Funciones de Variable Compleja

311 Pages·2002·33.03 MB·Spanish

by  A.K. Boiarchuk, traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko.

MATEMÁTICA
SUPERIOR
PROBLEMAS
RESUELTOS
A. K. Boiarthuk
Variable compleja
Funciones de
variable compleja
1ATEMATI/IKA
URSS
ISliK 22. Ih73, 22.161.6
BonpnyK Anwceü KjmMenmbeeuH
Cnpasoinoe noco6»e no Buciiieft MAXEMATHKE. TOM 4. Macrb 1.
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Boiarchuk Alekséi Klimiéntievich
Matemática superior. Problemas resueltos* Tomo 5-
Variable compleja: funciones de variable compleja.
Traducido de la edición rusa (Editorial URSS, Moscú, 2001)
La colección "AntiDemidóvich" que proponemos al lector abarca casi todas las ramas de las
matemáticas.
En "Variable compleja" se resuelven detalladamente casi cuatrocientos problemas de dificultad
media o alta. Este tomo incluye un repaso de las estructuras fundamentales del análisis
matemático, números complejos, funciones de variable compleja y un estudio detallado de
las funciones elementales en el plano complejo.
Reservados todos los derechos en todos los idiomas y en todos los países del mundo. Quedan
rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las
sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio
o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de
ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
ISBN 5-8360-0452-8 (Obra completa)
ISBN 5-8360-0453-6 (Tomo 5)
© Obra original: Editorial URSS, 1997, 2002
© Traducción y obra en español: Editorial URSS, 2002
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© Diseño gráfico y diseño del texto; Editorial URSS, 2002
Director Domingo Marín Ricoy
Director financiero Viktoria Ma lish ettko
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KHM*HOM npoAYKUKM Ns 77.<t)UL. 8.953.11.270.3. 9O9T 30.03.99 r. FlOAnucaH Ko nesaTM 24.07.2002 r.
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Tel./fax; 7 [phone]
E-mail: [email protected]
Prólogo a
"Variable compleja"
Entre los textos recomendados para el estudio de la teoría de funciones de
variable compleja hay muchos manuales y materiales didácticos muy com-
pletos que tienen por autores a científicos de fama más que reconocida:
A. I. Markushévich, M. A. Lavriéntiev, B. V. Shabat, 1.1. Priválov, A. V. Bitsadze,
M. A. Evgráfov, A. Hurwitz, R. Courant, etcétera. Lamentablemente, en lo que
respecta al volumen, elección y distribución del material, la mayoría de estos
libros no están adaptados a los programas de los cursos de teoría de funcio-
nes de variable compleja que habitualmente se imparten en las facultades de
matemáticas y física de las universidades de Rusia y otros países de la CEI.
Separar de un libro voluminoso el material principal de modo que se forme
un curso íntegro, lógicamente acabado y ajustado al programa de estudios no
es fácil ni para un profesor con poca experiencia, ni para un estudiante o un
posgraduado.
Las razones anteriores motivaron al autor a escribir un libro que
corresponda al nivel actual de los programas universitarios del curso de teoría
de funciones de variable compleja que no esté saturado de detalles y que
contenga un gran número de problemas resueltos. En este tomo se resuelven
detalladamente casi cuatrocientos problemas de dificultad media o alta.
Muchos libros de teoría de funciones de variable compleja se caracterizan
por contener desacuerdos e imprecisiones en la terminología básica. Por ejemplo,
en distintos lugares de un mismo libro el concepto de función analítica puede
tener un sentido diferente. El autor ha tenido en cuenta este hecho; todos
los conceptos considerados en el presente libro tienen un sentido claramente
determinado.
En el comienzo de la obra se da una definición rigurosa de función
(y no su descripción, como se suele hacer en la mayor parte de los manuales),
se consideran las operaciones con conjuntos y los aspectos principales de la
teoría de espacios métricos. Sin incluir este material en el libro, sería imposible
exponer las cuestiones principales al nivel matemático que se requiere en la
actualidad. Por ello, incluso una lectura rápida de ese pequeño capítulo es muy
aconsejable para entender el resto de la obra, en donde se exponen los temas
tradicionales de la teoría de las funciones analíticas, creada en el siglo XIX,
primordialmente gracias a las obras de A. Cauchy, B. Riemann y K. Weierstrass.
En el libro se presta mucha atención a las cuestiones prácticas relacio-
nadas con las transformaciones conformes.
El autor
"x
\
Capítulo 1
Estructuras fundamentales
del análisis matemático
En este capítulo se incluyen los conocimientos básicos referentes
a la teoría de conjuntos y aplicaciones que se usarán más adelante
en la exposición del material básico del libro. Se examina de
forma bastante completa la teoría de los espacios métricos, se dan
los conceptos básicos, y se utiliza la notación establecida en los
cursos de análisis matemático moderno.
§ 1. Elementos de la teoría
de conjuntos y aplicaciones
1.1. Símbolos lógicos
En las matemáticas, en lugar de expresiones verbales a menudo
se utilizan símbolos adoptados de la lógica. Así, en vez de las
expresiones "para todo", "para cada", "para cualquier" se utiliza
el símbolo V, y en lugar de la palabra "existe", el símbolo 3 . Estos
símbolos se denominan, respectivamente, cuantificador universal
y cuantificador existenciaL Las frases "para todo..." y "existe..."
suelen ir acompañadas de ciertas restricciones, anotadas entre
paréntesis. En lugar de la frase "tal que" se utilizan dos puntos
o una barra vertical.
El enunciado de cada teorema contiene una propiedad A
(premisa) y una propiedad B (conclusión) deducible de A.
Brevemente la expresión "A implica B" se denota en la forma
"A ^ B" (=> es el símbolo de implicación). El teorema recíproco,
si éste es válido, se escribe en la forma B A. Si el teorema y su
recíproco son válidos, las propiedades A y B son equivalentes.
En este caso se escribe A B es el símbolo de equivalencia)
y se dice: "Para A es necesario y suficiente B", o bien "A si,
y sólo si, B".
Si un objeto posee una propiedad A o una propiedad B,
entonces se escribe A V B, o también "A o B" {V es el símbolo de
disyunción). La notación A V B significa que es válida al menos
una de las propiedades A o B.
Si ambas propiedades A y B son válidas simultáneamente,
este hecho se escribe en la forma A A B, o "A y B" (A es el
símbolo de conjunción).
La notación ->A significa "no A", "no es válida A" (-» es
el símbolo de negación).
En lugar de la expresión "existe un único" se utiliza el
símbolo !, y la expresión "es igual por definición" se denota
mediante el símbolo
Toda proposición puede escribirse utilizando sólo símbolos
lógicos. En este caso la negación de una propiedad P escrita con
ayuda de cierto número de cuantificadores V y 3 se obtiene cam-
biando cada cuantificador V por 3 , 3 por V y la propiedad P
por su negación. Por ejemplo, sea f(x) una función numérica de
variable real. Entonces la propiedad de f(x) de ser continua en
todo punto de la recta numérica se escribe en la forma siguiente:
(V a € M) (V e > 0) (3 £ > 0) {V £ £ K , \x - a\ < 6):
\f(x) - f(a)\ < e;
mientras que la propiedad de f(x) de no ser siempre continua, es
decir, de ser discontinua al menos en un punto, se escribe como
sigue:
(3 a e R) (3 £ > 0) (V¿> > 0) (3 x € R, \x - a| < 6):
|/(¡c) - f(a)| >
Para demostrar algunos teoremas utilizaremos el método
de reducción al absurdo, haciendo uso, además, de la ley del
tercio excluso (ley de contradicción). Según esta ley la proposición
A V (A o no A) se considera válida independientemente del
contenido de la proposición A. Señalemos que A, es
decir, la doble negación es equivalente al enunciado inicial
1.2. Notaciones utilizadas
en la teoría de conjuntos
El concepto de conjunto se considera primario, por eso nos
limitaremos a la exposición de los términos y notaciones que
serán necesarios más adelante.
Los conjuntos se denotan mediante letras mayúsculas, por
ejemplo, M. La expresión a E M se lee así: "a es un elemento
del conjunto M" o "a pertenece al conjunto M". La notación
M 3 x se lee así: "el conjunto M contiene el elemento x". Si
el elemento x no pertenece al conjunto M, entonces se escribe
x g M, o bien M ? x. La expresión M ~ {a, b,c, } se lee así:
"M es el conjunto compuesto de los
elementos a,b,c, etc." Nótese que un
conjunto puede contener un solo ele-
mento, por ejemplo, M — {a}. Si cier-
tos elementos del conjunto M gozan de
una propiedad P, entonces la notación
M\ = {a £ M: a tiene la propiedad P}
se lee: "M\ es el conjunto de todos los
elementos a del conjunto M que tienen
la propiedad P". Por ejemplo, la nota-
ción M\ — {x £ R: x ^ 0} representa
el conjunto de todos los números reales
no negativos. Los símbolos E y 3 se Fig. 1
áenortúnansímbolos de pertenencia.
Al definir un conjunto mediante cierta propiedad, frecuen-
temente no se sabe de antemano si existen o no elementos que
posean dicha propiedad. Por tanto, es conveniente introducir el
conjunto que no contiene ningún elemento. Dicho conjunto se
denomina vacío y se denota mediante el símbolo 0.
Sean M\ y dos conjuntos. Si cada uno de los ele-
mentos del conjunto Mi pertenece al conjunto M entonces el
2/
conjunto M\ se denomina subconjunto del conjunto M2 (fig. 1).
En este caso se escribe M\ C Mi, o bien M2 D M\ y se lee:
"el conjunto M2 incluye al conjunto Mi". Los símbolos C y D
se denominan símbolos de inclusión.
Los conjuntos compuestos de los mismos elementos se
consideran iguales. Es evidente que Mi = M2 (Mi C M ) A
2
(M C Mi).
2
wmmm:
l! .
,
m^1
¿t t i : >: "- . :.;! .•<:> • < : < :s :• \ • • : •
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Si en el conjunto M\ hay elementos que no pertenecen al
conjunto M , entonces M\ no está contenido en M y se escribe
2 2
Mi <£ M , O bien M 7) Mi.
2 2
Señalemos que todo conjunto M contiene el conjunto vacío
como su subconjunto. En efecto, en caso contrario, el conjunto
vacío contendría al menos un elemento que no pertenece al
conjunto M. Pero el conjunto vacío no tiene ningún elemento.
En adelante usaremos las notaciones siguientes:
0 es el conjunto vacío;
exp M es el conjunto de todos los subconj untos de M;
N es el conjunto de los números naturales;
I*o es el conjunto de los números enteros no negativos;
Z es el conjunto de los números enteros;
Q es el conjunto de los números racionales;
E es el conjunto de los números reales;
C es el conjunto de los números complejos.
1.3. Números naturales.
Método de inducción matemática
Uno de los conjuntos más importantes en las matemáticas es
el conjunto N de los números naturales. En este conjunto está
definida la operación de adición y se verifican las siguientes
propiedades:
1) si n 6 N, entonces (n + 1) e N;
2) si un conjunto M contiene el 1 y, además, de n 6 M
siempre se deduce que (n + 1) € M, entonces M D N.
La propiedad 2) se denomina hipótesis de inducción. Blas
Pascal (1623-1662) fue el primero que propuso un método de
demostración basado en la inducción, conocido como método de
inducción matemática (completa), el cual consiste en lo siguiente.
Supongamos que para las proposiciones A\, A , A ... se
2 5/
verifican los dos lemas de Pascal:
Lema 1. La proposición A\ es válida.
Lema 2. Para todo n 6 N, de la validez de A se deduce la validez de la
n
proposición A +\.
n
Entonces, todas las proposiciones A\, A2,... son válidas.
Como vemos, el método de inducción matemática se
reduce a la hipótesis de inducción. En efecto, supongamos
que M = {n £ N: A es válida}. Entonces, por el lema 1
n
tenemos que 1 £ M, y partiendo del lema 2 se deduce que
n € M (n + 1) £ M. De acuerdo con la hipótesis de inducción
(Vil £ N): n £ M, es decir, todas las proposiciones A\, A . •.
2/
son válidas.
Demostremos, por ejemplo, que Vn £ N se verifica la
igualdad
p « n(n +1)(2 n + 1)
(1)
fc—1
Comprobando directamente, vemos que se verifica el le-
ma 1 Suponiendo que la igualdad (1) se cumple para n 6 N,
tenemos
n+1
g n(n l)(2n l )
f c2 = + + + (n + 1)2 =
(n + l)(2n2 + 7n + 6) _ (n 4- l)(n + 2)(2n + 3)
" 6 " 6 ;
es decir, el lema 2 también es válido. Así pues, la fórmula (1)
queda demostrada.
1.4. Operaciones elementales con conjuntos
Definición 1. Se denomina intersección de los conjuntos M y M al
x 2
conjunto
Mi O M - {a: a £ Mi A a £ M }.
2 2
Sean Mi £ expM, M £ expM. La intersección de los
2
conjuntos Mi y M está compuesta sólo de los elementos que
2
pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos Mi, M (fig. 2).
2
Si tales elementos no existen, los conjuntos U y M-
x
2 se
denominan disjuntos y se escribe M n M ~ 0 (fig. 3). '
x 2
Definición 2. Se denomina unión de los conjuntos M y M al conjunto
x 2
MiUM = {a: a 6 M v a e M }.
2 x 2
La unión de los conjuntos M y M se compone de los
x 2
r T(irrenecen por io menos a un°de ios coniunt°s
y
M
M
Fig. 4
conjunto^11 3' & ^ ^^ ^^ de bs CO niuntos Y al
M \ M = {a: a £ M\ A a £ M V.
2 2