Formas de pensamiento algebraico temprano en alumnos de cuarto y quinto grados de Educación ...

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Formas de pensamiento algebraico temprano
en alumnos de cuarto y quinto grados
de Educación Básica Primaria (9-10 años)

Rodolfo Vergel Causado

Doctorado Interinstitucional en Educación
Facultad de Ciencias y Educación
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá, Mayo de 2014
Formas de pensamiento algebraico temprano
en alumnos de cuarto y quinto grados
de Educación Básica Primaria (9-10 años)

Rodolfo Vergel Causado

Director de tesis: Dr. Carlos Eduardo Vasco Uribe

Doctorado Interinstitucional en Educación
Facultad de Ciencias y Educación
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá, Mayo de 2014
Dedicatoria
A mi madre, quien siempre ha estado presente aun cuando no esté
A Myriam, por su tolerancia, comprensión, su amor y permanente apoyo
A mis hijos, Paula Alejandra, Santiago y Juan Sebastián, pues son el norte de mi existencia

Agradecimientos
A Bruno, amigo sincero, incondicional y crítico permanente
Al profesor Luis Radford, por sus enseñanzas, por haber permitido trabajar a su lado durante el
tiempo de elaboración de la tesis y especialmente por haber compartido conmigo sus saberes en la
pasantía doctoral en la Universidad de Laurentian, Sudbury, Canadá
Al profesor Carlos Eduardo Vasco, por su sabiduría, su orientación y crítica permanente que
posibilitó cualificar mi formación
Al profesor Isaías Miranda Viramontes, por siempre estar dispuesto a escucharme y brindarme el
espacio para discutir elementos claves de esta investigación doctoral
A los niños y niñas de la Institución Educativa Distrital Eduardo Umaña Mendoza
A la profesora Johanna Alexandra Villanueva, por su ímpetu en el trabajo con los niños y las niñas
participantes de esta investigación
Contenido

página
Introducción 1

Capítulo 1. La Investigación 4
1.1 Planteamiento del problema de investigación 4
1.2 Antecedentes 13
1.2.1Estado de conocimiento sobre el pensamiento algebraico 13
1.2.2 Estado de conocimiento sobre el proceso de generalización
en la didáctica de las matemáticas 18
1.2.3 Una síntesis preliminar 30

Capítulo 2. Marco Teórico 33
2.1 Introducción 33
2.2 La idea de cultura en esta investigación y
su importancia en los procesos de aprendizaje 34
2.3 La mediación semiótica de Vygotski y
su influencia teórica sobre el desarrollo del pensamiento 38
2.4 La teoría de la objetivación como una aproximación histórico-cultural 55
2.4.1Breve presentación de los inicios de la teoría de la objetivación 56
2.4.2 Algunas consideraciones filosóficas en la teoría de la objetivación 60
2.4.3 El gesto como medio semiótico de objetivación y los
constructos nodo semiótico y contracción semiótica 72
2.4.4 Sobre el pensamiento algebraico 77
2.4.5 Sobre la generalización algebraica de patrones 80

Capítulo 3. Diseño de la Investigación 84
3.1 Introducción 84
3.2 Fase de pilotaje 86
3.3 Diseño y justificación de las tareas 92
3.4 Población, naturaleza de las sesiones de trabajo
y proceso de recolección de la información 99
3.5 Constitución de los datos y descripción del análisis 104

Capítulo 4. Desarrollo de la Investigación. Análisis Multimodal 109
4.1 Introducción 109
4.2 Sobre la concepción multimodal del pensamiento en esta investigación 109
4.3 Análisis multimodal de las producciones de los estudiantes 111
4.3.1 Tarea 1: Secuencia figural apoyada por representación tabular (1) 112
4.3.2 Tarea 2: Secuencia figural apoyada por representación tabular (2) 121
4.3.3 Tarea 3: Secuencia numérica apoyada por representación tabular 136
4.3.4 Tarea 4: Problema del Mensaje 147
4.3.5 Tarea 5: Secuencia puramente numérica 156
4.3.6 Tarea 6: Secuencia puramente figural 166
4.3.7 Tarea 7: Problema del Mensaje al revés 172

Capítulo 5. Resultados de la Investigación 178
5.1 Introducción 178
5.2 Respuesta a la pregunta de investigación 178
5.3 Síntesis y observaciones finales 185

Referencias Bibliográficas 188

Anexo: Transcripciones de los videos 202
Índice de figuras, diagramas y tablas

Figura1. Secuencia figural con apoyo tabular presentada en Radford (2010a) 7
Figura 2. Secuencia de señalamientos realizados por Dan
al abordar una tarea sobre secuencia figural con apoyo tabular 8
Figura 3. Secuencia figural con apoyo tabular presentada a Paulita 9
Figura 4. Paulita explica la regularidad percibida como
sumar 1 arriba y restar 1 abajo, acompañando
dicha explicación con movimientos del esfero 9
Figura 5. Secuencia figural con apoyo tabular presentada en Radford (2013) 62
Figura 6. Lo General, el Particular y el Singular
de la terna hegeliana en Radford (2013) 63
Figura 7. La estructura del Particular en Radford (2013).
El Particular como actividad particularizante
se hace posible a través de las dos relaciones, (cid:41) y (cid:52) 67
Figura 8. Conocimiento y Becoming como parte de un mismo
proceso de objetivación-subjetivación 70
Figura 9. Estructura de la generalización algebraica de secuencias figurales
presentada en Radford (2013b) 81
Figura 10. Respuesta de un grupo de estudiantes a los ítems
de la primera parte de la primera tarea propuesta en el pilotaje 87
Figura 11. Respuesta de un grupo de estudiantes a los ítems
de la segunda parte de la primera tarea propuesta en el pilotaje 88
Figura 12. Movilización del gesto inscripción de un grupo de estudiantes
encerrando tres círculos de la figura 1 89
Figura 13. Acción de tachar que permite a un grupo de estudiantes
responder a los ítems (a), (b) y (c)
de la segunda parte de la segunda Tarea del pilotaje 90
Figura 14. Respuesta de algunos estudiantes a los items de la segunda
parte de la segunda Tarea del pilotaje 90
Figura 15. Tarea 1: Secuencia figural apoyada por representación tabular (1) 92
Figura 16. Tarea 2: Secuencia figural apoyada por representación tabular (2) 93
Figura 17. Tarea 3: Secuencia numérica apoyada por representación tabular 93
Figura 18. Tarea 4: Problema del Mensaje 95
Figura 19. Tarea 5: Secuencia puramente numérica 97
Figura 20. Tarea 6: Secuencia puramente figural 97
Figura 21. Tarea 7: Problema del Mensaje al revés 98
Figura 22. Parte de un ejemplo de codificación abierta que evidencia elementos de
pensamiento algebraico Factual 107
Figura 23. Parte de un ejemplo de codificación abierta que evidencia elementos de
pensamiento algebraico Contextual y un sentido algebraico de la indeterminancia 107
Figura 24. Secuencia figural apoyada por representación tabular (1)
presentada en la Tarea 113
Figura 25. Producción de Esneider a la solicitud 1 de la Tarea 1 115
Figura 26. Coordinación multimodal de recursos semióticos en una
secuencia de señalamientos de Esneider frente al ítem 1 de la Tarea 1 116
Figura 27. Producción de Jenny sobre los ítems 2 y 3 de la Tarea 1 118
Figura 28. Secuencia de gestos como deslizamientos de Jenny 119
Figura 29. Producción de Luis Felipe sobre los ítems 2 y 3 de la Tarea 1 120
Figura 30. Secuencia figural apoyada por representación tabular (2)
presentada en la Tarea 2 122
Figura 31. Arriba: Secuencia de gestos (señalamientos) que despliega
Laura Sofía acompañada de palabras
Abajo: Un análisis prosódico en el programa Praat
de las elocuciones de Laura Sofía (L5, L7, L9) con intervenciones
de la profesora Johanna (L6 y L8) 123
Figura 32. Movilización de gestos indexicales por parte de Laura Sofía 124
Figura 33. Producción de Laura Sofía, ítem 6 de la Tarea 2 125
Figura 34. La torre como medio semiótico de objetivación presente en el proceso de
semiosis perceptual de Luis Felipe 127
Figura 35. Producción de Luis Felipe, ítem 6 Tarea 2 128
Figura 36. Producción de Yaneth, ítem 6 Tarea 2 128
Figura 37. Luis Felipe moviliza el gesto de señalar la torre
como apoyo para responder el número de círculos de la figura 8000 131
Figura 38. Secuencia numérica apoyada por representación tabular presentada
en la Tarea 3 136
Figura 39. Reconocimiento del patrón por parte de Laura Sofía
en la secuencia investigada 139
Figura 40. Producción de Luis Felipe sobre los ítems 2 y 3 de la Tarea 3 141
Figura 41. Producción de Luis Felipe, item 6, Tarea 3 143
Figura 42. Producción de Jennifer, ítem 6, Tarea 3 144
Figura 43. Producción de Jimmy Stiven, ítem 6, Tarea 3 144
Figura 44. Producción de Laura Sofía, ítem 6, Tarea 3 144
Figura 45. Producción de Yaneth sobre los ítems 2 y 3 de la Tarea 3 145
Figura 46. Secuencia figural apoyada por representación tabular
que sirvió de base para plantear el Problema del Mensaje 148
Figura 47. Producción de Jimmy sobre la Tarea 4, Problema del Mensaje 149
Figura 48. Secuencia de gestos (señalar y tocar) de Jimmy Stiven
que le sirve de apoyo en el mensaje dirigido a la profesora Estella 150
Figura 49. Producción de Luis Felipe sobre la Tarea 4, Problema del Mensaje 151
Figura 50. Producción de Yaneth sobre la Tarea 4, Problema del Mensaje 151
Figura 51. Producción de Sunner sobre la Tarea 4, Problema del Mensaje 152
Figura 52. Producción de Astrid sobre la Tarea 4, Problema del Mensaje 152
Figura 53. Secuencia puramente numérica presentada en la Tarea 5 156
Figura 54. Luis Felipe escribiendo el primer Término de la secuencia que él propone 158
Figura 55. La profesora Johanna explica las diferencias
de las tres secuencias propuestas 160
Figura 56. Respuesta de Laura Sofía a los ítems 1 y 2 de la Tarea 5 161
Figura 57. Respuesta de Jennifer a los ítems 1 y 2 de la Tarea 5 161
Figura 58. Respuesta de Sunner a los ítems 1 y 2 de la Tarea 5 162
Figura 59. Respuesta de Jenny a los ítems 1 y 2 de la Tarea 5 162
Figura 60. Respuesta de Astrid a los ítems 1 y 2 de la Tarea 5 163
Figura 61. Secuencia final acordada en el grupo de estudiantes
y la profesora Johanna con apoyo tabular 164
Figura 62. Secuencia de señalamiento de Santiago en la
secuencia numérica con recurso tabular 164
Figura 63. Secuencia propuesta en la Tarea 6 166
Figura 64. Secuencia de gestos (deslizamientos del lápiz) movilizados por
Laura Sofía, ítem 1 Tarea 6 167
Figura 65. Secuencia de gestos indexicales por parte de Jenny
al explicar la manera como se generan las figuras en la secuencia de la Tarea 6 168
Figura 66. Secuencias propuestas por el investigador
en una entrevista focalizada para indagar por el significado del primer término 171
Figura 67. Secuencia de señalamientos y deícticos espaciales
acompañada de palabras de Yaneth en interacción con la profesora Johanna 173
Figura 68. Una segunda secuencia de señalamientos y
deícticos espaciales acompañada de palabras de Yaneth
en interacción con la profesora Johanna 173
Figura 69. Una tercera secuencia de señalamientos y
deícticos espaciales acompañada de palabras de Yaneth en
interacción con la profesora Johanna 174
Figura 70. Una cuarta secuencia de señalamientos y
deícticos espaciales acompañada de palabras de
Yaneth en interacción con la profesora Johanna 174
Figura 71. Secuencia de señalamientos acompañada de palabras de Luis Felipe en
interacción con la profesora Johanna 175
Figura 72. Una segunda secuencia de señalamientos
acompañada de palabras de Luis Felipe en interacción con la profesora Johanna 176
Figura 73. Una tercera secuencia de señalamientos
acompañada de palabras de Luis Felipe en interacción con la profesora Johanna 176
Figura 74. Un análisis prosódico en el programa Praat
de las elocuciones de Luis Felipe y de la profesora Johanna 176
Diagrama 1. Ubicación de la Teoría cultural de la objetivación
en las perspectivas socioculturales 55
Tabla 1. Rejilla que presenta las expresiones semióticas
de la indeterminancia y su respectiva analiticidad de varios estudiantes
cuando abordan el Problema del Mensaje 154
Tabla 2. Proceso de objetivación contracción semiótica de Luis Felipe 155
Introducción
La posibilidad de potenciar el desarrollo de pensamiento algebraico en los primeros años de
escolaridad es un aspecto que cada vez genera mayor interés para la investigación en
educación matemática. En particular, la generalización de patrones es considerada como
una de las formas más importantes de introducir el álgebra en la escuela. Sin embargo esto
demanda necesariamente desarrollar una perspectiva ampliada sobre la naturaleza del
álgebra escolar, que considere una relación dialéctica entre las formas de pensamiento
algebraico y las maneras de resolver los problemas sobre generalización de patrones, lo
cual introduce un problema en términos de la constitución del pensamiento algebraico en
alumnos jóvenes.

En este proceso de generalización de patrones debemos considerar que los actos de
conocimiento por parte de los estudiantes incluyen diferentes modalidades sensoriales, tales
como lo táctil, lo perceptual, lo kinestésico, etc., que llegan a ser partes integrales de los
procesos cognitivos. Esto es lo que se ha llamado en el contexto internacional (Arzarello,
2006) la naturaleza multimodal de la cognición humana.

Estamos, pues, frente a la necesidad de reconocer todas aquellas situaciones discursivas
(orales y escritas), gestuales y procedimentales que evidencien en los estudiantes intentos
de construir explicaciones y argumentos sobre estructuras generales y modos de pensar, así
sus argumentaciones y explicaciones se apoyen en situaciones particulares, o en acciones
concretas. En términos epistemológicos, estamos sugiriendo que los modos de
conceptualizar, conocer y pensar no pueden ser adecuadamente descritos solamente en
términos de prácticas discursivas. Es importante considerar los recursos cognitivos, físicos
y perceptuales que los estudiantes movilizan cuando trabajan con ideas matemáticas. Estos
recursos o modalidades incluyen comunicaciones simbólicas y orales así como dibujos,
gestos, la manipulación de artefactos y el movimiento corporal (Arzarello, 2006; Radford,
Edwards & Arzarello, 2009).

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