Foundations of Antenna Engineering

450 Pages·2017·12.95 MB·English

Foundations of Antenna Engineering:
A Unified Approach for Line-of-Sight and
Multipath
Per-Simon Kildal
Chalmers University of Technology
PDF created March 13, 2017
Copyright (cid:13)c 2015 by Kildal Antenn AB, Gothenburg, Sweden.
Published by Kildal Antenn AB in April 2015.
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ISBN: 978-91-637-8515-3
To C´ecile, Madeleine and Susanne

v
Contents
Preface xv
Generalpart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
Previousbookversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
Aboutthecitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
Somemorecharacteristicsofthetextbook. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
LearningoutcomeofAntennaEngineeringcourseatChalmers . . . . . . . . . . . . . . . . xx
1 Introduction 1
1.1 Antennatypesandclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Briefhistoryofantennasandanalysismethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Terminology,quantities,unitsandsymbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Radiationorscattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Reflection,refractionanddiffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Rays,waves,phase-frontsandphasepaths. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 SIunitsforfieldsandsources,anddB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.5 Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Vectornotationandcoordinatetransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Somevectorformulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Coordinatetransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3 Dyads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 OverviewonEManalysismethodsbyS.Maci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Characterization of directive antennas 21
2.1 Time-harmonicelectromagneticfields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Planewavesandtheirpolarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Linearpolarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Circularpolarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3 Axialratioandcross-polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.4 Example: Amplitudeandphaseerrorsincircularpolarizationexcitations . . . . . . . . . 28
2.2.5 Polarizerforgeneratingcircularpolarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.6 Example: Mismatchinpolarizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Radiationfields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Fieldregions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 ”Radiationfields”ofreceivingantennas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.3 Far-fieldfunctionandradiationintensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.4 PhasereferencepointandFraunhoferapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.5 Polarizationofradiationfields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.6 Co-andcross-polarradiationpatterns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.7 Phasecenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.8 Totalradiatedpower . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.9 Directivegainanddirectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.10 Beamwidth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.11 Cross-polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.12 Beamefficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
vi
2.3.13 E-andH-planepatterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.14 Fourierexpansionoftheradiationfield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.15 Example: Phasereferencepointforasymmetricphasepattern . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.16 Example: Calculationofphasecenterofasymmetricbeam . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Rotationallysymmetricantennas(BOR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.1 BOR0 antennaswithrotationallysymmetricradiationfields . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.2 BOR1 antennas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.3 Example: DirectivityofBOR1 antennawithlowsidelobes . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.4 Example: DirectivityofBOR1antennawithhighfar-outsidelobes . . . . . . . . . . . . 52
2.4.5 Example: BOR1 antennawithdifferentE-andH-planepatterns . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.6 Example: BOR1 antennawithdifferentE-andH-planephasepatterns . . . . . . . . . . 55
2.5 Systemcharacteristicsoftheantenna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.1 Antennagain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.2 Apertureefficiencyandeffectivearea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5.3 Friistransmissionequationandtheradarequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.4 AntennanoisetemperatureandG/T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.5 Bandwidth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.6 Tolerances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.7 Environmentaleffects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5.8 Example: NoisetemperatureandG/T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6 Equivalentcircuitsofsingle-portantennas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6.1 Transmittingantennas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6.2 Impedancematchingtotransmissionline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.6.3 Receivingantenna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.6.4 Conjugateimpedancematching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6.5 Impedanceandreflectioncoefficienttransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.7 Periodicreflectioncoefficientsr(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.8 Equivalentcircuitsofmulti-portarrayantennas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.9 Furtherreading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.10 ComplementarycommentsbyS.Maci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.12 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3 Characterization in multipath 75
3.1 MultipathwithoutLine-of-Sight(LOS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.1 RayleighfadingandCDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1.2 AngleofArrival(AoA),XPDandpolarizationimbalance . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1.3 RichIsotropicMultipath(RIMP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2 Characterizationofsingle-portantennasinRIMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.1 Antennaimpedance,portimpedanceandreflectioncoefficient . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.2 MeanEffectiveGain(MEG)andDirectivity(MED) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.3 Totalradiationefficiencyandtransmissionformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 Characterizationofmulti-portantennasinRIMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.1 Definitionofchannel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.2 Embeddedelements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.3 Embeddedradiationefficiencyanddecouplingefficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3.4 Correlationbetweenports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4 Characterizationofdiversityperformance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
vii
3.4.1 ChannelestimationanddigitalMRCprocessing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.2 Example: MRCappliedto2Dslotantennacase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4.3 Diversitygains(apparent,effectiveandactual) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4.4 Theoreticaldeterminationofdiversitygain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5 MaximumavailablecapacityfromShannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5.1 Single-portsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.5.2 ParallelchannelsinLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.5.3 Parallelchannelsinmultipath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.5.4 Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5.5 Numericalsimulationofchannelsinmultipath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6 EmulationofRIMPusingreverberationchamber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.1 Modestirring(mechanical,platform,polarization) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.2 TheS-parametersofthechamberandoftheantennas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6.3 Rayleighfading,RicianfadingandAoAdistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6.4 Averagetransmissionlevel(Hill’sformula)andcalibration . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6.5 Frequencystirringonnettransferfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.6.6 Numberofindependentsamples&accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.7 Measurementsinreverberationchamber. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.7.1 Calibrationandcharacterizingmulti-portantennas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.7.2 Radiatedpower,receiversensitivityanddatathroughput . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.8 Systemmodelingusingdigitalthresholdreceiver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.8.1 Thedigitalthresholdreceiver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.8.2 ModelingOFDMinLTE4Gsystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.8.3 Theoreticalandmeasuredresultsfori.i.d.diversitycase . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.9 MIMOmultiplexingtoobtainmultiplebitstreams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.9.1 Diagonalizingthechannelmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.9.2 Measurementsoftwobitstreamsinreverberationchamber . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.9.3 QualityofthroughputintermsofMIMOefficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.10 Example: PolarizationdiversityandmultiplexinginLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.10.1 Singlebitstream . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.10.2 Twobitstreams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.11 Antennasforuseonhandsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.13 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4 The theory of radiation from current sources 123
4.1 Maxwell’sequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.1.1 Differentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.1.2 Standardboundaryconditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.1.3 ImpressedcurrentsourcesonPECs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1.4 Softandhardboundaryconditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1.5 Auxiliaryvectorpotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2 VectorintegralformsoftheE-andH-fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.1 Generalexpressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.2 Radiatingfar-fieldexpressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2.3 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2.4 Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.2.5 Replacementbetweenelectricandmagneticcurrents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
viii
4.2.6 Frequencyscaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.3 Constructionofsolutions: uniquenessandequivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3.1 PECequivalentandmagneticcurrents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3.2 FreespaceandHuygensequivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.3.3 Physicalequivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.4 Incrementalcurrentsources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.4.1 Incrementalelectriccurrent(orHertzdipole) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.4.2 Incrementalmagneticcurrent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.4.3 Huygenssource . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.4.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.4.5 Example: Directivitiesofincrementalsources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5 Reaction,reciprocityandmutualcoupling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5.1 Reactionintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.5.2 Threereciprocityrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.5.3 Reciprocitybetweeninput/outputportsofantennas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.5.4 Mutualimpedance,mutualadmittanceandcouplingcoefficient . . . . . . . . . . . . . . 149
4.6 Imaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.7 IntegralequationsandMethodofMoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.7.1 Simplealgorithmfornear-fieldfromlinecurrent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.7.2 Simplealgorithmfornear-fieldfromsurfacecurrent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.8 ComplementarycommentsbyS.Maci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.9 ExercisestoChapter4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5 Small wire and slot antennas 167
5.1 Electricmonopoleanddipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.1.1 Approximatecurrentdistributionofmonopole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.1.2 Approximatecurrentdistributionofdipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.1.3 Far-fieldfunctionofdipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.1.4 Directivityandradiationresistanceofshortdipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.1.5 Equivalentcircuitandmaximumeffectiveapertureofshortdipole . . . . . . . . . . . . 174
5.1.6 Directivityandradiationresistanceofhalf-wavedipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.1.7 Self-impedanceofelectricdipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.1.8 Impedanceofcylindricalandflatelectricdipoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.1.9 Dipoleatarbitrarylocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.1.10 Arbitrarydipoleaboveground . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.1.11 Verticaldipoleaboveground . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.1.12 Verticalmonopole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.1.13 Horizontaldipoleaboveground . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.2 Electricloopantennaasverticalmagneticdipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.3 Helicalantennas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.4 Slotantennas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.4.1 Fielddistributionandradiationpattern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.4.2 Slotadmittancewhenexcitedbyvoltagesource . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.4.3 Slotexcitedbyplanewave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.4.4 Reflectioncoefficientofopenwaveguide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.4.5 Slotsinwaveguidewalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.5 Furtherreading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
ix
5.6 ComplementarycommentsbyS.Maci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.7 ExercisestoChapter5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6 Microstrip antennas and spectral domain methods 205
6.1 Transmissionlinemodelforrectangularpatch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.1.1 Radiationpatternbytwo-slotmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.1.2 Impedancebytransmissionlinemodel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.2 Self-reactionmodelforpatchimpedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.2.1 ExpansionofcurrentdistributionandMethodofMoments . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.2.2 Impedanceofline-fedpatches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.2.3 Impedanceofprobe-fedpatches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.3 Spectraldomainmethods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.3.1 3Dfieldproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.3.2 Harmonic1Dfieldproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.3.3 Green’sfunctionofharmonic1Dfieldproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.3.4 Numericalimplementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.4 Furtherreading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.5 ComplementarycommentsbyS.Maci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7 Radiation from apertures 231
7.1 AperturesinPECs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.1.1 PECsofarbitraryshape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.1.2 InfinitePECplanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.2 Virtualaperturesinfreespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.2.1 FreespaceandHuygensequivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.2.2 Planeapertures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.3 Aperturesinxy-plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.3.1 PECapertureanditsincrementalelementfactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.3.2 Freespaceapertureanditsincrementalelementfactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7.3.3 Powerintegrationoverapertureandmaximumdirectivity . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7.4 Rectangularplaneaperture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.4.1 E-andH-planepatterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.4.2 Directivityandapertureefficiency. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.4.3 Uniformaperturedistribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.5 CircularaperturewithBOR1excitation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.5.1 Aperturefieldandfar-fieldfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.5.2 Uniformaperturedistribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.5.3 Gaussianaperturedistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.5.4 Taperedaperturedistributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7.6 Gaussianbeam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.6.1 Gaussiannear-field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.6.2 PhasecenterofGaussianbeam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.6.3 Gaussianfar-field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
7.6.4 Aperturediffractionbyconstantphaseaperture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.6.5 GOradiationfromaperturewithstronglycurvedwavefront . . . . . . . . . . . . . . . 257