Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik. / 2, Elastostatik, Hydrostatik PDF
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Springer-Lehrbuch Prof.Dr.-Ing.DietmarGross studierteAngewandteMechanikundpromoviertean derUniversitätRostock.ErhabilitierteanderUni- versitätStuttgartundistseit1976ProfessorfürMe- chanikanderTUDarmstadt.SeineArbeitsgebiete sindunteranderendieFestkörper-undStrukturme- chaniksowiedieBruchmechanik.Hierbeiisterauch mitderModellierungmikromechanischerProzesse befasst.EristMitherausgebermehrererinternatio- nalerFachzeitschriftensowieAutorzahlreicherLehr- undFachbücher. Prof.Dr.-Ing.WolfgangEhlers studierte Bauingenieurwesen an der Universität Hannover,promovierteundhabilitierteanderUni- versität Essen und war 1991 bis 1995 Professor für MechanikanderTUDarmstadt.Seit1995isterPro- fessorfürTechnischeMechanikanderUniversität Stuttgart. Seine Arbeitsgebiete umfassen die Kon- tinuumsmechanik,dieMaterialtheorie,dieExperi- mentelleunddieNumerischeMechanik.Dabeiist erinsbesondereanderModellierungmehrphasiger MaterialenbeiAnwendungenimBereichderGeo- mechanikundderBiomechanikinteressiert. Prof.Dr.-Ing.PeterWriggers studierte Bauingenieur- und Vermessungswesen, promovierte1980anderUniversitätHannoverund habilitierte1986imFachMechanik.ErwarGastpro- fessoranderUCBerkeley,USA,ProfessorfürMecha- nikanderTHDarmstadtundDirektordesDarm- städter Zentrums für Wissenschaftliches Rechnen. Seit1998isterProfessorfürBaumechanikundNu- merischeMechaniksowieDirektordesZentrumsfür ComputationalEngineeringSciencesanderUniver- sitätHannover.EristMitherausgebervon11interna- tionalenJournalsundEditor-in-ChiefderZeitschrift ComputationalMechanics. Dietmar Gross · Wolfgang Ehlers Peter Wriggers Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 2 Elastostatik,Hydrostatik 8.,vollständigneubearbeiteteAuflage Mit322Abbildungen 123 Prof.Dr.-Ing.DietmarGross Prof.Dr.-Ing.PeterWriggers InstitutfürMechanik InstitutfürBaumechanik TechnischeUniversitätDarmstadt undNumerischeMechanik Hochschulstraße1 UniversitätHannover 64289Darmstadt Appelstraße9a 30167Hannover Prof.Dr.-Ing.WolfgangEhlers InstitutfürMechanik (Bauwesen) UniversitätStuttgart Pfaffenwaldring7 70569Stuttgart BibliografischeInformationderDeutschenNationalbibliothek DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. ISBN 978-3-540-70767-7 8.Aufl.SpringerBerlinHeidelbergNewYork ISBN 978-3-540-22960-5 7.Aufl.SpringerBerlinHeidelbergNewYork DiesesWerkisturheberrechtlichgeschützt.DiedadurchbegründetenRechte,insbesonderedieder Übersetzung,desNachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenundTabellen,derFunk- sendung,derMikroverfilmungoderderVervielfältigungaufanderenWegenundderSpeicherung inDatenverarbeitungsanlagen,bleiben,auchbeinurauszugsweiserVerwertung,vorbehalten.Eine VervielfältigungdiesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesistauchimEinzelfallnurindenGrenzen dergesetzlichenBestimmungendesUrheberrechtsgesetzesderBundesrepublikDeutschlandvom 9.September1965inderjeweilsgeltendenFassungzulässig.Sieistgrundsätzlichvergütungspflichtig. ZuwiderhandlungenunterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes. SpringeristeinUnternehmenvonSpringerScience+BusinessMedia springer.de ©Springer-VerlagBerlinHeidelberg1996,1998,2003,2005und2007 DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerk berechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,daßsolcheNamenimSinne derWarenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervon jedermannbenutztwerdendürften. SollteindiesemWerkdirektoderindirektaufGesetze,VorschriftenoderRichtlinien(z.B.DIN,VDI, VDE)Bezuggenommenoderausihnenzitiertwordensein,sokannderVerlagkeineGewährfür dieRichtigkeit,VollständigkeitoderAktualitätübernehmen.Esempfiehltsich,gegebenenfallsfür dieeigenenArbeitendievollständigenVorschriftenoderRichtlinieninderjeweilsgültigenFassung hinzuzuziehen. Satz:ReproduktionsfertigeVorlagenderAutoren Herstellung:LE-TEXJelonek,Schmidt&VöcklerGbR,Leipzig Umschlaggestaltung:WMXDesignGmbH,Heidelberg GedrucktaufsäurefreiemPapier SPIN:11873204 7/3100/YL-543210 Vorwort Diese Aufgabensammlung soll dem Wunsch der Studenten nach Hilfs- mitteln zur Erleichterung des Studiums und zur Vorbereitung auf die Pru¨fungRechnungtragen.MitdemvorliegendenzweitenBand(Elasto- und Hydrostatik) stellen wir den Studenten weiteres Studienmaterial zur Verfu¨gung. Das Stoffgebiet der Elastostatik umfasst im wesentlichen das zwei- te Studiensemester eines Mechanik-Grundkurses an Universit¨aten und Hochschulen.InderElastostatikwerdensolchestatischenProblemebe- handelt,dieinderRegelnurmitHilfederGleichgewichtsbedingungen, eines Materialgesetzes sowie kinematischer Beziehungen gel¨ost werden k¨onnen. Da es uns auf das Erfassen der Grundgedanken und der Ar- beitsmethoden ankommt, haben wir uns bewusst auf linear-elastische K¨orperunterkleinenDeformationenbeschr¨ankt.Damitwirdeingroßer TeilderElastostatikabgedeckt.InsbesonderewerdenBauteilewieStab und Balken sowie einfache ebene Probleme behandelt. Auf die Idea- lisierung realer Strukturen auf berechenbare Systeme wird hier nicht eingegangen. Ebenso wie in Band 1 dieser Aufgabensammlung sei auch an dieser StellevorderIllusiongewarnt,dasseinreinesNachlesenderL¨osungen zumVerst¨andnisderMechanikfu¨hrt.SinnvollwirddieseSammlungnur dann genutzt, wenn der Studierende zun¨achst eine Aufgabe allein zu l¨osenversuchtundnurbeimScheiternaufdenangegebenenL¨osungsweg schaut. Selbstverst¨andlich kann diese Sammlung kein Lehrbuch ersetzen. WemdieBegru¨ndungeinerFormelodereinesVerfahrensnichtgel¨aufig ist, der muss auf sein Vorlesungsmanuskript oder auf die vielf¨altig an- gebotene Literatur zuru¨ckgreifen. Eine kleine Auswahl ist auf Seite IX angegeben. Die Aufgabensammlung geht zu einem guten Teil auf unseren ver- storbenen Kollegen Prof. Dr. Dr. h.c. Walter Schnell zuru¨ck, der auch bis zur 5. Auflage Mitautor war. Seine didaktische Handschrift ist an dervorliegenden8.Auflagetrotzdervollst¨andigenU¨berarbeitungund der Erweiterung um viele Aufgaben immer noch deutlich zu erkennen. Wir danken dem Springer-Verlag, in dem auch die von uns mitver- fassten Lehrbu¨cher zur Technischen Mechanik erschienen sind, fu¨r die gute Zusammenarbeit und die ansprechende Ausstattung des Buches. Auch dieser Auflage wu¨nschen wir eine freundliche Aufnahme bei der interessierten Leserschaft. Darmstadt, Hannover und Stuttgart, im Januar 2007 D.Gross P.Wriggers W.Ehlers Inhaltsverzeichnis Literaturhinweise,Bezeichnungen................................. IX 1 Spannung,Verzerrung,Elastizit¨atsgesetz...................... 1 2 ZugundDruck........................................................ 25 3 Biegung................................................................. 53 4 Torsion.................................................................. 107 5 DerArbeitsbegriffinderElastostatik ........................... 137 6 Stabilit¨at............................................................... 171 7 Hydrostatik............................................................ 185 IX Literaturhinweise Lehrbu¨cher Gross, D., Hauger, W., Schr¨oder, J., Wall, W., Technische Mechanik, Band 2: Elastostatik, 9. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007 Hagedorn, P., Technische Mechanik, Band 2: Festigkeitslehre, 2. Auf- lage. Harri Deutsch, Frankfurt 2006 Bruhns,O.T.,ElementederMechanikII:Elastostatik,ShakerVerlag, Aachen 2002 Brommund, E., Sachs, G., Sachau, D., Technische Mechanik, 4. Aufla- ge. Oldenbourg, Mu¨nchen 2006 Hibbeler, R.C., Technische Mechanik 2: Festigkeitslehre, 5. Auflage. Pearson-Studium 2006 Magnus, K., Mu¨ller, H. H., Grundlagen der Technischen Mechanik, 7. Auflage. Teubner, Stuttgart 2005 Wittenburg,J.,Pestel,E.,Festigkeitslehre,3.Auflage.Springer-Verlag, Berlin 2001 Gere,J.M.,Timoshenko,S.,MechanicsofMaterials,4thEdition.PWS Publishing Company, Boston 2000 Aufgabensammlungen Bruhns, O. T., Aufgabensammlung Technische Mechanik 2, Vieweg, Braunschweig 2000 Hauger, W., Lippmann, H., Mannl, V., Aufgaben zu Technische Me- chanik 1-3. Springer-Verlag, Berlin 2001 Hagedorn, P., Aufgabensammlung Technische Mechanik, 2. Auflage. Teubner, Stuttgart 1992 Zimmermann,K.,TechnischeMechanik-multimedial,2.Auflage.Fach- buch Verlag, Leipzig 2003 Dankert, H, Dankert, J., Technische Mechanik, 4. Auflage. Teubner, Stuttgart 2006 Bezeichnungen Bei den L¨osungen der Aufgaben wurden folgende Symbole verwendet: ↑: Abku¨rzung fu¨r Summe aller Kr¨afte in Pfeilrichtung ist gleich Null. (cid:1) A: Abku¨rzung fu¨r Summe aller Momente um den Bezugspunkt A ist gleich Null. (cid:1) Abku¨rzung fu¨r hieraus folgt. 1 Kapitel 1 Spannung, Verzerrung, Elastizit¨atsgesetz 2 Spannung 1.1 1.1 Spannung,Gleichgewichtsbedingung SpannungennenntmandieaufdieFl¨achen- einheit eines Schnittes bezogenen Kr¨afte. Der Spannungsvektor t ist definiert als dF dF dA t= , dA n wobei dF die Kraft auf das Fl¨achenelement dA darstellt (Einheit: 1 Pa = 1 N/m2). Beachte:DerSpannungsvektorundseineKomponentenh¨angenvonder Schnittrichtung (Fl¨achennormale n) ab. Komponenten des Spannungsvektors: t σ – Normalspannung (senkrecht zur Fl¨ache) τ τ – Schubspannung (in der Fl¨ache) σ n Vorzeichenfestlegung: Positive Spannungskomponente zeigt am positiven (negativen) Schnittufer in positive (negative) Richtung. R¨aumlicher Spannungszustand: ist eindeutig bestimmt durch die Kompo- nenten der Spannungsvektoren fu¨r drei senkrecht aufeinander stehende Schnitte. Die Spannungskomponenten sind Kompo- z nenten des Spannungstensors τzxσz τzy ⎛ ⎞ ⎜σx τxy τxz⎟ τxz τσyzy σ =⎝τyx σy τyz⎠ σx τxy τyx τzx τzy σz x y Es gilt (Momentengleichgewicht) τxy =τyx , τxz =τzx , τyz =τzy . DerSpannungstensoristeinsymmetrischer Tensor 2. Stufe:τij =τji. EbenerSpannungszustand 3 Ebener Spannungszustand: isteindeu- tig bestimmt durch die Spannungskompo- nenten fu¨r zwei senkrecht aufeinander ste- σy hende Schnitte. Die Spannungskomponen- τyx ten in die 3. Richtung (hier z-Richtung) verschwinden (σz =τyz =τxz =0) σx τxy (cid:7) (cid:8) τxy σx σ = σx τxy . y τxy σy τyx σy x Transformationsbeziehungen τxy=τyx y σξ=σx+σy + σx−σy cos2ϕ+τxysin2ϕ, τζη σζ 2 2 σx ζ ση=σx+2 σy − σx−2 σy cos2ϕ−τxysin2ϕ, τxy ϕ τξη=−σx−σy sin2ϕ+τxycos2ϕ. η ϕ 2 τyx x Hauptspannungen σy (cid:9) σ1,2 = σx+2 σy ± (cid:10)σx−2 σy(cid:11)2+τx2y σ2 σ1 tan2ϕ∗ = 2τxy σx−σy σ2 Beachte:• Die Schubspannungen sind in y ϕ∗1 ϕ∗2 σ2 diesen Schnitten Null! • Die Hauptspannungsrichtungen x stehen senkrecht aufeinander: ϕ∗2 =ϕ∗1±π/2. σ0 τmax σ0 Maximale Schubspannung (cid:9) (cid:10) (cid:11) τmax = σx−σy 2+τx2y, ϕ∗∗ =ϕ∗±π . y σ0 σ0 2 4 τmax ϕ∗∗ DieNormalspannungenhabenindiesen x Schnitten die Gr¨oße σ0 =(σx+σy)/2. Invarianten Iσ=σx+σy =σξ+ση =σ1+σ2 , IIσ=σxσy−τx2y =σξση−τξ2η =σ1σ2 .
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