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Dietmar Gross · Wolfgang Ehlers Peter Wriggers · Jörg Schröder Ralf Müller Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 1 Statik 13. Auflage Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 1 Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross studierte Angewandte Mechanik und promovierte an der Universität Rostock. Er habilitierte an der Universität Stuttgart und ist seit 1976 Professor für Mechanik an der TU Darmstadt. Seine Arbeitsgebiete sind unter anderen die Festkörper- und Strukturmechanik sowie die Bruchmechanik. Hierbei ist er auch mit der Modellierung mikro- mechanischer Prozesse befasst. Er ist Mitherausgeber mehrerer internationaler Fachzeitschriften sowie Autor zahlreicher Lehr- und Fachbücher. Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. Wolfgang Ehlers studierte Bauingenieurwesen an der Universität Hannover, promovierte und habilitierte an der Universität Duisburg- Essen und war von 1991 bis 1995 Professor für Mechanik an der TU Darmstadt. Von 1995 bis 2019 war er Professor für Kontinuumsmechanik an der Universität Stuttgart. Seine Arbeitsgebiete umfassen die Kontinuumsmechanik, insbesondere die Theorie Poröser Medien, die Materialtheorie, die Experimentelle und die Numerische Mechanik. Seit Oktober 2019 ist er im Ruhestand. Prof. Dr.-Ing. Peter Wriggers studierte Bauingenieurwesen, promovierte 1980 an der Universität Hannover und habilitierte dort 1986 im Fach Mechanik. Er war Gastprofessor an der UC Berkeley, USA, und Professor für Mechanik an der TH Darmstadt. Ab 1998 war er Professor für Baumechanik und Numerische Mechanik an der Universität Hannover, und wechselte in 2008 als Professor für Kontinuumsmechanik an die dortige Fakultät für Maschinenbau. Prof. Dr.-Ing. Jörg Schröder studierte Bauingenieurwesen, promovierte an der Universität Hannover und habilitierte an der Universität Stuttgart. Nach einer Professur für Mechanik an der TU Darmstadt ist er seit 2001 Professor für Mechanik an der Universität Duisburg-Essen. Seine Arbeits- gebiete sind unter anderem die theoretische und die computerorientierte Kontinuumsmechanik sowie die phänomenologische Materialtheorie mit Schwerpunkten auf der Formulierung anisotroper Materialgleichungen und der Weiterentwicklung der Finite-Elemente-Methode Prof. Dr.-Ing. Ralf Müller studierte Maschinenbau und Mechanik an der TU Darmstadt und promovierte dort 2001. Nach einer Juniorprofessur mit Habilitation im Jahr 2005 an der TU Darmstadt leitet er seit 2009 den Lehr- stuhl für Technische Mechanik im Fachbereich Maschinenbau und Ver- fahrenstechnik der TU Kaiserslautern. Seine Arbeitsgebiete innerhalb der Festkörpermechanik sind unter anderem mehrskalige Materialmodellierung, gekoppelte Mehrfeldprobleme, Defekt- und Mikromechanik. Er beschäftigt sich im Rahmen numerischer Verfahren mit Randelemente- und Finite- Elemente-Methoden. Dietmar Gross · Wolfgang Ehlers · Peter Wriggers · Jörg Schröder · Ralf Müller Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 1 Statik 13., aktualisierte Aufl age Dietmar Gross Wolfgang Ehlers Technische Universität Darmstadt Universität Stuttgart Darmstadt, Deutschland Stuttgart, Deutschland Peter Wriggers Jörg Schröder Leibniz Universität Hannover Universität Duisburg-Essen Hannover, Deutschland Essen, Deutschland Ralf Müller Technische Universität Kaiserslautern Kaiserslautern, Deutschland ISBN 978-3-662-61863-9 ISBN 978-3-662-61864-6 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-61864-6 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen National- bibliografi e; detaillierte bibliografi sche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 1996, 1998, 2003, 2005, 2006, 2008, 2011, 2013, 2016 , 2021 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfi lmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. D ie Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. D er Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografi sche Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany Vorwort DieseAufgabensammlungsolldemWunschderStudierendennachHilfs- mitteln zur Erleichterung des Studiums und zur Vorbereitung auf die Pru¨fung Rechnungtragen. Entsprechend den meist u¨blichen dreisemestrigen Grundkursen in Technischer Mechanik an Universitäten und Hochschulen besteht die SammlungausdreiBänden.DerersteBand(Statik)umfasstdasStoff- gebiet des ersten Semesters. Dabei haben wir bei allen Aufgaben das FindendesLösungswegsunddieAufstellungderGrundgleichungender numerischen Ausrechnungu¨bergeordnet. ErfahrungsgemäßbereitetdieTechnischeMechanikgeradedemAn- fänger oft große Schwierigkeiten. In diesem Fach soll er exemplarisch lernen, ein technisches Problem auf ein mathematisches Modell abzu- bilden, dieses mit mathematischen Methoden zu analysieren und das ErgebnisinHinblickaufdieingenieurwissenschaftlicheAnwendungaus- zuwerten. Der Wegzu diesem Ziel kann erfahrungsgemäß nuru¨berdie selbständige Bearbeitung von Aufgaben fu¨hren. Wir warnen deshalb dringend vor derIllusion, dass ein reines Nachlesen der Lösungen zum Verständnis der Mechanik fu¨hrt. Sinnvoll wird diese Sammlung nur dann genutzt, wenn der Studierende zunächst eine Aufgabe allein zu lösen versucht und nur beim Scheitern auf den angegebenen Lösungs- weg schaut. Selbstverständlich kann diese Sammlung kein Lehrbuch ersetzen. WemdieBegru¨ndungeinerFormelodereinesVerfahrensnichtgeläufig ist, der muss auf sein Vorlesungsmanuskript oder auf die vielfältig an- gebotene Literatur zuru¨ckgreifen. Eine kleine Auswahlist auf Seite IX angegeben. Die freundliche Aufnahme der 12. Auflage machte eine Neuauflage notwendig; diese haben wir fu¨r Ergänzungen und zur redaktionellen U¨berarbeitunggenutzt. WirdankendemSpringer-Verlag,indemauchdieteilweise vonuns mitverfassten Lehrbu¨cher zur Technischen Mechanik erschienen sind, fu¨r die gute Zusammenarbeit und die ansprechende Ausstattung des Buchs. Auch dieser Auflage wu¨nschen wir eine freundliche Aufnahme bei derinteressierten Leserschaft. Darmstadt, Stuttgart, Hannover, D.Gross Essen und Kaiserslautern, im Sommer 2021 W.Ehlers P.Wriggers J.Schröder R.Müller Inhaltsverzeichnis Literaturhinweise,Bezeichnungen............................ IX 1 Gleichgewicht...................................................... 1 2 Schwerpunkt....................................................... 31 3 Lagerreaktionen................................................... 47 4 Fachwerke........................................................... 69 5 Balken,Rahmen,Bogen......................................... 103 6 Seile.................................................................. 165 7 DerArbeitsbegriffinderStatik................................ 179 8 HaftungundReibung............................................ 205 9 Flächenträgheitsmomente...................................... 235 IX Literaturhinweise Lehrbücher Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W. Technische Mechanik, Band 1: Statik,14. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2019 Hagedorn, P., Wallaschek, J. Technische Mechanik, Band 1: Statik, 7.Auflage.EditionHarriDeutsch,VerlagEuropa-Lehrmittel,2018 Balke, H., Einfu¨hrung in die Technische Mechanik, Statik, 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2010 Mu¨ller,W.H.,Ferber,F.,TechnischeMechanikfu¨rIngenieure,5.Auf- lage. Carl Hanser Verlag, Mu¨nchen 2019 Richard, H. A., Sander, M., Technische Mechanik, Statik, 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2016 Hibbeler, R.C., Technische Mechanik 1, Statik, 14. Auflage. Pearson Studium2018 Magnus, K., Mu¨ller-Slany, H. H., Grundlagen derTechnischen Mecha- nik,7. Auflage. Vieweg-Teubner, 2005 Wriggers, P., Nackenhorst, U., et al., Technische Mechanik kompakt, 2. Auflage. Teubner,Wiesbaden 2006 Gross, D., Hauger, W., Schröder,J., Wall, Rajapakse, N.,Engineering Mechanics 1, Statics, 2nd Edition. Springer, Dordrecht 2013 Hibbeler,R.C.,EngineeringMechanics,Statics,14thEdition.Pearson, 2016 Aufgabensammlungen Hauger,W.,Krempaszky,W.,Wall,W.,Werner,E.,AufgabenzuTech- nischeMechanik 1-3, 10. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2020 Mu¨ller,W.H.,Ferber,F.,U¨bungsaufgabenzurTechnischenMechanik, 3. Auflage. Carl Hanser Verlag, Mu¨nchen 2015 Hagedorn, P., Aufgabensammlung Technische Mechanik, 2. Auflage. Teubner,Stuttgart 1992 Dankert, H, Dankert, J., Technische Mechanik, 7. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2013 Bezeichnungen Bei den Lösungen der Aufgaben wurden folgende Symboleverwendet: ↑: Abku¨rzungfu¨r Summe aller Kräfte in Pfeilrichtung gleich Null. (cid:2) A: Abku¨rzungfu¨r Summe aller Momente um den Bezugspunkt A (mit vorgegebener Drehrichtung) gleich Null. (cid:2) Abku¨rzungfu¨r hieraus folgt. 1 Kapitel 1 Gleichgewicht 2 Gleichgewicht Zentrale Kräftegruppen in der Ebene Eine zentrale Kräftegruppe kann durch die Resultierende (cid:2) F R= Fi i ersetzt werden. Es herrscht Gleichge- wicht, wenn y (cid:2) Fi =0 x F1 oder in Komponenten (cid:2) (cid:2) Fix =0, Fiy =0. Fiy F Darin sind i y αi Fi =Fixex+Fiyey, Fix Fix =Ficosαi, x Fiy =Fisinαi, (cid:3) |Fi|=Fi = Fi2x+Fi2y. Bei der grafischen Lösung verlangt die Gleichgewichtsbedingung, dass das Krafteck geschlossen“ ist. ” Lageplan Kräfteplan = Krafteck fi F 1 F i f1 Zentrale Kräftegruppen im Raum (cid:4) Gleichgewicht h(cid:4)errscht, wenn die Resultierende R = Fi verschwin- det, d.h. wenn Fi =0 oder in Komponenten (cid:2) (cid:2) (cid:2) Fix =0, Fiy =0, Fiz =0. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2021 D. Gross et al., Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61864-6_1