Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 4: Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden PDF
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Springer-Lehrbuch Prof.Dr.-Ing.DietmarGross studierteAngewandteMechanikundpromoviertean derUniversitätRostock.ErhabilitierteanderUni- versitätStuttgartundistseit1976ProfessorfürMe- chanikanderTUDarmstadt.SeineArbeitsgebiete sindunteranderendieFestkörper-undStrukturme- chaniksowiedieBruchmechanik.Hierbeiisterauch mitderModellierungmikromechanischerProzesse befasst.EristMitherausgebermehrererinternatio- nalerFachzeitschriftensowieAutorzahlreicherLehr- undFachbücher. Prof.Dr.WernerHauger studierteAngewandteMathematikundMechanikan derUniversitätKarlsruheundpromovierteander NorthwesternUniversityinEvanston/Illinois.Erwar mehrereJahreinderIndustrietätig,hatteeinePro- fessuranderUniversitätderBundeswehrinHam- burgundwurde1978andieTUDarmstadtberufen. Sein Arbeitsgebiet ist die Festkörpermechanik mit den Schwerpunkten Stabilitätstheorie, Plastodyna- mikundBiomechanik.EristAutorvonLehrbüchern undMitherausgeberinternationalerFachzeitschrif- ten. Prof.Dr.-Ing.JörgSchröder studierte Bauingenieurwesen, promovierte an der UniversitätHannoverundhabilitierteanderUniver- sität Stuttgart. Nach einer Professur für Mechanik anderTUDarmstadtisterseit2001Professorfür MechanikanderUniversitätDuisburg-Essen.Seine Arbeitsgebietesindunteranderemdietheoretische unddiecomputerorientierteKontinuumsmechanik sowie die phänomenologische Materialtheorie mit Schwerpunkten auf der Formulierung anisotroper MaterialgleichungenundderWeiterentwicklungder Finite-Elemente-Methode. Prof.Dr.mont.EwaldA.Werner studierteWerkstoffwissenschaften,promovierteund habilitierte an der Montanuniversität Leoben. Er forschte am Erich Schmid Institut für Festkörper- physikderösterreichischenAkademiederWissen- schaftenundanderETHZürich.Von1997bis2002 warerProfessorfürMechanikanderTUMünchen, seit2002leiteterdortdenLehrstuhlfürWerkstoff- kundeundWerkstoffmechanik.SeineArbeitsgebiete sinddieMetallphysikunddieWerkstoffmechanik. EristKoautorvonLehrbüchernundMitherausgeber mehrererinternationalerFachzeitschriften. Dietmar Gross · Werner Hauger Jörg Schröder · Ewald Werner FormelnundAufgaben zur Technischen Mechanik 4 Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, NumerischeMethoden 1.Auflage Mit350Abbildungen 123 Prof.Dr.-Ing.DietmarGross Prof.Dr.-Ing.JörgSchröder Prof.Dr.WernerHauger InstitutfürMechanik InstitutfürMechanik UniversitätDuisburg-Essen TechnischeUniversitätDarmstadt CampusEssen Hochschulstraße1 Universitätsstraße15 64289Darmstadt 45117Essen Prof.Dr.mont.EwaldA.Werner LehrstuhlfürWerkstoffkunde undWerkstoffmechanik TUMünchen Boltzmannstraße15 85747Garchingb.München ISBN 978-3-540-21488-5 e-ISBN 978-3-540-49843-8 DOI 10.1007/978-3-540-49843-8 BibliografischeInformationderDeutschenNationalbibliothek DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. ©2008Springer-VerlagBerlinHeidelberg DiesesWerkisturheberrechtlichgeschützt.DiedadurchbegründetenRechte,insbesonderedieder Übersetzung,desNachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenundTabellen,derFunk- sendung,derMikroverfilmungoderderVervielfältigungaufanderenWegenundderSpeicherung inDatenverarbeitungsanlagen,bleiben,auchbeinurauszugsweiserVerwertung,vorbehalten.Eine VervielfältigungdiesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesistauchimEinzelfallnurindenGrenzen dergesetzlichenBestimmungendesUrheberrechtsgesetzesderBundesrepublikDeutschlandvom 9.September1965inderjeweilsgeltendenFassungzulässig.Sieistgrundsätzlichvergütungspflichtig. ZuwiderhandlungenunterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerk berechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,daßsolcheNamenimSinne derWarenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervon jedermannbenutztwerdendürften. SollteindiesemWerkdirektoderindirektaufGesetze,VorschriftenoderRichtlinien(z.B.DIN,VDI, VDE)Bezuggenommenoderausihnenzitiertwordensein,sokannderVerlagkeineGewährfür dieRichtigkeit,VollständigkeitoderAktualitätübernehmen.Esempfiehltsich,gegebenenfallsfür dieeigenenArbeitendievollständigenVorschriftenoderRichtlinieninderjeweilsgültigenFassung hinzuzuziehen. Satz:ReproduktionsfertigeVorlagenderAutoren Herstellung:LE-TEXJelonek,Schmidt&VöcklerGbR,Leipzig Umschlaggestaltung:WMXDesignGmbH,Heidelberg GedrucktaufsäurefreiemPapier 987654321 springer.com Vorwort Mit dem vorliegenden Band stellen wir Studienmaterial zu ausgew¨ahl- tenGebietenderTechnischenMechanikzurVerfu¨gung.Behandeltwer- den die Grundlagen der Hydromechanik, der Elastizit¨atstheorie, der Tragwerkslehre, der Schwingungen von Kontinua, der Stabilit¨atstheo- rie, derPlastizit¨at undViskoelastizit¨at sowie derNumerischenMetho- den. Mit dieser Stoffauswahl kann das Werk als Erg¨anzung zum Lehr- buchTechnischeMechanik4angesehenwerden,andemzweiderAuto- renbeteiligt sind.Unabh¨angigdavonkanndieSammlungvonFormeln undAufgabeneineHilfestellungbeimEindringenindiegenanntenGe- biete sein. Bei der Gestaltung der Aufgaben haben wir uns um m¨oglichste Klarheit und Verst¨andlichkeit bemu¨ht. Auch haben wir versucht, die Themengebiete weitgehend abzudecken. Deutlich warnen wollen wir aber vor einem reinen Nachlesen der L¨osungen. Sinnvoll wird diese Sammlungnurdanngenutzt,wenndieLeserinoderderLeserzun¨achst selbst¨andig versucht, zur L¨osung einer Aufgabe zu gelangen und erst danach auf den hierangebotenen L¨osungsweg blickt. Selbstverst¨andlich kann diese Sammlung kein Lehrbuch ersetzen. Wem die theoretischen Grundlagen oder die Begru¨ndung verschiede- nerFormelnundVerfahrennichtmehrgel¨aufigsind,denverweisenwir aufdasschon genannteLehrbuchTechnischeMechanik 4sowie aufdie darin enthaltenen Literaturempfehlungen. Dem Springer-Verlag danken wir fu¨r die gute Zusammenarbeit und die ansprechende Ausstattung des Buches. Gedankt sei an dieser Stel- le auch Vera Ebbing, Sarah Brinkhues, Dominik Brands und Hamid Aslami in Essen sowie Volker Mannl (†), Cornelia Schwarz und Ro- bert Werner in Mu¨nchen fu¨r die Unterstu¨tzung bei der Erstellung des Manuskripts. Wir wu¨nschen dem Band eine freundliche Aufnahme bei der Leser- schaft und sind fu¨r kritische Anmerkungenund Anregungen dankbar. Darmstadt, Essen und Mu¨nchen,im Dezember 2007 D.Gross W.Hauger J.Schr¨oder E.Werner Inhaltsverzeichnis 1 Hydromechanik Formelsammlung................................................... 2 Aufgaben und L¨osungen.......................................... 8 2 GrundlagenderElastizit¨atstheorie Formelsammlung................................................... 56 Aufgaben und L¨osungen.......................................... 64 3 StatikspeziellerTragwerke Formelsammlung................................................... 114 Aufgaben und L¨osungen.......................................... 119 4 SchwingungenkontinuierlicherSysteme Formelsammlung................................................... 150 Aufgaben und L¨osungen.......................................... 156 5 Stabilit¨atelastischerStrukturen Formelsammlung................................................... 214 Aufgaben und L¨osungen.......................................... 221 6 Viskoelastizit¨atundPlastizit¨at Formelsammlung................................................... 286 Aufgaben und L¨osungen.......................................... 296 7 NumerischeMethodeninderMechanik Formelsammlung................................................... 354 Aufgaben und L¨osungen.......................................... 361 1 Kapitel 1 Hydromechanik 2 Hydromechanik Hydrostatik Voraussetzung: DieDichte ρ derFlu¨ssigkeit ist konstant. DruckineinerruhendenFlu¨ssigkeit:DerDruckpisteineFl¨achen- kraft. Er ist in einer ruhenden Flu¨ssigkeit in allen (gedachten) Schnit- ten durch einen Punktgleich groß undwirkt orthogonal zurjeweiligen Schnittfl¨ache: hydrostatischer Spannungszustand. In einer Flu¨ssigkeit unter der Wirkung der Schwerkraft w¨achst der Druck linear mit der Tiefe: p0 p0 z ρ p(z)=p +ρgz. 0 p(z) Auftrieb: Der Auftrieb eines ganz oder teilweise in eine Flu¨ssigkeit eingetauchtenK¨orpersistgleichdemGewichtderverdr¨angtenFlu¨ssig- keitsmenge: ρ dA1 α1p1dA1 dA F =ρgV. V h A S F p2dA2 dA2 α2 Die Wirkungslinie des Auftriebs geht durch den Schwerpunkt S der F verdr¨angten Flu¨ssigkeitsmenge. SchwimmenderK¨orper:EinschwimmenderK¨orpertauchtsotiefin eineFlu¨ssigkeitein,bisdasGewichtderverdr¨angtenFlu¨ssigkeitsmenge gleich seinem eigenen Gewicht ist. Die entsprechendeSchwimmlage ist stabil, wenn das Metazentrum M oberhalb des Schwerpunkts S des K K¨orpers liegt: ( h = Ix −e >0:stabileGleichgewichtslage, M V <0:instabileGleichgewichtslage. Hydromechanik 3 M A h M x y S K e S F V z I :Fl¨achentr¨agheitsmoment dervon der x,y-Ebeneaus dem x K¨orpergeschnittenen Fl¨ache A (Schwimmfl¨ache), V: Volumen derverdr¨angten Flu¨ssigkeitsmenge, e: Abstanddes K¨orperschwerpunkts S vom SchwerpunktS K F derverdr¨angten Flu¨ssigkeitsmenge. Druck einer Flu¨ssigkeit auf ebene Fl¨achen: Die resultierende Kraft F einer Flu¨ssigkeit auf eine ebene Fl¨ache A ist gleich dem Pro- duktaus dem Druckp im Fl¨achenschwerpunktS undder Fl¨ache: S F =p A=ρgz A. S S x α x z y ρ p y y F D S y D dA S D A xS A y 4 Hydromechanik Die Wirkungslinie von F geht durch den DruckmittelpunktD: x =−I /S , y =I /S =y +I /(y A). D xy x D x x S xS S I ,I :Fl¨achentr¨agheitsmomente bzgl. des x,y-Koordinatensystems, x xy S :statisches Moment bzgl. der x-Achse, x I :Fl¨achentr¨agheitsmoment bzgl. einer zur x-Achseparallelen xS Achsedurch den SchwerpunktS der Fl¨ache, y :Abstand desSchwerpunktsS von der x-Achse. S Druck einer Flu¨ssigkeit auf gekru¨mmte Fl¨achen: Die Vertikal- komponente F der resultierenden Kraft einer Flu¨ssigkeit auf eine ge- V kru¨mmte Fl¨ache ist gleich dem Gewicht der Flu¨ssigkeit, die sich ober- halb der Fl¨ache befindet: F =ρgV. V Ihre Wirkungslinie geht durch den Schwerpunkt des Flu¨ssigkeitsvolu- mens V. dA¯ dV z V α dA∗ ρ ρ dF S∗ dA A∗ A Die Horizontalkomponente F ist das Produkt aus der projizierten H Fl¨ache A∗ und demDruckp im SchwerpunktS∗ dieser Fl¨ache: S∗ F =p A∗. H S∗ SiestimmtmitderKraftu¨berein,dievonderFlu¨ssigkeit aufdieverti- kaleebeneFl¨acheA∗ ausgeu¨btwird.DieseAussagen geltensinngem¨aß auch dann, wenn sich eine Flu¨ssigkeit unterhalb einer gekru¨mmten Fl¨ache befindet.
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