Fourier-analízis alkalmazása a digitális holográfiában

91 Pages·2013·3.37 MB·Hungarian

Fourier-analízis alkalmazása
a digitális holográfiában
Diplomamunka
Tóth Erzsébet Rita
alkalmazott matematikus,
matematika tanár szakos hallgató
Témavezetők:
Dr. Orzó László Róbert, tudományos főmunkatárs
MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutatóintézete
Dr. Ambrus Gabriella, egyetemi adjunktus
Matematikatanítási és Módszertani Központ
Belső konzulens:
Lócsi Levente, tanársegéd
Informatikai Kar, Numerikus Analízis Tanszék
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Természettudományi Kar
Budapest, 2013
Tartalomjegyzék
1. Bevezetés 3
2. A digitális holografikus mikroszkóp működése 5
2.1. A fény mint hullám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. A fény terjedésének vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1. A szögspektrum módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2. A Fresnel-közelítés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Hologram készítése és rekonstrukciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Fourier-analízis – áttekintés 17
3.1. Folytonos Fourier-transzformáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Egy általánosítás
– a frakcionális Fourier-transzformáció . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3. Diszkrét Fourier-transzformáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. Mintavételezés 25
4.1. A mintavételezés hatása a frekvenciatérben . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1. Jelölések és alapvető összefüggések . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Nyquist-kritérium és szűrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.1. A Nyquist-kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.2. Szűrők és tartójuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.3. Az indikátorfüggvény mint szűrő . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5. A Wigner-disztribúció 34
5.1. Meghatározás és alapvető tulajdonságok . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2. Új mintavételi kritérium és alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3. Wigner-disztribúció a terjesztésekben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1
6. Wigner-disztribúció lencsés rendszerekben 45
6.1. Egylencsés optikai rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.1.1. Érzékelő a fókuszpontban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.1.2. Érzékelő a fókuszponton kívül . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2. Afokális rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3. Wigner-disztribúció és holográfia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3.1. Feltételek afokális nagyítású hologramrögzítés esetén . . . . . 50
6.3.2. A DHM paramétereinek vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . 52
7. Modellezési feladatok megoldása a GeoGebra program segítségével 55
7.1. Matematikai modellezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1.1. Modellezési feladatok, modellalkotás . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1.2. Modellezési feladatok az oktatásban . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2. A dinamikus matematikai szoftverek szerepe az oktatásban . . . . . . 59
7.2.1. A vizuális és tárgyi reprezentációk fontossága . . . . . . . . . 59
7.2.2. A számítógép szerepe a külső reprezentációban . . . . . . . . . 60
7.2.3. A GeoGebra szoftver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3. Mintafeladat: Sportrekordok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3.1. Lehetséges megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3.2. Értékelés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.4. Mintafeladat: Árnyjáték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.4.1. Adatgyűjtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.4.2. Lehetséges megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.4.3. Megoldás dinamikus feladatlap segítségével . . . . . . . . . . . 77
7.4.4. Feladatvariációk, szemléltetés és ellenőrzés . . . . . . . . . . . 79
7.4.5. Értékelés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.5. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Mellékletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2
1. fejezet
Bevezetés
Az elmúlt év során az MTA–SZTAKI Celluláris Érzékelők és Optikai Hullámszámí-
tógépek Laboratóriumában dolgozhattam, ahol digitális holografikus mikroszkópot
(DHM) készítünk és alkalmazunk mikrobiológiai vizsgálatok automatizálására. A
berendezés a holográfia elvei alapján működik. A holográfia születése Gábor Dénes
magyar tudós nevéhez fűződik, aki 1947-ben elektronmikroszkóp javítására alkotta
meg elméletét [1]. Azóta a tudomány számos területén felhasználták és továbbfej-
lesztették eredményeit. Számunkra azért hasznos a holográfia alkalmazása, mert
általa megkerülhető a hagyományos mikroszkópok kis mélységélessége, azaz három-
dimenziós térfogatot is rekonstruálhatunk. Ezzel hatékonyabbá válik a folyadékok
vizsgálata, melyet például az ivóvíz minőségének ellenőrzése során tudunk felhasz-
nálni.
A holografikus képalkotás két lépésben történik: először létrehozzuk a hologra-
mot, majd megfelelő fénynyaláb segítségével rekonstruáljuk azt. Műszerünk további
előnye, hogyahologramrögzítése digitálisszenzorral, ésarekonstrukció isa fényhul-
lámok terjesztésének numerikus szimulációival történik. Ezzel szükségtelenné válnak
a hagyományos előhívási technikák, és lehetővé válik közel valós idejű, automatizált
mérések elvégzése.
Adigitálismérésazonbanmegkötöttségekkel isegyüttjár:azoptikairendszer ésa
kamera paraméterei korlátozzák az objektum leképezhető méretét és sávszélességét.
Ezért azt tűztem ki célomul, hogy megismerjem a mikroszkóp képalkotó eljárását
és az azt leíró matematikai algoritmusokat, a mintavételezés sajátosságait, és az
ezekből adódó megszorító tényezőknek a figyelembevételével tervezzem meg, majd
optimalizáljam a mintavételi eljárást. Segítségként a Fourier-analízis eszközeit és a
Wigner-disztribúció fogalmát és tulajdonságait használtam fel.
3
Ezek alapján először röviden összefoglalom a DHM működését, a megértéshez
szükséges holográfiai alapokat, a jelenség matematikai modelljét és az ezáltal indu-
káltnumerikusalgoritmusokat.Dolgozatombancsakacélomszempontjábóllényeges
elméleti hátteret mutatombe,atéma részletes megismeréséhez pár szakirodalomban
fellelhető forrást jelölök meg. A 3. fejezetben a Fourier-analízis felhasznált elemeit
ismertetem tömören, majda 4.fejezetben bemutatom a mintavételezés sajátosságait
és az általa adódó korlátokat, melyek mind a térbeli, mind a frekvenciatartományt
érintik. Az 5. fejezetben rátérek a Wigner-disztribúció és a Wigner-tartomány fo-
galmának ismertetésére, amelyek segítségével könnyen kezelhetővé válik a térbeli és
frekvenciatérbeli paraméterek együttes vizsgálata. Bemutatom, hogy a fény terje-
dése során hogyan változik a Wigner-disztribúció tartója, majd a 6. fejezetben len-
csés optikai rendszerekben vizsgálom meg a feltételek átalakulását. Végül a kapott
feltételek alapján számolásokkal mutatom be a DHM felbontási tulajdonságait.
A dolgozat utolsó fejezete egy pedagógiai témájú írás, a korábbi részekkel a
modellalkotás vékony fonala kötheti össze. Ebben leírom a modellezési feladatok
tulajdonságait, valamint a dinamikus matematikai szoftverek oktatásban betöltött
lehetséges szerepét. Ezután két probléma kapcsán alkalmazom is a megszerzett is-
mereteimet.
Diplomamunkámért köszönettel tartozom témavezetőmnek, Orzó Lászlónak, aki
segített kiválasztani ezt a fizikában és matematikában egyaránt érdekes témát, át-
gondolnia koncepcionális kérdéseket, és kritikai érzékével hozzájárult,hogy mindkét
tudományterület szempontjából precíz dolgozat születhessen. Köszönöm belső kon-
zulensemnek, Lócsi Leventének, hogy nagy nyitottsággal és türelemmel várt bár-
milyen kérdéssel, legyen az technikai, matematikai vagy adminisztratív jellegű, és
alapos hozzáállásával igényességre ösztönzött. Köszönet illeti tanári témavezetőmet,
Ambrus Gabriellát, aki előrelátásával, a témában szerzett sok tapasztalatával, kor-
rektségével és hatékony munkaszervezéssel járult hozzá, hogy megismerjem a mo-
dellezési feladatokat, és lelkesen kutassam a bennük rejlő számtalan lehetőséget.
Köszönöm kollégámnak, Kiss Márton Zsoltnak fáradhatatlan segítségét, melyet a
fizikai összefüggésekről való párbeszéddel és az ábrákkal kapcsolatban nyújtott. Vé-
gül köszönettel tartozom Koren Balázsnak a GeoGebra szoftver alkalmazásában és
a feladatválasztásban nyújtott támogatásáért.
4
2. fejezet
A digitális holografikus
mikroszkóp működése
Ebbenafejezetben aDHMműködését mutatjuk bevázlatosan,ismertetve alegszük-
ségesebb fizikai fogalmakat és összefüggéseket, beleértve a fény hullámtermészetét
és azokat a matematikai eredményeket, amelyek a későbbiek megértésében fontos
szerepet játszanak. Nem célunk a téma kimerítő tárgyalása, az érdeklődő olvasó
bőséges szakirodalmat talál a fogalmak és összefüggések mélyebb megértéséhez. Az
alábbiakban J. W. Goodman [2] és D. G. Voelz [3] műveit, valamint egy hasonló
témájú, mérnöki szakdolgozatot [4] használok fel.
2.1. A fény mint hullám
A holográfiában a fény hullámtermészetét használjuk ki. A fény elektromágneses
rezgés, az elektromos és mágneses tér, illetve az áramok és töltések kölcsönhatá-
sát a Maxwell-egyenletek írják le. Bizonyos feltételek mellett, amelyek üres térben
általában fennállnak, az egyenletek skaláris alakra egyszerűsíthetőek [2]. Ezzel az
elektromos és mágneses komponensek viselkedése egymástól függetlenül is leírha-
tóvá válik, mindegyiknek az alábbi skalár hullámegyenletet kell kielégítenie:
n2∂2u(P,t)
∆u(P,t) = 0, (2.1)
− c2 ∂t2
ahol
3
Ω R nyílt tartomány;
• ⊂
5
u: Ω R+ R az adott komponens, amely a P pozíciótól és a t időtől
• × →
egyaránt függ;
∆ a Laplace-operátor,
•
n a közeg törésmutatója,
•
c pedig a fény sebessége vákuumban (c 3 108m/s).
• ≈ ·
Az egyenletnek megoldásai az alábbi monokromatikus hullámfüggvények:
u(P,t) = A(P)cos(2πνt ϕ(P)), (2.2)
−
ahol
A: Ω R az amplitúdófüggvény,
• →
ν a frekvencia,
•
ϕ: Ω R pedig a fázisfüggvény.
• →
Ezekben a hullámokban csak egy frekvencia szerepel. A (2.1) differenciálegyenlet li-
nearitása miatt a több frekvenciakomponensű hullámok felírhatóak (2.2) alakú függ-
vények lineáris kombinációiként.
Az Euler-formula segítségével (2.2) következő alakját kapjuk:
u(P,t) = A(P)eiϕ(P)e−i2πνt , (2.3)
ℜ
(cid:0) (cid:1)
ahol a valós rész képzését jelöli. A (2.3) egyenlet jobb oldalán az első két tényező
ℜ
a térerősség térbeli viszonyait jellemzi egy rögzített időpontban, az utolsó pedig az
időbeli változást írja le. Ha feltesszük, hogy a hullám időben állandó, akkor ez az
utolsó tényező egy rezgő fázistagot eredményez, amelytől eltekinthetünk. Legyen
U(P) := A(P)eiϕ(P); (2.4)
a továbbiakban tehát elég ezt a komplex hullámfüggvényt vizsgálnunk, mely minden
pontban egy komplex szám exponenciális alakban, így könnyen látható hossza és
szöge, azaz az amplitúdó és a fázis.
A (2.4) alak segítségével kapjuk a homogén Helmholtz-egyenletet:
∆U +k2U = 0,
6
ahol
k = 2πnν = 2π a hullámszám,
• c λ
λ a hullámhossz.
•
A fenti egyenlet megoldásai adják a hullámfüggvények időfüggetlen részét.
Gyakran használjuk a hullámfront fogalmát is, amely azoknak az összefüggő
pontoknak az összessége, melyeknek fázisa azonos. Az azonos fázisú hullámfrontokat
szokás vizsgálni, azaz amelyek fáziskülönbsége n 2π (n Z).
· ∈
2.1.1. Példa. Monokromatikus komplex hullámfüggvény – síkhullám
Legyen
U(z) := Aeikz, (2.5)
ahol z a P pontba mutató helyvektor egy adott derékszögű koordinátarendszerben,
k = k (α;β;γ)T pedig a hullámszámvektor, ahol α,β és γ a különböző irányokba
·
vett terjedési szögek koszinuszai, ezért teljesül
2π T
k = α;β; 1 α2 β2 .
λ · − −
(cid:16) p (cid:17)
A (2.5) függvény valóban kielégíti a Helmholtz-egyenletet.
Vizsgáljuk azokat a hullámfrontokat, melyek fázisa 2π vagy annak többszöröse, azaz
arg(U(z)) = m 2π.
·
Ebből ekvivalens átalakításokkal a következőt kapjuk:
kz = m 2π arg(A).
· −
Az egyenletet kielégítő z helyvektorok által meghatározott pontok k-ra merőleges,
egymással párhuzamos síkokat adnak. A hullámfrontok távolsága 2π k −1, azaz
· | |
éppen λ, vagyis hullámhossznyi.
A hullám intenzitása állandó:
I(z) = A2.
7
2.1.2. Példa. Monokromatikus komplex hullámfüggvény – gömbhullám
Legyen
A
U(z) := eikr,
r
ahol r = z ,k R.
| | ∈
Ez a függvény is kielégíti a Helmholtz-egyenletet. A hullámfrontok elhelyezkedését
az előzőhöz hasonlóan számíthatjuk ki:
2π
r = m const = mλ const.
· k − −
Az így kapott pontok koncentrikus gömböket határoznak meg, melyek távolsága
szintén hullámhossznyi.
Az intenzitás:
A 2
I(z) = | | ,
r2
azaz a távolság növekedésével négyzetesen csökken.
2.2. A fény terjedésének vizsgálata
A mikroszkópunk digitális volta miatt szükséges olyan módszerek használata, me-
lyekkel a hullámfrontok terjedését numerikusan jól kezelhető, analitikus formában
tudjuk megadni. Erre törekszünk ebben a fejezetben.
Legyen adott egy (O,x,y,z) derékszögű koordinátarendszer. Tegyük fel, hogy a
fény a z-tengellyel párhuzamosan terjed, és ismerjük az U függvény értékeit a z = 0
síkban, melyet jelöljön Σ (a koordinátarendszert választhatjuk ennek megfelelően).
1
VezessükbeazU : Σ C , U (x,y) := U(x,y,z )függvényt;ekkorU lényegében
1 1 1 0 1
→
az U Σ -re való leszűkítése. Célunk egy olyan U függvény megadása, mely egy Σ -
1 2 1
gyel párhuzamos, attól z távolságra lévő Σ sík minden pontjához hozzárendeli a
2
hullám pontbeli értékét. (Ld. 2.1 ábra.)
Gyakorlati alkalmazásokban Σ az objektum síkja, Σ pedig a megfigyelési sík.
1 2
Az alábbiakban az U függvény kiszámítására ismertetünk két módszert.
2
8
2.1. ábra. A fény terjedésének vizsgálata terjedési irányra merőleges síkokon. A Σ
1
síkon ismert a hullámeloszlás, célunk ebből meghatározni a Σ síkbeli értékeket.
2
2.2.1. A szögspektrum módszer
Vegyük az U függvény Fourier-transzformáltját a Σ síkon:
1
A(ν ,ν ,0) := ( U)(ν ,ν ,0) = U (x,y)exp[ i2π(ν x+ν y)]dxdy. (2.6)
x y x y 1 x y
F −
ZR ZR
A (3.2) inverziós képlet alapján ekkor U előállítható az alábbi módon:
1
U (x,y) = A(ν ,ν ,0)exp[i2π(ν x+ν y)]dν dν . (2.7)
1 x y x y x y
ZR ZR
A (2.7) kifejezést tekinthetjük (2.5) alakú hullámok összegének, ahol az amplitúdót
az A: R3 C függvény határozza meg, a k hullámvektorra pedig fennáll:
→
α = λν , β = λν .
x y
Akapottparamétereket a(2.6) kifejezésbe helyettesítve megkapjukazU mező szög-
1
spektrumát, azaz hogy az egyes irányokban milyen amplitúdójú hullámok terjednek
tovább:
α β α β
A , ,0 = U (x,y)exp i2π x+ y dxdy.
1
λ λ − λ λ
(cid:18) (cid:19) Z Z (cid:20) (cid:18) (cid:19)(cid:21)
R R
Tehát U -et sikerült felírnunk síkhullámok összegeként. A Σ síkra ezek a síkhul-
1 2
lámok terjednek tovább, ezért U felírható a következő alakban:
2
α β α β α β
U (x,y) = A , ,z exp i2π x+ y d d .
2
λ λ λ λ λ λ
Z Z (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:18) (cid:19)(cid:21)
R R
9