fundamentos de análise infinitesimal

381 Pages·2016·3.07 MB·Portuguese

FUNDAMENTOS DE
ANÁLISE INFINITESIMAL
(5ª edição)
Mário S. R. Figueira
Textos de Matemática, Volume 5 (5.ª edição)
Departamento de Matemática
Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 2011
Editores: Gracinda Gomes Moreira da Cunha, Fernando Ferreira
Título: (cid:41)(cid:88)(cid:81)(cid:71)(cid:68)(cid:80)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:82)(cid:86)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:3)(cid:36)(cid:81)(cid:105)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:44)(cid:81)(cid:192)(cid:81)(cid:76)(cid:87)(cid:72)(cid:86)(cid:76)(cid:80)(cid:68)(cid:79)
Autor: Mário S. R. Figueira
ISBN: 972 - 8394 - 04 - 7
No centen´ario do nascimento de
Vicente Gonc¸alves (1896-1985) : Matem´atico e Linguista
Homenagem
Aos meus Pais
Pref(cid:19)acio
Este volume foi escrito com base nas notas referentes `a disciplina
de An´alise Infinitesimal do primeiro ano das licenciaturas em Matem´atica
(ramo cient´ıfico e do ensino), e por n´os professada, durante alguns anos,
no Departamento de Matema´tica da FCUL . Para al´em dos tradicionais
temas abordados nas obras de an´alise matem´atica a uma vari´avel (limite
e continuidade, diferenciabilidade, integrac¸˜ao e primitivac¸˜ao, sucess˜oes
e s´eries de fun¸c˜oes) introduziu-se um cap´ıtulo sobre desenvolvimentos
assint´oticos, o que permite, n˜ao s´o atacar os limites indeterminados mas
sobretudo, estruturar de forma sistem´atica a quest˜ao da convergˆencia dos
integrais impr´oprios e das s´eries num´ericas.
O livro ´e dirigido especialmente aos alunos do primeiro ano das
licenciaturas em Matem´atica e exigem-se alguns conhecimentos sobre a
teoria elementar dos conjuntos (o princ´ıpio da indu¸c˜ao, por exemplo,´e por
n´osusadocomalgumafrequˆencia)bemcomoalgunsrudimentosde´algebra
ean´aliseelementares(essencialmente,aquiloqueseesperatersidomat´eria
do ensino secund´ario).
Os nu´meros reais s˜ao introduzidos no cap´ıtulo primeiro de forma
axiom´atica. E´, na nossa opini˜ao, o processo mais direto de apresentar o
corpoR,quandosepretendeevitaraselaboradas(eabstratas)construc¸˜oes
dos reais. No final do cap´ıtulo, s˜ao dadas as noc¸˜oes b´asicas sobre o corpo
dosnu´meroscomplexos;destessefar´ausoemalgumaspartesdaexposic¸˜ao.
No cap´ıtulo segundo, dedicado `as sucess˜oes e s´eries num´ericas, d´a-se
especial atenc¸˜ao `a no¸c˜ao de sucess˜ao de Cauchy, como condic¸˜ao necess´aria
e suficiente de convergˆencia. Aqui apenas se apresentam as primeiras
definic¸˜oeseresultadosgeraissobreass´eriesnum´ericas,deixandoparamais
tarde, como foi j´a referido, a quest˜ao central da convergˆencia.
Nos cap´ıtulos terceiro e quarto s˜ao estudadas a continuidade e dife-
renciabilidadedasfun¸c˜oesreaisaumavari´avel, enocap´ıtuloquinto´efeita
ii
a construc¸˜ao do integral de Riemann em R. A primitivac¸˜ao ´e apresentada
comosec¸c˜aodestecap´ıtulo,nasequˆenciadoconceitodeintegralindefinido.
Combasenano¸c˜aodefun¸c˜aodevariac¸˜aolimitadadefine-se“comprimento
de arco” de uma curva plana, o que nos permite apresentar uma defini¸c˜ao
rigorosa das fun¸c˜oes trigonom´etricas e das suas inversas.
Na reda¸c˜ao do cap´ıtulo sexto, dedicado aos desenvolvimentos assin-
t´oticos, seguimos de perto os fasc´ıculos da obra de Bourbaki sobre as
func¸˜oes reais de vari´avel real. A exposi¸c˜ao ´e ilustrada com inu´meros
exemplos, tornando-se assim mais simples e acess´ıvel.
Nos u´ltimos cap´ıtulos abordam-se as sucess˜oes e s´eries de func¸˜oes
e apresenta-se uma introdu¸c˜ao cl´assica das s´eries de Fourier. E´ com
especial relevo que se analisa a no¸c˜ao de convergˆencia uniforme; pretende-
-se que o aluno reconhec¸a a importˆancia deste conceito, verificando como,
por exemplo, a continuidade e integrabilidade se conservam na passagem
ao limite uniforme. Trata-se, com efeito, de um conceito que estabelece
exemplarmenteatransic¸˜aodaan´alisecl´assicaparaoestudotopol´ogicodos
espa¸cos de fun¸c˜oes, tema central da An´alise Funcional e, mais geralmente,
de toda a an´alise moderna.
Foram v´arias as pessoas, por entre colegas e alunos, que contribu´ıram
para o aperfeic¸oamento deste texto. Refiro, em particular, o meu
colega Miguel Ramos, o qual me acompanhou durante alguns anos na
leciona¸c˜ao da disciplina de An´alise Infinitesimal e cujas observa¸c˜oes e co-
ment´arios,semprepertinentes,permitiramumamaiorelegˆancianaredac¸˜ao
matema´tica apresentada.
Finalmente,torna-seobrigat´oriaumareferˆenciaaLu´ısTrabucho,meu
colega e um dos editores desta colec¸˜ao de textos. Foi o seu empenho
e entusiasmo que levaram `a elabora¸c˜ao deste volume, e foi ainda a sua
competˆencia que permitiu superar algumas dificuldades t´ecnicas surgidas
nacompilac¸˜aodolivro. E´ poiscomgrandesatisfa¸c˜aoqueaquilheexprimo
o meu reconhecimento.
Esperamosqueestasnotas,agoraapresentadasemlivro,possamserde
alguma utilidade para todos aqueles que se interessam pelos fundamentos
da An´alise. Se assim for, sentir-nos-emos amplamente recompensados, e
ser´acomgratid˜aoqueevocaremosamem´oriadeMestreVicenteGon¸calves,
de quem tivemos o privil´egio de ser disc´ıpulo e admirador.
Lisboa, Dezembro de 1996
(cid:19)
INDICE GERAL
Cap. 1 O Corpo dos Nu(cid:19)meros Reais
1.1. O corpo R dos nu´meros reais. Axiom´atica. 1
1.2. Representac¸˜ao dos reais. Potˆencia de R. 6
Representa¸c˜ao geom´etrica dos reais. Cortes de Dedekind.
1.3. Majorar. Minorar. 13
Princ´ıpio do supremo e do´ınfimo. Desigualdades.
1.4. Func¸˜oes reais de vari´avel real. Propriedades gerais. 19
Func¸˜oes mon´otonas. Composic¸˜ao de fun¸c˜oes. Fun¸c˜ao
inversa. Supremo e´ınfimo de uma fun¸c˜ao.
1.5. Introdu¸c˜ao elementar dos nu´meros complexos. 27
Exerc´ıcios 36
Cap. 2 Sucesso~es e S(cid:19)eries Reais
2.1. Sucess˜oes convergentes. Sucess˜oes de Cauchy. 43
Sucess˜oesmon´otonas. Propriedadesalg´ebricasdoslimites.
Exemplos.
2.2. S´eries reais. Generalidades e primeiros resultados. 55
S´eries de termos positivos. S´eries alternadas. S´eries de
Dirichlet. Comutatividade e associatividade das s´eries.
Produto de s´eries.
2.3. Elementos de topologia em R 67
No¸c˜ao de vizinhanc¸a. Ponto interior, exterior e fronteiro.
Pontos de acumula¸c˜ao. Sublimites de uma sucess˜ao.
Exerc´ıcios 77
iv
Cap. 3 Limite e Continuidade
3.1. No¸c˜ao de limite. Propriedades gerais. 85
Limites relativos. Limites laterais. Limite de fun¸c˜ao
mon´otona. Limite superior e inferior de uma fun¸c˜ao.
3.2. Func¸˜oes cont´ınuas. Primeiras propriedades. 100
Descontinuidades. Exemplos.
3.3. Teoremas fundamentais da continuidade. 104
Func¸˜oes cont´ınuas em intervalos. Func¸˜oes cont´ınuas em
compactos. Continuidade uniforme.
3.4. As func¸˜oes exponencial e logar´ıtmica. 114
Exerc´ıcios 123
Cap. 4 Introduc(cid:24)~ao ao C(cid:19)alculo Diferencial
4.1. Deriva¸c˜ao de fun¸c˜oes reais. Defini¸c˜oes e exemplos. 129
Derivadas laterais. Derivac¸˜ao em R. Deriva¸c˜ao da func¸˜ao
composta. Deriva¸c˜ao da fun¸c˜ao inversa. Deriva¸c˜ao de
func¸˜oes mon´otonas. Pontos cr´ıticos. Extremos locais.
4.2. Teoremas globais do c´alculo diferencial. 143
Teoremas de Rolle, Darboux e Lagrange. Regra de
L’Hospital e regra de Cauchy.
4.3. A F´ormula de Taylor. Aplica¸c˜oes. 153
Deriva¸c˜aodeordemsuperior. Af´ormuladeTaylor-Peanoe
Taylor-Lagrange. Aplica¸c˜ao ao estudo do comportamento
de uma fun¸c˜ao. Pontos de inflex˜ao e concavidade local.
No¸c˜ao de ass´ıntota.
Exerc´ıcios 171
Cap. 5 O Integral de Riemann
5.1. Primeiras defini¸c˜oes. Motiva¸c˜ao geom´etrica. 179
5.2. Somas de Darboux 183
Constru¸c˜ao do integral de Riemann. Propriedades alg´e-
bricas do integral
5.3. Caracterizac¸˜ao das fun¸c˜oes integr´aveis. 194
5.4. O integral indefinido. 200
Teorema Fundamental do C´alculo. No¸c˜ao de primitiva. A
f´ormula de Barrow.
v
5.5. Os teoremas cl´assicos do c´alculo integral. 208
Mudanc¸a de vari´avel no integral. Teoremas da m´edia.
5.6. T´ecnicas de primitiva¸c˜ao. 213
Primitivas imediatas. Primitiva¸c˜ao por partes e substi-
tui¸c˜ao. Primitiva¸c˜aodasfun¸c˜oesracionais. Racionalizac¸˜ao
de algumas func¸˜oes.
5.7. Os integrais impr´oprios. 232
Defini¸c˜oes e primeiros resultados.
5.8. Func¸˜oes de varia¸c˜ao limitada. 238
No¸c˜ao de varia¸c˜ao total. Continuidade e varia¸c˜ao total.
Comprimento de arco. Definic¸˜ao rigorosa das fun¸c˜oes
trigonom´etricas.
Exerc´ıcios 249
Cap. 6 Desenvolvimentos Assinto(cid:19)ticos
6.1. Func¸˜oes padr˜ao. 260
6.2. Rela¸c˜oes de comparac¸˜ao: relac¸˜oes fracas e fortes. 261
6.3. Propriedades e c´alculo das rela¸c˜oes de compara¸c˜ao. 264
6.4. Desenvolvimentos assint´oticos. 267
Defini¸c˜oes. A ´algebra dos desenvolvimentos assint´oticos.
Exemplos.
6.5. Aplica¸c˜oes ao c´alculo dos limites. 278
6.6. Convergˆencia de integrais impr´oprios. 281
6.6. Convergˆencia de s´eries de termos positivos. 288
Exerc´ıcios 296
Cap. 7 Sucesso~es e S(cid:19)eries de Func(cid:24)o~es.
7.1. Convergˆencia pontual e uniforme. 303
Defini¸c˜oes. Exemplos. Crit´erio de Weierstrass para a
convergˆencia uniforme.
7.2. S´eries de potˆencias. 310
Intervalo de convergˆencia nas s´eries de potˆencias. Con-
vergˆencia uniforme para as s´eries de potˆencias.
vi
7.3. Integra¸c˜ao e deriva¸c˜ao termo a termo. 314
7.4. S´eries de Taylor. 322
S´erie de Taylor e s´erie de Mac-Laurin. Func¸˜oes anal´ıticas.
Exemplos.
Exerc´ıcios 330
Cap. 8 S(cid:19)eries de Fourier.
8.1. Func¸˜oes peri´odicas. 336
8.2. S´eries de Fourier. Introduc¸˜ao. 341
No¸c˜ao de s´erie trigonom´etrica. Coeficientes de Fourier.
Exemplos.
8.3. Os teoremas de convergˆencia. 349
O teorema de Jordan. Exemplos. A aproxima¸c˜ao polino-
mial de Weierstrass.
Exerc´ıcios 363
1. O Corpo dos Nu´meros Reais 1
1
O Corpo dos Nu(cid:19)meros Reais
1.1. O Corpo R dos nu(cid:19)meros reais. Axiom(cid:19)ati
a.
O nosso ponto de partida ´e o conjunto Q dos nu´meros racionais
no qual se admitem conhecidas todas as propriedades alg´ebricas (como
corpo comutativo totalmente ordenado), bem como as usuais inclus˜oes,
N Z Q,emqueNeZrepresentamosconjuntosdosnu´merosnaturais
⊂ ⊂
einteiros,respetivamente. Faremosaquiumaapresentac¸˜aoaxiom´atica(n˜ao
construtiva)doconjuntoRdosnu´merosreaisemostramosemseguidaque
Q R a menos de um isomorfismo, isto ´e, Q deve ser isomorfo a um
sub⊂conjuntoQ˜ R;exibiremosaindaumarepresentac¸a˜oparaoselementos
⊂
de R.
SejadadoumconjuntoR,na˜ovazio,munidodeduasoperac¸o˜es,soma
e produto, representadas respetivamente por + e . tais que
(x,y) R R x+y R
∈ × −→ ∈
(x,y) R R x.y R
∈ × −→ ∈
e de uma relac¸a˜o de ordem
x y,
≤
satisfazendo os seguintes grupos de axiomas: