Fragments de supports de cours Algorithmique et complexité Master d'informatique, premi`ere année

237 Pages·2015·1.07 MB·French

Fragments de supports de cours
Algorithmique et complexit(cid:19)e
Master d’informatique, premi(cid:18)ere ann(cid:19)ee
D. Michelucci1
4 novembre 2015
1. Merci aux auteurs de Linux, Latex, Ocaml, H(cid:19)ev(cid:19)ea, gcc...
2
Lalecturedecesnotesnedispensepasd’assisterauxcours,auxTD,auxTP.
Venir en cours, et ^etre attentif, ne dispense pas de lire la Bible : "Introduction
(cid:18)a l’algorithmique", de Thomas H. Cormen, Charles H. Leiserson, Ronald L.
Rivest, Cli(cid:11)ord Stein, chez Dunod, empruntable (cid:18)a la biblioth(cid:19)eque.
N’h(cid:19)esitez pas (cid:18)a me signaler les erreurs.
Chapitre 1
Quelques petits probl(cid:18)emes
combinatoires
1.1 Sous ensembles de cardinalit(cid:19)e k d’un en-
semble
let rec k subsets ensemble k =
if k=0 then [ [] ]
else let n=List.length ensemble in
if n<k then []
else if k=n then [ ensemble ]
else match ensemble with
j t::q (cid:0)> (k subsets q k) @
(List.map (function e (cid:0)> t::e) (k subsets q (k(cid:0)1)))
j [] (cid:0)> failwith "impossible" ;;
# k subsets [1;2;3;4] 2;;
(cid:0) : int list list = [[3; 4]; [2; 4]; [2; 3]; [1; 4]; [1; 3]; [1; 2]]
1.2 Sous ensembles d’un ensemble
let rec subsets ensemble = match ensemble with
j [] (cid:0)> [ [] ]
j t::q (cid:0)> let parts of q = subsets q in
let tete union parts of q =
List.map (function ens(cid:0)> t::ens) parts of q in
parts of q @ tete union parts of q ;;
# subsets [1;2];;
(cid:0) : int list list = [[]; [2]; [1]; [1; 2]]
1.3 Permutations
((cid:3) insn‘ere e [a; b; c]: rend la liste
[ [e;a;b;c]; [a;e;b;c]; [a;b;e;c]; [a;b;c;e]] (cid:3))
let rec insert e liste = match liste with
j [] (cid:0)> [[ e]]
j t::q (cid:0)> (e:: liste )::( List.map (function y (cid:0)> t::y)
3
4 CHAPITRE 1. QUELQUES PETITS PROBLE(cid:18)MES COMBINATOIRES
(insert e q));;
let rec permutations l = match l with [] (cid:0)> [[]]
j t::q (cid:0)> List. flatten
(List.map (function permu sans t(cid:0)>
insert t permu sans t) (permutations q));;
# permutations [1;2;3];;
(cid:0) : int list list =
[[1; 2; 3]; [2; 1; 3]; [2; 3; 1]; [1; 3; 2]; [3; 1; 2]; [3; 2; 1]]
Chapitre 2
Petits programmes
graphiques
2.1 La courbe de von Koch
Figure 2.1 { La courbe de Von Koch
open Graphics ;;
open graph " 400x400";;
set color black ;;
let iof = int of float ;;
let fractal niv (x0,y0) (x4,y4) =
let rec von koch niv (x0,y0) (x4,y4) =
if niv=0 then ( moveto (iof x0) (iof y0);
lineto (iof x4) (iof y4))
else let (x1, y1)= ( (2. (cid:3). x0 +. x4) /. 3. , (2. (cid:3). y0 +. y4) /. 3.) in
let (x3, y3)= ( (x0 +. 2. (cid:3). x4) /. 3. , (y0 +. 2. (cid:3). y4) /. 3.) in
let (xm, ym)= ( (x0 +. x4) /. 2., (y0 +. y4) /. 2. ) in
let (x2, y2)= ( xm (cid:0). (sqrt 3.) (cid:3). (ym (cid:0). y1),
ym +. (sqrt 3.) (cid:3). (xm (cid:0). x1)) in
( von koch (niv(cid:0)1) (x0, y0) (x1, y1);
5
6 CHAPITRE 2. PETITS PROGRAMMES GRAPHIQUES
von koch (niv(cid:0)1) (x1, y1) (x2, y2);
von koch (niv(cid:0)1) (x2, y2) (x3, y3);
von koch (niv(cid:0)1) (x3, y3) (x4, y4);
)
in clear graph (); set color black; von koch niv (x0,y0) (x4,y4);;
fractal 8 (10. , 10.) (390., 10.);;
2.2 Fractales et IFS
Dans ce programme, des fractales sont d(cid:19)ecrites par des IFS (iterated func-
tions systems), et trac(cid:19)ees par la m(cid:19)ethode de marche al(cid:19)eatoire. Les courbes de
Bernsteinpeuventellesaussi^etred(cid:19)ecritespardesIFS,l’exempled’uneparabole
est donn(cid:19)ee. Ici les fonctions des IFS sont des transformations a(cid:14)nes contrac-
tantes.Le(cid:12)chierlu decompose.mlestutilis(cid:19)epourinverserlamatricedespoints
de contr^ole de la courbe de B(cid:19)ezier. Cf chapitre sur l’alg(cid:18)ebre lin(cid:19)eaire.
2.2.1 Fichier fractal.ml
((cid:3) a partir d’un fichier de E Mostacci , etudiante MIGS2, 2007(cid:0)2008 (cid:3))
module A=Array;;
module L=List ;;
let iof=int of float ;;
type mat=float array array ;;
type ifs=mat array ;;
let rec summation i0 i1 f=
let rec addition i accu=
if i>i1 then accu
else addition (i+1) (accu +. (f i ))
in addition 0 0.;;
let matrice nl nc f =
A. init nl (function l(cid:0)> A. init nc (function c(cid:0)> f l c) );;
let mult a b =
let la=A.length a and ca=A.length a.(0) and lb=A.length b and cb=A.length b.(0) in assert (ca=lb);
matrice la cb (fun line col (cid:0)> summation 0 (ca(cid:0)1) (function k(cid:0)> a.( line ).(k) (cid:3). b.(k).( col )));;
let rotation thetadeg=
let pi=acos((cid:0)1.) in
let theta= thetadeg /. 180. (cid:3). pi in
[j [j cos theta; sin theta ;0.j];
[j sin(0.(cid:0).theta);cos(theta );0.j];
[j 0.; 0.; 1.j] j] ;;
2.2. FRACTALES ET IFS 7
let trans tx ty =
[j [j 1.;0.;0.j];
[j 0.;1.;0.j];
[j tx;ty ;1.j] j] ;;
let affine kx ky =
[j [j kx;0.;0.j];
[j 0.;ky;0.j];
[j 0.;0.;1.j] j] ;;
let homot k= affine k k;;
let transpt v m =
let n=A.length v in
let nl=A.length m in
let nc=A.length m.(0) in
assert (n=nl);
A. init nc (function c (cid:0)> summation 0 (n(cid:0)1) (fun lig (cid:0)> v.( lig) (cid:3). m.( lig ).(c)));;
open Graphics ;;
open graph" 400x400";;
let afficher v = match v with
j [jx;y; j] (cid:0)>
let xx=x (cid:3). 300. in ((cid:3) a la louche (cid:3))
let yy=y (cid:3). 300. in
draw rect (iof xx) (iof yy) 0 0
j (cid:0)> () ;;
let montecarlo ifs n=
clear graph ();
let pt=ref [j0.;0.;1.j] in
let nt=A.length ifs in
for i=0 to n do
let t=Random. int nt in
pt:=transpt !pt ifs .(t);
if i>10 then afficher !pt
done;;
((cid:3)produit d’une liste de matrice(cid:3))
let multl mats= L. fold left mult (L.hd mats)(L. tl mats);;
let vonkoch=
[j affine (1./.3.) (1./.3.);
multl[ affine (1./.3.) (1./.3.); trans (2./.3.) (0.) ];
multl[ affine (1./.3.) (1./.3.); rotation 60.; trans (1./.3.)( 0.)];
multl[ trans ((cid:0)1.) (0.); rotation ((cid:0)60.); affine (1./.3.) (1./.3.);
trans (2./.3.) (0.) ] j];;
let sierpinsky=
8 CHAPITRE 2. PETITS PROGRAMMES GRAPHIQUES
[j homot 0.5;
multl[homot 0.5; trans (0.5) (0.)];
multl[homot 0.5 ; trans (1./.4.) (sqrt (3.)/.4.)] j];;
let menger =
let h= homot (1. /. 3. ) in
[j h; mult (trans 1. 0.) h; mult (trans 2. 0.) h;
mult (trans 0. 1.) h; mult (trans 2. 1.) h;
mult (trans 0. 2.) h; mult (trans 1. 2.) h;
mult (trans 2. 2.) h j];;
((cid:3) Les points de controle de la courbe de Bezier (quadratique) sont
P0= [j x0; y0; 1 j]
P1= [j x1; y1; 1 j]
P2= [j x2; y2; 1 j]
On pose P= [j P0; P1; P2 j]
La methode de de Castejau donne les points de la "moitie gauche" Q
=[j Q0; Q1; Q2 j] = mat left P
et les points de la moitie droite R
=[j R0; R1; R2 j] = mat right P
Les matrices de l ’IFS sont M1 qui transforme P en Q: Q=P M1
et M2 qui transforme P en R: R=P M2.
Donc M1= P^((cid:0)1) Q = P^((cid:0)1) mat left P
et M2= P^((cid:0)1) R= P^((cid:0)1) mat right P
mat left et mat right sont appelees matrice de de Casteljau . Elles
dependent du degre et contiennent le triangle de Pascal , elles sot divisees par une
puissance de 2.
(cid:3))
let parabole pts controle= ((cid:3) pts controle= [j pt0; pt1; pt2 j] (cid:3))
let module Lin = Lu decompose in
let mat left = [j [j1.; 0.; 0.j];
[j1./.2.; 1./.2.; 0.j];
[j1./.4.; 2./.4.; 1./.4.j]j] in
let mat right = [j [j1./.4.; 2./.4.; 1./.4.j];
[j0.; 1./.2.; 1./.2.j];
[j0.; 0.; 1.j] j] in
let inv pts ctrl = Lin.inverse mat pts controle in
[j multl [ inv pts ctrl ; mat left ; pts controle ];
multl [ inv pts ctrl ; mat right; pts controle ] j];;
let similitude (x,y) thetadeg echelle=
multl [ trans ((cid:0). x) ((cid:0). y); rotation thetadeg; homot echelle ; trans x y];;
let dragon =
let k= sqrt 0.5 in
[j similitude (0. , 1.) ((cid:0)45.) k;
multl [ trans ((cid:0)1.) 1. ;
similitude ((cid:0)1., 0.) ((cid:0)135.) k ]
j];;
montecarlo dragon 100000;;
2.3. ARBRESDECONSTRUCTION(CSG:CONSTRUCTIVESOLIDGEOMETRY)EN2D9
let dragon2 =
let k= sqrt 0.5 in
[j multl [ homot k; rotation 45. ];
multl [ homot k; rotation 135.; trans 1. 0. ] j];;
montecarlo dragon2 100000;;
montecarlo sierpinsky 10000;;
montecarlo vonkoch 10000;;
montecarlo menger 100000;;
montecarlo (parabole [j [j0.;0.;1.j];
[j1./.2.;3./.4.;1.j];
[j1.;0.;1.j] j] ) 5000;;
2.2.2 (cid:12)chier make(cid:12)le
ok: lu decompose.cmo fractal
lu decompose.cmi: lu decompose.mli
ocamlc (cid:0)c lu decompose.mli
lu decompose.cmo: lu decompose.ml lu decompose.cmi
ocamlc (cid:0)c lu decompose.ml
fractal : fractal .ml lu decompose.cmo
ocamlc graphics.cma lu decompose.cmo fractal .ml (cid:0)o fractal
clean:
rm (cid:0)fr lu decompose.cmi lu decompose.cmo fractal fractal .cmo fractal .cmi
2.3 Arbres de construction (CSG : constructive
solid geometry) en 2D
2.3.1 Enonc(cid:19)e
Une forme est soit
{ le carr(cid:19)e unit(cid:19)e [0;1]2,
{ le cercle unit(cid:19)e, les points (x;y) tels que 1(cid:0)x2(cid:0)y2(cid:0)1(cid:21)0,
{ un demi plan (a;b;c) : les points (x;y) tels que ax+by+c(cid:21)0
{ l’union de deux formes (a\b),
{ l’intersection de deux formes (a[b),
{ la di(cid:11)(cid:19)erence de deux formes (a(cid:0)b)
{ la translation de vecteur (u;v) d’une forme,
{ la rotation de (cid:18) degr(cid:19)es autour de l’origine d’une forme,
{ l’a(cid:14)nit(cid:19)e de facteurs a;b d’une forme (x0 =ax;y =by),
{ tout (si c’est commode d’avoir une telle forme),
{ rien (si c’est commode d’avoir une telle forme).
Pour une forme donn(cid:19)ee, d(cid:19)etaillez une m(cid:19)ethode pour calculer si un point
(x;y) se trouve (cid:18)a l’int(cid:19)erieur (ou sur la fronti(cid:18)ere...) ou (cid:18)a l’ext(cid:19)erieur de la forme.
En d(cid:19)eduire une premi(cid:18)ere m(cid:19)ethode pour visualiser la forme, ie la convertir
en une image binaire carr(cid:19)ee I(i;j) avec i;j 20::n(cid:0)1; les pixels dont le centre
appartient (cid:18)a la forme sont a(cid:14)ch(cid:19)es en noir, les autres sont a(cid:14)ch(cid:19)es en blanc. Le
carr(cid:19)e de l’image (cid:19)echantillonne l’espace du carr(cid:19)e unit(cid:19)e, par d(cid:19)e(cid:12)nition.
10 CHAPITRE 2. PETITS PROGRAMMES GRAPHIQUES
D(cid:19)etaillez une m(cid:19)ethode pour calculer l’intersection entre une droite, sous
forme param(cid:19)etrique, et une forme donn(cid:19)ee (on pourra repr(cid:19)esenter cette intersec-
tionparunelisted’intervalles).End(cid:19)eduireunesecondem(cid:19)ethodepourvisualiser
la forme, ie la convertir en une image binaire carr(cid:19)ee etc.
Vous aurez (cid:18)a programmer au moins l’une de ces m(cid:19)ethodes en TP.
Ecrivez aussi une fonction rendant une (cid:12)gure fractale ((cid:19)eponge de Menger,
triangle de Sierpinski, (cid:13)ocon de Von Koch, etc), avec un niveau prescrit de
r(cid:19)ecursion. La visualiser.
2.3.2 Le source solution
((cid:3) on voxellise un arbre CSG, en 2D
(eval un point un csg) rend un nb negatif si le point est dehors , positif
si le point est dedans , nul si on est sur la frontiere
eval fast est une optimisation de eval; par exemple si on est hors de A, ce
n’est pas la peine de se demander si on est dans A(cid:0)B, ou dans A inter B
(cid:3))
open Graphics ;;
type pt= f x: float ; y: float g;;
type figure = Union of figure(cid:3)figure
j Inter of figure(cid:3)figure
j Diff of figure(cid:3)figure
j Carre j Cercle j Tout j Rien
j Half of float(cid:3)float(cid:3)float
j Trans of float(cid:3)float(cid:3)figure
j Rota of float(cid:3)figure
j Affin of float(cid:3)float(cid:3)figure
;;
let pi = 4.0 (cid:3). (atan 1.) ;;
let tourne pt fx=x;y=yg thetadeg =
let theta=thetadeg /. 180. (cid:3). pi in
f x= x(cid:3).(cos theta)+. y(cid:3).(sin theta);
y= (cid:0). x(cid:3).(sin theta) +. y(cid:3).(cos theta) g;;
((cid:3) positif = dedans , negatif = dehors (cid:3))
let rec eval xy fig = match fig with
j Tout (cid:0)> 1000. j Rien (cid:0)> ((cid:0)1000.)
j Union (a, b) (cid:0)> max (eval xy a) (eval xy b)
j Inter (a, b) (cid:0)> min (eval xy a) (eval xy b)
j Diff (a, b) (cid:0)> min (eval xy a) (0. (cid:0). (eval xy b))
j Trans (tx ,ty ,b) (cid:0)> eval fx=xy.x (cid:0). tx; y=xy.y (cid:0). tyg b
j Rota (theta ,b) (cid:0)> eval (tourne pt xy (0. (cid:0). theta)) b
j Affin (kx,ky,b) (cid:0)> eval fx=xy.x /. kx; y=xy.y
/. ky g b