Formeln und Fakten im Grundkurs Mathematik: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler

140 Pages·2001·4.914 MB·German

by  Dr. Klaus Vetters (auth.)

Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler
Klaus Vetters
Formeln und Fakten
im Grundkurs Mathematik
Klaus Vetters
Formeln und Fakten
im Grundkurs
Mathematik
fur Ingenieure und Naturwissenschaftler
3., uberarbeitete Auflage
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei
Der Deutschen Bibliothek erhältlich.
Das Lehrwerk wurde 1972 begründet und wird herausgegeben von:
Prof. Dr. Otfried Beyer, Prof. Dr. Horst Erfurth,
Prof. Dr. Christian Großmann, Prof. Dr. Horst Kadner,
Prof. Dr. Karl Manteuffel, Prof. Dr. Manfred Schneider,
Prof. Dr. Günter Zeidler
Verantwortlicher Herausgeber dieses Bandes:
Prof. Dr. Karl Manteuffel
Autor:
Dr. Klaus Vetters
Technische Universität Dresden
1. Auflage 1996
2. Auflage 1998
3., überarbeitete Auflage November 2001
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2001
Ursprünglich erschienen bei B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden in 2001
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ISBN 978-3-519-10207-6 ISBN 978-3-663-12119-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-12119-0
Vorwort
Jeder Lemende und auch jeder Anwender der Mathematik wird gem auf eine Forme1samm
lung oder auf einen Wissensspeicher zuriickgreifen, urn Fakten zu iiberpriifen, wenn das Ge
dachtnis iiberfordert ist, oder urn neue Informationen zu erhalten. Der vorliegende Band ent
halt neben grundlegenden mathematischen Formeln auch verbal beschriebenes Wissen, niimlich
zentrale Definitionen und Satze ausgewiihlter mathematischer Fachgebiete.
Zielgruppe sind vor allem Studierende an Universitaten und Fachhochschulen, die mit der Ma
thematik konfrontiert sind. Deshalb wurde der Inhah dieses Bandes der Reihe "Mathematik fUr
Ingenieure und Naturwissenschaftler" streng auf die Anforderungen des Grundstudiums in in
genieurwissenschaftlichen Studiengiingen ausgerichtet. In Verbindung mit dem Besuch von
Vorlesungen und Seminaren, der Arbeit mit Lehrbiichem und der Nutzung mathematischer
Software wird diese Sammlung von Grundwissen der Hoheren Mathematik sowohl dem Ler
nenden als auch dem Ingenieur in der Praxis hilfreich sein.
Bei der Arbeit am Manuskript haben mich viele Mathematiker beraten. Mein Dank gilt zuerst
den Herausgebem der Reihe, von denen ich konstmktive Hinweise erhielt, insbesondere Herm
Prof Ch. Grofimann und Herm Prof K Manteuffel.
Die thematische Breite -von der Analysis iiber die Geometrie und Lineare Algebra bis zur Op
timierung, Stochastik und Nurnerik -war nur durch die kritische Beteiligung zahlreicher Fach
kollegen dieser Gebiete zu bewiiltigen. Dafiir danke ich besonders meiner Kollegin Frau
Dr. R. Storm und meinen Kollegen Herm Dr. W.-D. Klix und Herm Dr. H. SchOnheinz. Fiir
die kritische Durchsicht bin ich den Herren Prof H.-G. Roos und Prof W. Schirotzek sowie
Herm 1. Weill vom Teubner-Verlag mit Dank verbunden.
Dresden, im Juni 1996 Klaus Vetters
In dieser dritten, bearbeiteten Auflage wurden einige inhaltliche Erganzungen und Druckfeh
lerberichtigungen vorgenommen. Fiir die dazu von Studenten und Kollegen ergangenen vielen
freundlichen Hinweise bedanke ich mich sehr herzlich. Fiir besonders ausfiihrliche Bemerkun
gen danke ich meiner Kollegin Frau Mag. H. Pfeifer.
Dresden, im Juli 2001 Klaus Vetters
[email protected]
Inhalt
Bezeichnungen, Konstanten, elementare Gesetze ............................ 9
Elementare mathematische Gesetze .................................. 11
Relationen ........................................................... 14
Mengen ............................................................. 15
Zahlen .............................................................. 16
Natiirliche, ganze, rationale, reelle Zahlen ............................. 16
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17
Kombinatorik ........................................................ 18
Permutationen .................................................. 18
Variationen .................................................... 18
Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
Koordinatensysteme ................................................... 19
Ebene Koordinatensysteme ........................................ 19
Riiumliche Koordinatensysteme ..................................... 19
Verschiebung des Koordinatensystems ............................... 20
Drehung des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
Geometrie ........................................................... 22
Ebene Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22
Analytische Geometrie der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24
Riiumliche Geometrie ............................................ 26
Analytische Geometrie des Raumes .................................. 28
Abbildungen, reeUe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
Begriffe bei reellen Funktionen ..................................... 32
Spezielle Grenzwerte ............................................ 33
Regel von de l'Hospital ........................................... 33
Elementare Funktionen ........................................... 34
Spezielle Funktionen ............................................. 42
Lineare Algebra ...................................................... 43
Determinanten ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
Vektoren ...................................................... 44
Vektomormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
Matrizen ...................................................... 47
Lineare Gleichungssysteme ........................................ 49
Eigenwertaufgaben bei Matrizen .................................... 50
Folgen .............................................................. 53
Zahlenfolgen ................................................... 53
Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54
Differentiairechnung fiir Funktionen mit einer Variablen ..................... 55
Begriffe ....................................................... 55
Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
Ableitungen elementarer Funktionen ................................. 56
Mittelwertsiitze ................................................. 56
Inhalt 7
Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
Niiherungsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
Integralrechnung fUr Funktionen mit einer Variablen ........................ 58
Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58
Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60
Tabelle unbestimmter Integrale ..................................... 62
Tabelle bestimmter Integrale ....................................... 70
Uneigentliche Integrale ........................................... 71
Parameterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72
Linienintegrale l. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72
Linienelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73
Anwendungen ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73
Gewohnliche Differentialgleichungen ..................................... 74
Begriffe ...................................................... 74
Zuriickfiihrung auf Systeme l. Ordnung .............................. 74
Differentialgleichungen l. Ordnung ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75
Differentialgleichungen 2. Ordnung ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78
Lineare Differentialgleichungen .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78
Systeme l. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ...................... 81
Reihen .............................................................. 82
Endliche Reihen ................................................ 82
Unendliche Reihen .............................................. 82
Konvergenzkriterien ............................................. 83
Funktionenreihen ............................................... 85
Potenzreihen ................................................... 86
Analytische Funktionen, Taylorreihe ................................. 87
Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89
Funktionen mit mehreren Variablen ...................................... 92
Punktmengen des Raumes IR n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92
Funktionen im IR n ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93
Differentialrechnung fUr Funktionen mit mehreren Varia bien ................. 94
Partielle Ableitungen ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94
Totales Differential .............................................. 94
Richtungsableitung .............................................. 95
Taylorformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95
Kettenregel .................................................... 96
Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97
Extremwertaufgaben und Optimierung ................................... 98
Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98
Extrema von Funktionen mit einer Variablen ........................... 99
Extrema von Funktionen mit mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99
Extrema mit Gleichungsrestriktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10 I
Nichtlineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10 1
Doppelintegrale ....................................................... 102
Berechnung (iterierte Integration) ................................... 102
8 Inhalt
Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103
Oberfliichenintegrale 1. Art ........................................ 103
Fliichenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 104
Anwendungen ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 104
Dreifachintegrale ..................................................... 105
Berechnung (iterierte Integration) .................................... 105
Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 106
Raumelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 107
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 107
Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 108
Vektorfelder ................................................... 108
Parameterableitungen von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 108
Gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 109
Divergenz ...................................................... 109
Rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11 0
Differentialoperatoren 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. III
Linienintegrale 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. III
Oberfliichenintegrale 2. Art ......................................... 112
Integralsiitze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1I2
PartieUe Differentialgleichungen ......................................... 113
Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung ........................... 113
Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung ........................... 113
Stochastik ........................................................... 115
ZufaIlige Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 115
Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. lIS
Verteilungsfunktion und Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117
Erwartungswert und Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1I8
Spezielle diskrete Verteilungen ..................................... 118
Spezielle stetige Verteilungen ...................................... 119
Funktionen von ZufallsgrOl3en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 120
Zweidimensionale ZufallsgroBen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 120
Korrelation und Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121
Punktschiitzungen ............................................... 122
Konfidenzintervalle .............................................. 123
Signifikanztests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 123
Statistische Tabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 125
Numerische Methoden ................................................. 128
Lineare Gleichungssysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 128
Matrizen-Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 129
Nichtlineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 130
Approximationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 131
Numerische Differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 132
Numerische Integration ........................................... 132
Numerik fur Anfangswertaufgaben ................................... 133
Sachregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 135
Bezeichnungen, Konstanten, elementare Gesetze
Bezeichnungen im dekadischen System
Einheit umgangs- Vorsilbe Abk. Einheit Vorsilbe Abk.
sprachl. Bez.
101 Zehn Deka da 10-1 Dezi d
102 Hundert Hekto h 10-2 Zenti c
103 Tausend Kilo k 10-3 Milli m
106 Million Mega M 10-6 Mikro Jl
109 Milliarde Giga G 10-9 Nano n
1012 Billion Tera T 10-12 Piko P
1015 Billiarde Peta P 10-15 Femto f
1018 Trillion Exa E 10-18 Atto a
1m englisch-amerikanischen Sprachraum wird fUr eine Milliarde "one billion" gebraucht.
Auswahl mathematischer Zeichen
siehe auch Relationen, Mengen, Zahlen, Funktionen, Lineare Algebra, Differential- und
Integralrechnung
Zeichen Bedeutung Zeichen Bedeutung
gleich +, - Vorzeichen plus, minus
.- definierend gleich ± zuerst plus, dann minus
* ungleich + zuerst minus, dann plus
- stets gleich, identisch a Grad
;J= nicht stets gleich, nicht identisch I Minute (6~ Grad)
:::; etwa gleich Sekunde ( 610 Minute)
< kleiner (a, b) offenes Intervall a<x<b
<;; kleiner oder gleich [a,b] abgeschlossenes Intervall a<;;x<;;b
« wesentlichkleiner (a,b] links offenes, rechts abgeschlossenes
> groJ3er Intervall a<x<;;b
2: groJ3er oder gleich [a, b) links abgeschlossenes, rechts offenes
» wesentlich groJ3er Intervall a<;;x<b
proportiona~ iihnlich und so weiter / Platz fUr Substitution
.1 senkrecht auf a(s)e Aufziihlung mit Anfang a,
- kongruent Schrittweite s und Ende e
parallel C,N,Q,~,Z ~ Zahlen
10 Bezeichnungen, Konstanten, elementare Gesetze
Mathematische Konstanten (gerundet)
n =3.141592653590 10 =0.017453292520 1 = 57.29577951 0
e = 2.718281828459 l' = 0.000290888209 1 = 3437.746771'
C = 0.577215664902 1" = 0.000004848137 1 = 206264.8062"
Potenzen der Zahl 2 uod Fakultiiten
n 2n n! n 2n n!
2 11 2048 39916800
2 4 2 12 4096 479001600
3 8 6 13 8192 6227020800
4 16 24 14 16384 87178291200
5 32 120 15 32768 1 307 674 368 000
6 64 720 16 65536 20 922 789 888 000
7 128 5040 17 131 072 355 687 428 096 000
8 256 40320 18 262144 6 402 373 705 728 000
9 512 362880 19 524288 121 645 100 408832000
10 1024 3628800 20 1048576 2 432 902 008 176 640 000
Bernoullische Zahlen
B - (-nn-1[ 2n- 1 (2)1 ni:\_I)k Bk ] (n=I,2, ... )
n - 2(2n+ I) + n. k=l (2n-2k+ 1)!(2k)!
n Bn n Bn n Bn n Bn
1 1 7 174611
1 6 4 30 7 6 10 330
1 5 3617 854513
2 5 8 11
30 66 510 --:r38
1 691 43867 236364091
3 42 6 2730 9 798 12 2730
Eulersche Zahlen
En = (_nn-1ni:\_I)k( 2n)E (n= 1,2, ... ;mitEo= I)
k=O 2k k
n I En n En n En
3 61 6 2702765
1 4 1385 7 199360981
5 5 50521 8 19391 512 145