Frobenius-Schur-Indikatoren in Charakteristik 2

113 Pages·2007·0.923 MB·German

by  Sebastian Stigler

Frobenius-Schur-Indikatoren in
Charakteristik 2
von
SS

D
inMathematik
vorgelegtder
FakultätfürMathematik,InformatikundNaturwissenschaftender
Rheinisch-WestfälischeTechnischeHochschuleAachen
März2007
Angefertigtam
LehrstuhlDfürMathematik
bei
ProfessorDr.G.Hiß
ii
Inhaltsverzeichnis
Notation v
Vorwort xiii
1. TheoretischeGrundlagen 1
§1.1.SymmetrischeBilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
§1.2.QuadratischeFormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§1.3.DieorthogonaleGruppeundderSatzvonWitt. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§1.4.Die Klassifikation der (halb-)regulären quadratischen Formen über endlichen
KörpernundderenorthogonaleGruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§1.5.DieBrückezurDarstellungstheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2. Algorithmen 45
§2.1.G-invariantequadratischeFormenalgorithmischbestimmen . . . . . . . . . . 46
§2.1.1.AlgorithmusundKorrektheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§2.1.2.ComputerversusBleistiftundPapier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§2.1.3.GrobeLaufzeit-undSpeicherplatzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§2.2.AlgorithmuszurBerechnungdesOrthogonalitätstypderquadratischenForm . 56
§2.2.1.AlgorithmusundKorrektheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§2.2.2.GrobeLaufzeit-undSpeicherplatzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . 61
§2.3.DieAnwendungderAlgorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3. Der FG-ModulistfürdieAlgorithmennichtgeeignet-wasnun? 65
§3.1.GrundbegriffeausderKategorientheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
§3.1.1.ÄquivalenzvonKategoriernundMorita-Äquivalenz . . . . . . . . . . 66
§3.1.2.Hom-und⊗-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§3.1.3.DualeundkontragredienteModuln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§3.2.EinführungindieTechnikderKondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
§3.2.1.DerKondensier-undEntkondensierfunktor . . . . . . . . . . . . . . . 71
§3.2.2.TreueundnichttreueIdempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
§3.2.3.EinigepraktischeÜberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
§3.3.AnwendbarkeitderKondensationaufunsereProbleme . . . . . . . . . . . . . 78
§3.4.Vorgehenbeinichteinfachen FG-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A. EineÜbersichtdergetestetenDarstellungen,derenIndikatorundWitt-Index 85
iii
Inhaltsverzeichnis
Literaturverzeichnis 95
Stichwortverzeichnis 97
iv
Notation
Kapitel1
b(x,y) ................................................. 1
symmetrischeBilinearform.
F⊥ ................................................. 2
derzuF orthogonaleUntermodul(von E ⊇ F).
radE ................................................. 2
dasRadikalvon E.
E∗ ................................................. 2
derzuE dualeModul.
b ................................................. 2
F
der durch die Bilinearform b induzierte Homomorphis-
musvon E nach F∗.
(E,b) ................................................. 2
einModulE mitsymmetrischerBilinearform.
x = (x ,...,x ) ................................................. 3
1 n
P
derKoordinatenvektorvonx = xe bezüglichderBa-
i i
sise = (e ,...,e ).
1 n
Tt ................................................. 3
diezurMatrixT transponierteMatrix.
b ................................................. 3
e e
dieGram-MatrixvonbbezüglichderBasise.
v
Inhaltsverzeichnis
d(e ,...,e ) ................................................. 3
1 n
dieDeterminantevon b .
e e
A× ................................................. 3
dieEinheitengruppevon A.
A×2 ................................................. 3
dieQuadrateinderEinheitengruppevon A.
* b11 ··· b1n +
.. .. ................................................. 4
. .
bn1 ··· bnn
einfreierModuldessenBilinearform,beigeeigneterBa-
 
siswahl,dieGram-Matrixebe = b1...1 ··· b1...nhat.
bn1 ··· bnn
hb ,...,b i ................................................. 4
1 n
einfreierModuldessenBilinearform,beigeeigneterBa-
siswahl, eine Gram-Matrix in Diagonalgestalt mit den
Einträgenb ,...,b hat.
1 n
e# ................................................. 6
diezuedualeBasisvon E.
x ≡ y ................................................. 7
n
Kurzschreibweisefür x ≡ y mod n.
q(x) ................................................. 9
quadratischeForm.
b (x,y) ................................................. 9
q
diezurquadratischenFormqgehörigesymmetrischeBi-
linearform.
(E,q) ................................................. 9
einModul E mitquadratischerForm.
(E,q) ’ (E0,q0) ................................................. 9
oder kurz E ’ E0, steht dafür, dass es zwischen E und
E0 einebijektiveIsometriegibt.
vi
Inhaltsverzeichnis
(E,q) | (E0,q0) ................................................. 9
dieorthogonaleSummequadratischerModuln.
 
a11 aa1222 ·..·.· a1n ................................................ 10
ann
einquadratischerModul,fürdenq(x) = x(a )xt gilt.
ij
[a ,...,a ] ................................................ 10
1 n
P P
ein quadratischer Modul für den q( xe) = a x2
i i i i i i
gilt.
H, H(A) ................................................ 11
diehyperbolischeEbene(überdemRing A).
S ................................................ 11
n
diesymmetrischeGruppeaufnPunkten.
Fix(π) ................................................ 12
dieMengederFixpunktevonπ.
Mov(π) ................................................ 12
dieMengedervonπbewegtenPunkte.
mfix(π) ................................................ 12
er kleinste Fixpunkt von π (so es denn überhaupt einen
gibt).
d0(e ,...,e ) ................................................ 12
1 n
Ln
die Halbdeterminante von (E = Ae,q) (n unge-
i=1 i
rade).
charA ................................................ 13
dieCharakteristikvonA.
H(G) ................................................ 15
derzuGgehörendehyperbolischeModul.
O(E,q) ................................................ 17
dieorthogonaleGruppevon(E,q).
vii
Inhaltsverzeichnis
s ................................................ 17
e
dieSpiegelungentlange.
S(E,q) ................................................ 18
derSpiegelungsnormalteilerinO(E,q).
ind(E) ................................................ 26
derWitt-Indexvon E.
E+(F) ................................................ 31
2n l
der2n-dimensionaleF-VektorraummitWittindexn.
l
E− (F) ................................................ 31
2n l
der2n-dimensionaleF-VektorraummitWittindexn−1.
l
E (F) ................................................ 31
2n+1 l
der2n+1-dimensionaleF-Vektorraum[1] | | nH.
l
Eε (F) ................................................ 31
2n+1 l
der2n+1-dimensionaleF-Vektorraum[ε] | | nH.
l
O+(F) ................................................ 31
2n l
dieorthogonaleGruppeeines2n-dimensionalen
F-VektorraumsmitWittindexn.
l
O− (F) ................................................ 31
2n l
dieorthogonaleGruppeeines2n-dimensionalen
F-VektorraumsmitWittindexn−1.
l
O (F) ................................................ 31
2n+1 l
dieorthogonaleGruppeeines2n+1-dimensionalen
F-Vektorraums.
l
B(V ,V ) ................................................ 33
1 2
der F-Vektorraumder F-BilinearformenaufV ×V .
1 2
B (V) ................................................ 35
0
der F-VektorraumderG-invariantenBilinearformen.
viii
Inhaltsverzeichnis
Q (V) ................................................ 37
0
der F-Vektorraum derG-invarianten quadratischen For-
menaufV.
S(V) ................................................ 38
dersymmetrischeTeilmodulvonV⊗ V.
F
A(V) ................................................ 38
derantisymmetrischeTeilmodulvonV⊗ V.
F
V(2) ................................................ 38
derFG-Modul,derzuV viadesFrobeniusautomorphis-
musa 7→ a2 desperfektenKörpersF algebraischkonju-
giertist.
ιV ................................................ 42
derFrobenius-Schur-IndikatorvonV.
Kapitel2
V ................................................ 46
dieDatenstrukturGModulbezüglichdesFG-ModulsV.
O(f) ................................................ 54
dieKomplexitätsklassederFunktion f.
P(V) ................................................ 58
derprojektiveRaumüberV.
P(V) ................................................ 58
EsgiltS˙ {xF} = P(V).
x∈P(V)
Kapitel3
ObC ................................................ 66
dieKlassederObjektederKategorieC.
MorC ................................................ 66
dieKlassederMorphismenderKategorieC.
ix
Inhaltsverzeichnis
mod ................................................ 66
A
Kategorienderendlicherzeugten A-Linksmoduln.
mod ................................................ 66
B
Kategorienderendlicherzeugten B-Rechtsmoduln.
mod ................................................ 66
A B
Kategorienderendlicherzeugten A−B-Bimoduln.
id ................................................ 66
C
derIdentitätsfunktoraufderKategorieC.
Z(A) ................................................ 67
dasZentrumvon A.
Hom (M,=) ................................................ 68
A
derkovarianteHom-Funktor.
−⊗ N ................................................ 68
A
der(indererstenVariable)kovariante⊗-Funktor.
Hom (−,N) ................................................ 68
A
derkontravarianteHom-Funktor.
M⊗ = ................................................ 68
A
der(inderzweitenVariable)kovariante⊗-Funktor.
D(−) ................................................ 69
FunktordesDualisierns.
K(−) ................................................ 69
derKontragredienzfunktor.
Soc(V) ................................................ 69
derSockelvonV.
eAe ................................................ 71
dieHeckeAlgebrazue.
x