Table Of Content

Fundamentos da Teoria Ergo´dica Krerley Oliveira e Marcelo Viana ii Prefácio Em termos simples, a Teoria Ergo´dica é a disciplina matemática que estuda sistemas dinâmicos munidos de medidas invariantes. Come¸caremos por dar as defini¸co˜es precisas destas no¸co˜es e por analisar as principais motivaço˜es para o seu estudo, após o que mencionaremos alguns momentos marcantes da história desta disciplina. Ao final do prefaćio esboçaremos o conteu´do deste livro e a sua organizaçaõ,bem como os requisitos desejáveis para o seu estudo. Sistemas dinâmicos Ha´ váriasdefini¸co˜es, mais oumenosgerais,do queéum sistema dinâmico. No´s nos restringiremos a dois modelos principais. O primeiro deles, ao qual nos referiremos na maior parte do tempo, são as transformaço˜es f : M M em → algum espa¸co M. Heuristicamente, pensamos em f como associando a cada estado x M do sistema o estado f(x) M em que o sistema se encontrará ∈ ∈ uma unidade de tempo depois. Trata-se portanto de um modelo de dinâmica com tempo discreto. Tambémconsideraremosfluxos,quesãomodelosdesistemasdinâmicoscom tempocont´ınuo. LembrequeumfluxoemM éuma fam´ıliaft :M M,t R → ∈ de transformaço˜es satisfazendo f0 = identidade e ft fs =ft+s para todo t,s R. (0.0.1) ◦ ∈ Fluxos aparecem, por exemplo, associados a equa¸co˜es diferenciais: tome como ft a transformaçaõ que associa a cada ponto x o valor no tempo t da solu¸caõ da equa¸caõ que passa por x no tempo zero. Num caso e no outro, sempre suporemos que o sistema dinâmico é mensura´vel, ou seja, que o espa¸co M esta´ munido de uma σ-álgebra de subconjun- tos ditos mensura´veis e que essa σ-álgebra é preservada pela dinâmica: a pré- imagem de qualquer conjunto mensurável também é um conjunto mensurável. Na maior parte dos casos, M será um espa¸co topológico, ou até um espa¸co métrico,munidodamenorσ-álgebraquecontémtodososabertos(σ-álgebrade Borel). De fato, em muitas das situaço˜es que consideraremosao longo do livro, suporemos mesmo que M é uma variedade e que a dinâmica é diferencia´vel. iii iv Medidas invariantes Sempreconsideraremosmedidasµdefinidanaσ-álgebradoespa¸coM. Dizemos que µ é uma probabilidade se µ(M)=1. Na maior parte dos casos trataremos com medidas finitas, isto é, tais que µ(M) < . Neste caso sempre podemos ∞ transformar µ numa probabilidade ν: para isso basta definir µ(E) ν(E)= para cada conjunto mensurável E M. µ(M) ⊂ Em geral, uma medida µ diz-se invariante pela transformaçaõ f se µ(E)=µ(f−1(E)) para todo conjunto mensurável E M. (0.0.2) ⊂ Heuristicamente,istosignificaqueaprobabilidadedeumpontoestarnumdado conjunto é igual à probabilidade de que a sua imagem esteja nesse conjunto. Note que a defini¸caõ (0.0.2) faz sentido, uma vez que, por hipótese, a pré- imagem de qualquer conjunto mensurável aindaé um conjunto mensurável. No caso de fluxos, substitu´ımos a rela¸caõ (0.0.2) por µ(E)=µ(f−t(E)) para todo mensurável E M e todo t R. (0.0.3) ⊂ ∈ Por que estudar medidas invariantes? ComoemtodoramodaMatema´tica,parteimportantedamotivaçãoéintr´ınseca e estética: estas estruturas matemáticas têm propriedades profundas e surpre- endentes que conduzem à demonstra¸caõ de bel´ıssimos teoremas. Igualmente fascinante, idéias e resultados da Teoria Ergo´dica se aplicam em outras áreas da Matema´tica que a priori nada têm de probabil´ıstico, por exemplo a Combi- natória e a Teoria dos Nu´meros. Outra razaõ para este estudo é que muitos fenômenos importantes na Na- tureza e nas ciências experimentais são modelados por sistemas dinâmicos que deixaminvariantealgumamedidainteressante. Oexemplomaisimportante,his- toricamente, veio da F´ısica: sistemas hamiltonianos, que descrevem a evoluçaõ de sistemas conservativos na mecânica newtoniana, correspondem a fluxos que preservam uma medida natural, a medida de Liouville. Aliás veremos que sistemas dinâmicos muito gerais possuem medidas invariantes. Ainda outra motivaçaõfundamentalparaque nos interessemospor medidas invariantes é que o seu estudo pode conduzir a informa¸caõ importante sobre o comportamento dinâmico do sistema, que dificilmente poderia ser obtida de outro modo. O Teorema de Recorrência de Poincaré, um dos primeiros que estudaremos neste livro, ilustra bem o que acabamos de dizer: ele afirma que a órbita de quase todo ponto, relativamente a qualquer medida invariante finita, regressa arbitrariamente perto do ponto inicial. Breve apresenta¸cão histo´rica Apalavraergódico éoresultadodaconcatenaçaõdeduaspalavrasgregas,ergos = trabalho e odos = caminho, e foi introduzida pelo f´ısico L. Boltzmann, no v século19,noseutrabalhosobreateoriacinéticadosgases. Ossistemasemque L. Boltzmann, J. C. Maxwell, J. C. Gibbs, os principais fundadores da teoria cinética,estavaminteressadossãodescritospor umfluxohamiltoniano,ouseja, uma equa¸caõ diferencial da forma dq dq dp dp ∂H ∂H ∂H ∂H 1 n 1 n ,..., , ,..., = ,..., , ,..., . dt dt dt dt ∂p ∂p −∂q −∂q (cid:18) (cid:19) (cid:18) 1 n 1 n(cid:19) Boltzmannacreditavaqueasórbitast´ıpicasdofluxopreenchemtodaasuperf´ıcie de energiaH−1(c) que as contém. A partir desta hipótese ergódica, ele deduziu queasmédiastemporaisdegrandezasobserváveis(fun¸co˜es)aolongodeórbitas t´ıpicas coincidem com as respectivas médias espaciais na superf´ıcie de energia, um fato crucial para a sua formulaçaõ da teoria cinética. De fato, esta hipótese é claramente falsa e, com o tempo, tornou-se usual chamar hipótese ergo´dica ao que seria uma consequência dela, a saber, que as médias temporais e espaciais são iguais. Sistemas para os quais vale esta igualdade foram chamados ergódicos. E pode dizer-se que boa parte da Teoria Ergo´dica, tal como ela se desenvolveu ao longo do século 20, foi motivada pelo problema de decidir se a maioria dos sistemas hamiltonianos, especialmente aqueles que aparecem na teoria cinética dos gases, são ergo´dicos ou naõ. Um avan¸co fundamental ocorreunos anos trinta, quando os matemáticos J. von Neumann e G. D. Birkhoff provaram que médias temporais existem para quase toda órbita. No entanto, em meados dos anos cinquenta, o grande ma- temático russo A. N. Kolmogorov observou que muitos sistemas hamiltonianos naõ são ergo´dicos. Este resultado espectacular foi muito expandido por V. Ar- noldeporJ.Moser,noqueveioaserchamadoteoriaKAMemhomenagemaos três. Por outro lado, ainda nos anos trinta, E. Hopf tinha dado os primeiros exemplos importantes de sistemas hamiltonianos ergo´dicos, os fluxos geodési- cos de superf´ıcies com curvatura negativa. O seu resultado foi generalizado por D. Anosov, nos anos sessenta, para variedades de qualquer dimensão. De fato, Anosov tratou uma classe bem mais geral de sistemas, tanto com tempo cont´ınuo como com tempo discreto, que são chamados sistemas de Anosov, ou sistemas globalmente hiperbo´licos. Uma classe ainda mais ampla de sistemas, chamadosuniformementehiperbo´licos,foiintroduzidaporS.Smale,econstituiu um importante foco da teoria dos Sistemas Dinaˆmicos ao longo das u´ltimas décadas. Nos anos setenta, Ya. Sinai desenvolveu a teoria das medidas de Gibbs dos sistemasdeAnosov,conservativosoudissipativos,quefoilogoemseguidaesten- dida por D. Ruelle e por R. Bowen para sistemas uniformemente hiperbo´licos, constituindo uma das maiores realizaço˜es da teoria ergo´dica diferencia´vel. Naõ podemos deixar de mencionar,nesta breve lista de contribui¸co˜es fundamentais, a introduçaõ da no¸caõ de entropia por Kolmogorov e Sinai no final dos anos cinquenta, e a demonstra¸caõ,por D. Ornstein cerca de dez anos depois, de que aentropiaéuminvariantecompletoparadeslocamentos(“shifts”)deBernoulli: dois deslocamentos de Bernoulli são equivalentes se, e somente se, eles têm a mesma entropia. vi Histo´rico sucinto Este livro foi desenvolvido a partir de notas de curso que escrevemos para os participantes de minicursos ministrados na Escola de Verão do Departamento de Matema´tica da Universidade Federal de Pernambuco (Recife), em janeiro de 2003, e do encontro Novos Talentos em Matema´tica da Funda¸caõ Calouste Gulbenkian (Lisboa), em setembro de 2004. Nos dois casos, o pu´blico estava formado majoritariamente por alunos jo- vens que naõ tinham contato prévio com a Teoria Ergo´dica (em muitos casos nem mesmo com a Teoria da Medida) e tornava-se necessário fornecer material bastante acess´ıvel que permitisse a esses alunos acompanhar minimamente as ideias principais a serem expostas. Ainda neste esta´gio, o texto foi utilizado por colegas, tais como o professor Vanderlei Horita (UNESP), para ministrar minicursos a pu´blicos com um perfil semelhante. Aolongododesenvolvimentodotexto,buscamospreservarocaráterelemen- tardoscap´ıtulosiniciais,especialmenteosCap´ıtulos1e2,detalformaqueeles possamserutilizadosdeformaindependente,comumm´ınimodepré-requisitos. Sobretudo a partir do minicurso ministrado no Colóquio Brasileiro de Ma- temática (IMPA, Rio de Janeiro)de 2005,este projeto foi adquirindo objetivos mais abrangentes. Gradualmente, fomos evoluindo para tentar apresentar num texto coerente, com formato de livro de texto, o material que consideramos formaronućleocentraldaTeoriaErgo´dica. Paraissonosinspiramosfortemente nanossaprópriaexperiênciacomopesquisadoresdaárea,buscandoreunirnuma apresenta¸caõ unificada as no¸co˜es e resultados que se mostraram importantes para o extraordinário desenvolvimento que esta área tem vivido nas u´ltimas décadas. Umapreocupaçaõimportantefoitentarmanterotextoomaisposs´ıvelauto- contido. De fato, a Teoria Ergo´dica se apoia em diversas disciplinas da Ma- temática, com destaque para a Teoria da Medida, a Topologia e a Análise. No Cap´ıtulo0 coligimosasprincipaisno¸co˜ese resultadosdestasdisciplinas quesão u´teis para o restante do texto. De um modo geral,as demonstra¸co˜essão omiti- das, já que existem diversos excelentes textos sobre estes temas. Uma exce¸caõ são os resultados sobre medidas em espa¸cos métricos (Se¸caõ 0.3), para as quais optamos por incluir provas dos fatos que mais nos interessam. Por outro lado, pressupomos que o leitor conhece os conceitos e resultados fundamentais da A´lgebra Linear, inclusive a forma canônica de Jordan. Organiza¸cão do texto O corpo principal do livro esta´ formado pelos Cap´ıtulos 1 a 12, que podem ser organizados do seguinte modo: OsCap´ıtulos1a4formamumaespéciedecicloba´sico,noqualapresenta- • mosasno¸co˜eseresultadosfundamentaisdaTeoriaErgo´dica-invariância, recorrência e ergodicidade - bem como alguns exemplos principais. O Cap´ıtulo 3 introduz os resultados fundamentais (teoremas ergo´dicos) em torno dos quais esta´ constitu´ıda toda a teoria. vii OCap´ıtulo4,ondeintroduzimosano¸caõdeergodicidade,éumdospontos • fulcraisdestetexto. Osdoiscap´ıtulosseguintes(Cap´ıtulos5e6)desenvol- vemalgunstemasimportantesrelacionadoscomessano¸caõ: decomposi¸caõ de medidas invariantes em medidas ergo´dicas e sistemas admitindo uma uńica medida invariante. Os Cap´ıtulos 7 a 9 tratam temas bastante diversos - perda de memória, • problemadoisomorfismoeentropia-masseestruturamdeformacoerente em torno da ideia de estudar sistemas cada vez mais ‘cao´ticos’: sistemas misturadores,sistemascomespectrodeLebesgue,sistemasdeKolmogorov e sistemas de Bernoulli. OCap´ıtulo9éoutropontofulcraldotexto. Alémdeapresentarano¸caõde • entropia,buscamosdaraoleitor a oportunidadede observareste conceito riqu´ıssimo sob diversos pontos de vista. Essa teoria se articula natural- mente com o conteu´do do Cap´ıtulo 10, onde desenvolvemos a vertente topológica da no¸caõ de entropia. Os Cap´ıtulos 11 e 12 são dedicados a uma classe paradigmática de sis- • temas, as transformaço˜es expansoras, que nos permitem exibir uma aplica¸caõ concreta (e espetacular!) de muitas das ideias gerais apresentadas ao longo do texto. Vemos o Teorema de Ruelle e suas aplica¸co˜es como o culminar natural de todo o texto. Exemplos e aplica¸co˜es têm um papel fundamental em qualquer disciplina matemática e isso é particularmente verdade no caso da Teoria Ergo´dica. Por esta razaõ,dedicamos particular atençaõ à apresenta¸caõ de situaço˜es concretas que ilustram e valorizam os resultados gerais. Tais exemplos e constru¸co˜es são introduzidos gradativamente, buscando para cada um o contexto que melhor real¸caasuarelevância. Tipicamente,elesreaparecememcap´ıtulossubsequentes para ilustrar os conceitos fundamentais que vamos introduzindo. Os exerc´ıcios incluidos em cada se¸caõ têm uma funçaõ tripla. Num n´ıvel maisrotineiro,elespermitemadquirirfamiliaridadecomosconceitoseousodos resultados apresentados no texto. Também deixamos para os exerc´ıcios alguns argumentosedemonstra¸co˜esquenaõsãousadosnasequênciadotextoe/ouque pertencem a áreas afins mais elementares (Topologia, Teoria da Medida etc). Finalmente, exerc´ıcios mais sofisticados testam a compreensão global da teoria apresentada. Parafacilidadedoleitor,numase¸caõaofinaldolivroapresentamos solu¸co˜es mais ou menos detalhadas de todos os exerc´ıcios. Como utilizar este livro Os comenta´riosa seguir se destinam, prioritariamente,ao leitor que vaiutilizar este livro para ministrar um curso. OCap´ıtulo0constituifontedereferênciasparamaterialqueprecedeocurso. Emprinc´ıpio,elenaõseráobjetodeapresenta¸caõemaula,excetopontualmente, em caso de necessidade. viii O conteu´do dos Cap´ıtulos 1 a 12 é adequado para um curso anual, ou uma sequência de dois cursos semestrais. Se o leitor dispõe desse tempo, podera´ tentar cobrir a grande maioria do material, possivelmente reservando alguns to´picos para seminários apresentados pelos alunos. As seguintes se¸co˜es são especialmente adequadas para esse fim: Se¸caõ 1.5, Se¸caõ 2.5, Se¸caõ 3.4, Se¸caõ 4.4, Se¸caõ 6.4, Se¸caõ 7.3, Se¸caõ 7.4, Se¸caõ 8.3 Se¸caõ 8.4, Se¸caõ 8.5, Se¸caõ 9.5, Se¸caõ 9.7, Se¸caõ 10.4, Se¸caõ 10.5, Se¸caõ 11.1, Se¸caõ 11.3, Se¸caõ 12.3 e Se¸caõ 12.4. Neste formato, o teorema de Ruelle (Teorema 12.1) constitui a conclusão natural para o curso. Caso o leitor disponha apenas de um semestre, será necessário selecionar o material mais fundamental para apresenta¸caõ em aula. A sugestão dos autores é buscar cobrir o seguinte programa: Cap´ıtulo 1: Se¸co˜es 1.1, 1.2 e 1.3. • Cap´ıtulo 2 Se¸co˜es 2.1 e 2.2. • Cap´ıtulo 3: Se¸co˜es 3.1, 3.2 e 3.3. • Cap´ıtulo 4: Se¸co˜es 4.1, 4.2 e 4.3. • Cap´ıtulo 5: Se¸caõ 5.1 (mencionar o teorema de Rokhlin). • Cap´ıtulo 6: Se¸co˜es 6.1, 6.2 e 6.3. • Cap´ıtulo 7: Se¸co˜es 7.1 e 7.2. • Cap´ıtulo 8: Se¸caõ 8.1 (mencionar o teorema de Ornstein). • Cap´ıtulo 9: Se¸co˜es 9.1, 9.2, 9.3 e 9.4. • Cap´ıtulo 10: Se¸co˜es 10.1 e 10.2. • Cap´ıtulo 11: Se¸caõ 11.1. • Neste formato, o curso podera´ ser encerrado com a demonstra¸caõ do princ´ıpio variacional para a entropia (Teorema 10.1) ou com a constru¸caõ de medidas invariantes absolutamente cont´ınuas para transformaço˜es expansoras em variedades (Teorema 11.1.2). Em qualquer dos casos, procuramos elaborar o texto de tal forma que o professor possa se concentrar na apresenta¸caõ das ideias e resultados centrais, deixando a cargo do aluno estudar por si mesmo muitas das demonstra¸co˜es e resultadoscomplementares. Ase¸caõfinal,comasdicasesolu¸cõesdosexerc´ıcios, épartedesseesfor¸coparafacilitaroestudoautônomodoaluno. Defato,dedica- mosbastanteesfor¸coafazerqueasdemonstra¸co˜essejamamiga´veis,detalhando cuidadosamente os argumentos e incluindo referências expl´ıcitas aos resultados anteriores que estaõ sendo utilizados, bem como aos pontos do texto onde as no¸co˜espertinentesforamintroduzidas. Alémdisso,apardapresençaregularde exemplosedosexerc´ıciosaofinaldecadase¸caõ,naõhesitamosemapresentara mesma no¸caõ de dois ou mais pontos de vista sempre que isso nos pareceu u´til para a sua compreensão em profundidade. ix Agradecimentos A elaboraçaõ deste texto se estendeu por mais de uma década. Ao longo desse tempo recebemos sugestões, comenta´rios e cr´ıticas construtivas de um grande nu´mero de colegas e alunos. A lista que mencionamos a seguir esta´ certamente incompleta e desde já nos desculpamos a qualquer um que tenha sido omitido inadvertidamente. A primeira versão das Se¸co˜es 0.1-0.2 foi escrita por João Gouveia, V´ıtor Saraiva e Ricardo Andrade, os quais atuaram como monitores do minicurso no evento Novos Talentos em Matema´tica 2004, que mencionamos previamente. Diversos colegas utilizaram versões variadas do texto para ministrar minicursos e nos brindaram com as conclusões de suas experiências. Além de VanderleiHorita(UNESP),NivaldoMuniz (UFMA) eMeysamNassiri(Teera˜), gostar´ıamos de ressaltar os copiosos comenta´rios de V´ıtor Arau´jo (UFRJ e, agora, UFBA), que influenciaram significativamente o modo como o texto foi evoluindo. François Ledrappier (Paris) nos ajudou com algumas questo˜es rela- tivas aos sistema resultantes de substitui¸co˜es. Sucessivas gera¸co˜es de alunos dos cursos de po´s-gradua¸cão do IMPA e da UFAL nos facultaram testar o texto na sala de aula. O retorno dado por Aline Gomes Cerqueira, ErmersonAraujo, Rafael Lucena e Xiao-Chuan Liu nos per- mitiu corrigir muitas das debilidades do texto. Edileno de Almeida Santos, Felippe Soares Guimarães, Fernando Nera Lenarduzzi,Ítalo Dowell Lira Melo, Marco Vinicius Bahi Aymone e Renan Henrique Finder escreveram boa parte das dicas para os exerc´ıcios dos Cap´ıtulos 0 a 8. Krerley Oliveira 1 e Marcelo Viana 2 1Departamento de Matema´tica, Universidade Federal de Alagoas, Campus A. C. Simões s/n,57072-090Maceio´,Brasil. [email protected]. 2IMPA,EstradaD.Castorina110,22460-320RiodeJaneiro,Brasil. [email protected]. x