tabelas para aux(cid:19)(cid:16)lio ao c(cid:19)alculo.
Para tornar a multiplica(cid:24)c~ao mais f(cid:19)acil, os babil^onios usavam a f(cid:19)ormula a:b =
2 2 2
((a+b) a b )=2, sendo esta a raz~ao da exist^encia das tabelas de quadrados de
(cid:0) (cid:0)
nu(cid:19)meros, achadas por arque(cid:19)ologos.
Os eg(cid:19)(cid:16)pcios, assim como os romanos possuiam um sistema de numera(cid:24)c~ao que
n~ao era muito adequado para opera(cid:24)c~oes aritm(cid:19)eticas. No entanto, os eg(cid:19)(cid:16)pcios eram
muitopragm(cid:19)aticos emsua utilizac(cid:24)~ao da matem(cid:19)atica. Emumpapiro datado de 1850
AC, encontra-se um exemplo num(cid:19)erico concreto do c(cid:19)alculo do volumede um tronco
de pir^amide de base quadrada. Em outro papiro, chamado de papiro de Rhind,
encontra-se a recomenda(cid:24)c~ao de como multiplicar 41 por 59. \Pegue 59 e some a ele
mesmo, ent~ao some o resultado com ele mesmo e assim por diante".
Como 64 (cid:19)e maiorque 41, n~ao (cid:19)e necessa(cid:19)rio continuar. proceda-se agora as seguin-
tes subtrac(cid:24)~oes:
41 32 = 9;9 8 = 1;1 1 = 0
(cid:0) (cid:0) (cid:0)