Fundamentals of the Monte Carlo method for neutral and charged particle transport

348 Pages·2000·2.743 MB·English

by  Bielajev A.F.

Fundamentals of the Monte Carlo method
for
neutral and charged particle transport
Alex F Bielajew
The University of Michigan
Department of Nuclear Engineering and Radiological Sciences
2927 Cooley Building (North Campus)
2355 Bonisteel Boulevard
Ann Arbor, Michigan 48109-2104
U. S. A.
Tel: [phone]
Fax: [phone]
email: [email protected]
(cid:13)c 1998 Alex F Bielajew
(cid:13)c 1998 The University of Michigan
February 11, 2000
2
Preface
This book arises out of a course I am teaching for a two-credit (26 hour) graduate-level
course Monte Carlo Methods being taught at the Department of Nuclear Engineering and
Radiological Sciences at the University of Michigan.
AFB, February 11, 2000
i
ii
Contents
1 What is the Monte Carlo method? 1
1.1 Why is Monte Carlo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Some history . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Elementary probability theory 15
2.1 Continuous random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 One-dimensional probability distributions . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Two-dimensional probability distributions . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Cumulative probability distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Discrete random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Random Number Generation 25
3.1 Linear congruential random number generators . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Long sequence random number generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Sampling Theory 35
4.1 Invertible cumulative distribution functions (direct method) . . . . . . . . . 36
4.2 Rejection method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Mixed methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Examples of sampling techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4.1 Circularly collimated parallel beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4.2 Point source collimated to a planar circle . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4.3 Mixed method example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
iii
iv CONTENTS
4.4.4 Multi-dimensional example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 Error estimation 53
5.1 Direct error estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Batch statistics error estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Combining errors of independent runs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Error estimation for binary scoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5 Relationships between S2 and s2, S2 and s2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
x x x x
6 Oddities: Random number and precision problems 63
6.1 Random number artefacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Accumulation errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7 Ray tracing and rotations 75
7.1 Displacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2 Rotation of coordinate systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.3 Changes of direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.4 Putting it all together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8 Transport in media, interaction models 85
8.1 Interaction probability in an in(cid:12)nite medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.1.1 Uniform, in(cid:12)nite, homogeneous media . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.2 Finite media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.3 Regions of di(cid:11)erent scattering characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.4 Obtaining (cid:22) from microscopic cross sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.5 Compounds and mixtures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.6 Branching ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.7 Other pathlength schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.8 Model interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.8.1 Isotropic scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.8.2 Semi-isotropic or P scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1
CONTENTS v
8.8.3 Rutherfordian scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.8.4 Rutherfordian scattering|small angle form . . . . . . . . . . . . . . 96
9 Lewis theory 99
9.1 The formal solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.2 Isotropic scattering from uniform atomic targets . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10 Geometry 107
10.1 Boundary crossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10.2 Solutions for simple surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.2.1 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.3 General solution for an arbitrary quadric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.3.1 Intercept to an arbitrary quadric surface? . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.3.2 Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.3.3 Circular Cylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.3.4 Circular Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.4 Using surfaces to make objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.4.1 Elemental volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.5 Tracking in an elemental volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.6 Using elemental volumes to make objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.6.1 Simply-connected elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.6.2 Multiply-connected elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.6.3 Combinatorial geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.7 Law of reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
11 Monte Carlo and Numerical Quadrature 151
11.1 The dimensionality of deterministic methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11.2 Convergence of Deterministic Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.2.1 One dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.2.2 Two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
vi CONTENTS
11.2.3 D dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
11.3 Convergence of Monte Carlo solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
11.4 Comparison between Monte Carlo and Numerical Quadrature . . . . . . . . 156
12 Photon Monte Carlo Simulation 161
12.1 Basic photon interaction processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
12.1.1 Pair production in the nuclear (cid:12)eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
12.1.2 The Compton interaction (incoherent scattering) . . . . . . . . . . . 165
12.1.3 Photoelectric interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
12.1.4 Rayleigh (coherent) interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12.1.5 Relative importance of various processes . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.2 Photon transport logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
13 Electron Monte Carlo Simulation 179
13.1 Catastrophic interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
13.1.1 Hard bremsstrahlung production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
13.1.2 M(cid:28)ller (Bhabha) scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
13.1.3 Positron annihilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
13.2 Statistically grouped interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
13.2.1 \Continuous" energy loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
13.2.2 Multiple scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
13.3 Electron transport \mechanics" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
13.3.1 Typical electron tracks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
13.3.2 Typical multiple scattering substeps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
13.4 Examples of electron transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
13.4.1 E(cid:11)ect of physical modeling on a 20 MeV e− depth-dose curve . . . . 184
13.5 Electron transport logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
14 Electron step-size artefacts and PRESTA 203
14.1 Electron step-size artefacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
CONTENTS vii
14.1.1 What is an electron step-size artefact? . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
14.1.2 Path-length correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
14.1.3 Lateral deflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
14.1.4 Boundary crossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
14.2 PRESTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
14.2.1 The elements of PRESTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
14.2.2 Constraints of the Moli(cid:18)ere Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
14.2.3 PRESTA’s path-length correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
14.2.4 PRESTA’s lateral correlation algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
14.2.5 Accounting for energy loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
14.2.6 PRESTA’s boundary crossing algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . 231
14.2.7 Caveat Emptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
15 Advanced electron transport algorithms 237
15.1 What does condensed history Monte Carlo do? . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
15.1.1 Numerics’ step-size constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
15.1.2 Physics’ step-size constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
15.1.3 Boundary step-size constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
15.2 The new multiple-scattering theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
15.3 Longitudinal and lateral distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
15.4 The future of condensed history algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
16 Electron Transport in Electric and Magnetic Fields 257
16.1 Equations of motion in a vacuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
~ ~ ~ ~
16.1.1 Special cases: E =constant, B = 0; B =constant, E = 0 . . . . . . . . 259
16.2 Transport in a medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
16.3 Application to Monte Carlo, Benchmarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
17 Variance reduction techniques 275
17.0.1 Variance reduction or e(cid:14)ciency increase? . . . . . . . . . . . . . . . . 275
viii CONTENTS
17.1 Electron-speci(cid:12)c methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
17.1.1 Geometry interrogation reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
17.1.2 Discard within a zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
17.1.3 PRESTA! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
17.1.4 Range rejection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
17.2 Photon-speci(cid:12)c methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
17.2.1 Interaction forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
17.2.2 Exponential transform, russian roulette, and particle splitting . . . . 287
17.2.3 Exponential transform with interaction forcing . . . . . . . . . . . . . 290
17.3 General methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
17.3.1 Secondary particle enhancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
17.3.2 Sectioned problems, use of pre-computed results . . . . . . . . . . . . 292
17.3.3 Geometry equivalence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
17.3.4 Use of geometry symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
18 Code Library 299
18.1 Utility/General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
18.2 Subroutines for random number generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
18.3 Subroutines for particle transport and deflection . . . . . . . . . . . . . . . . 321
18.4 Subroutines for modeling interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
18.5 Subroutines for modeling geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
18.6 Test routines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335