FONDAMENTI TEORIA ANALITICA DEI NUMERI Alberto Perelli

89 Pages·2011·0.58 MB·Italian

FONDAMENTI
DI
TEORIA ANALITICA DEI NUMERI
Alberto Perelli
(versione preliminare)
Notazioni
I. Funzioni aritmetiche
1. Anello di Dirichlet 1
2. Funzioni aritmetiche classiche 5
3. Identita` di Eulero 10
4. Comportamento asintotico delle funzioni aritmetiche 13
Esercizi 21
II. Distribuzione dei numeri primi: metodi elementari
1. Metodo di Eulero 23
2. Crivello di Eratostene-Legendre 25
3. Teoremi di Chebyshev 27
4. Altri risultati classici 32
5. Crittografia a chiave pubblica 36
Esercizi 37
III. Complementi di analisi complessa
1. Richiami di analisi complessa 39
2. Serie di Dirichlet 44
3. Funzione Γ di Eulero 48
4. Trasformata di Mellin e formula di Perron 49
5. Formula di Poisson e funzione theta 53
Esercizi 55
IV. Funzione zeta di Riemann e teorema dei numeri primi
1. Proprieta` generali
2. Distribuzione degli zeri
3. Formule esplicite e teorema dei numeri primi
Esercizi
V. Funzioni L di Dirichlet e teorema di Siegel-Walfisz
1. Caratteri di Dirichlet
2. Teoria generale delle funzioni L di Dirichlet
3. Zeri reali e teorema di Siegel-Walfisz
Esercizi
VI. Teorema dei tre primi di Vinogradov
1. Introduzione
2. Somme esponenziali sui primi
3. Metodo del cerchio e il teorema dei tre primi
Esercizi
i
ii
Notazioni
Date due funzioni f(x), g(x) della variabile reale o complessa x e dato un punto x
0
(eventualmente x = ∞) scriveremo
0
f(x) = O(|g(x)|) oppure f(x) (cid:28) |g(x)| per x → x
0
se esiste una costante K > 0 tale che |f(x)| ≤ K|g(x)| in un intorno di x ; l’eventuale dipenden-
0
za di K da parametri sar`a specificata mediante opportuni suffissi ai simboli O e (cid:28). Scriveremo
f(x) = o(g(x)) e f(x) ∼ g(x) per x → x
0
se
f(x) f(x)
lim = 0 e lim = 1,
x→x0 g(x) x→x0 g(x)
rispettivamente. Inoltre, scriveremo
f(x) = Ω(|g(x)|) per x → x
0
se esistono una costante c > 0 ed una successione x → x tali che
n 0
|f(x )| ≥ c|g(x )|.
n n
Useremo le seguenti notazioni:
s = σ +it
f(a+) = lim f(x) e analogamente per f(a−)
x→a+
e(x) = e2πix
#A,|A| - cardinalit`a dell’insieme finito A
pa(cid:107)n - a `e la massima potenza di p che divide n
[x] - parte intera di x
{x} - parte frazionaria di x.
Il termine convergenza totale denotera` la convergenza assoluta e uniforme sui compatti.
Infine, ε denotera` un numero reale positivo arbitrariamente piccolo.
CAPITOLO I
FUNZIONI ARITMETICHE
1. Anello di Dirichlet
Una funzione aritmetica `e una funzione f :N → C. Le funzioni aritmetiche hanno un
ruolo di primo piano in teoria dei numeri; in questo capitolo ne studiamo alcuni aspetti.
DenotiamoconAl’insiemedellefunzioniaritmeticheedefiniamoinAleseguentioperazioni:
(f +g)(n) = f(n)+g(n) somma
(cid:88) n (cid:88)
(f ∗g)(n) = f(d)g( ) = f(d )g(d ) prodotto di Dirichlet (o convoluzione).
1 2
d
d|n d1d2=n
Siverificafacilmenteche,dotatodelleoperazioni+e∗,A`e un anello commutativo conidentit`a
e(n) data da
(cid:40)
1 se n = 1
e(n) =
0 se n > 1.
Il prodotto di Dirichlet pu`o essere iterato nel modo seguente: se f ,...,f ∈ A allora
1 r
(cid:88)
(f ∗···∗f )(n) = f (d )···f (d ).
1 r 1 1 r r
d1···dr=n
L’anello A prende il nome di anello di Dirichlet; introducendo l’ulteriore operazione
(λf)(n) = λf(n) prodotto per scalare,
λ ∈ C, A diviene un’algebra commutativa su C con identit`a e(n). Denotiamo con 0 l’elemento
nullo di A, ovvero la funzione aritmetica identicamente nulla. Infine, in A `e definita anche
l’operazione
(fg)(n) = f(n)g(n) prodotto ordinario.
Una delle motivazioni per l’introduzione del prodotto di Dirichlet, di evidente natura arit-
metica, risiede nel fatto che spesso alle funzioni f ∈ A si associa una serie di Dirichlet
∞
(cid:88) f(n)
F(s) = s ∈ C.
ns
n=1
Tralasciando per il momento ogni problema di convergenza, consideriamo l’insieme D delle
serie di Dirichlet formali; abbiamo allora
∞ ∞ ∞ ∞
(cid:88) (cid:88) (cid:88) (cid:88)(cid:0) (cid:88) (cid:1)
F(s)G(s) = f(h)h−s g(k)k−s = f(h)g(k)(hk)−s = f(h)g(k) n−s,
h=1 k=1 h,k=1 n=1 hk=n
ovvero
∞
(cid:88)
F(s)G(s) = (f ∗g)(n)n−s.
n=1
1
2 I. FUNZIONI ARITMETICHE
Dotando l’insieme D delle usuali operazioni di somma e prodotto (e prodotto per scalare) esso
diviene quindi un anello commutativo con identit`a (un’algebra commutativa su C con identita`),
ovviamente isomorfo (isomorfa) ad A tramite
∞
(cid:88) f(n)
f(n) (cid:55)→ F(s) = .
ns
n=1
Osserviamo come il prodotto di Dirichlet coinvolga proprieta` moltiplicative degli interi; tale
prodotto `e l’analogo moltiplicativo del ben noto prodotto alla Cauchy
(cid:88)
f(h)g(k),
h+k=n
derivante dalla moltiplicazione di due serie di potenze (o di Fourier) e definito in termini di
proprieta` additive degli interi:
∞ ∞ ∞
(cid:88) (cid:88) (cid:88)(cid:0) (cid:88) (cid:1)
f(h)xh g(k)xk = f(h)g(k) xn.
h=0 k=0 n=0 h+k=n
Per questo motivo le serie generatrici di Dirichlet hanno applicazioni prevalentemente in teoria
moltiplicativa dei numeri, mentre le serie generatrici di potenze e di Fourier hanno applicazioni
prevalentemente in teoria additiva dei numeri. Osserviamo infine che all’operazione di prodotto
ordinario di due funzioni aritmetiche f,g ∈ A `e associata la serie di Dirichlet
∞
(cid:88) f(n)g(n)
;
ns
n=1
in generale tale serie, detta convoluzione di Rankin-Selberg, `e piu` difficilmente collegabile
a F(s) e G(s), ma vi sono esempi notevoli in cui essa ha grande interesse.
Per studiare la struttura algebrica di A introduciamo la seguente norma: per f ∈ A, f (cid:54)= 0,
poniamo
(cid:107)f(cid:107) = min{n ∈ N : f(n) (cid:54)= 0},
mentre (cid:107)0(cid:107) = ∞. Osserviamo che la norma `e moltiplicativa rispetto al prodotto di Dirichlet,
ovvero se f,g ∈ A allora
(cid:107)f ∗g(cid:107) = (cid:107)f(cid:107)(cid:107)g(cid:107); (1.1)
infatti la (1.1) `e ovvia se f = 0 oppure g = 0, mentre se f (cid:54)= 0 e g (cid:54)= 0 abbiamo
(cid:88) (cid:88)
(f ∗g)(n) = f(h)g(k) = f(h)g(k)
hk=n hk=n
h≥(cid:107)f(cid:107)
k≥(cid:107)g(cid:107)
da cui segue che (f ∗g)(n) = 0 se n < (cid:107)f(cid:107)(cid:107)g(cid:107) e (f ∗g)(n) = f((cid:107)f(cid:107))g((cid:107)g(cid:107)) (cid:54)= 0 se n = (cid:107)f(cid:107)(cid:107)g(cid:107),
ovverola(1.1). Siverificafacilmenteche(cid:107)(cid:107)nonsoddisfaladisuguaglianza triangolare(esempio:
f −f = 0 con f (cid:54)= 0), ovvero non `e una norma nel senso usuale del termine; definendo per`o
1
(cid:107)f(cid:107)∗ =
(cid:107)f(cid:107)
(e quindi (cid:107)0(cid:107)∗ = 0) `e facile dimostrare che
0 ≤ (cid:107)f(cid:107)∗ ≤ 1 e (cid:107)f(cid:107)∗ = 0 ⇔ f = 0
(cid:107)f ∗g(cid:107)∗ = (cid:107)f(cid:107)∗(cid:107)g(cid:107)∗
(cid:107)f +g(cid:107)∗ ≤ max((cid:107)f(cid:107)∗,(cid:107)g(cid:107)∗)
1. ANELLO DI DIRICHLET 3
(l’ultima disuguaglianza segue dal fatto che (cid:107)f+g(cid:107) ≥ min((cid:107)f(cid:107),(cid:107)g(cid:107))), ovvero (cid:107) (cid:107)∗ `e una norma
nel senso usuale del termine e la disuguaglianza triangolare vale nella forma forte, detta non-
archimedea. E` preferibile lavorare con la norma (cid:107) (cid:107) anzich`e con (cid:107) (cid:107)∗ perch`e (cid:107) (cid:107) `e a valori
interi.
Osserviamo che dalla (1.1) segue immediatamente che A `e un dominio di integrit`a; infatti,
se f (cid:54)= 0 e g (cid:54)= 0 allora (cid:107)f(cid:107)(cid:107)g(cid:107) =(cid:54) ∞ e quindi f ∗g (cid:54)= 0.
Denotiamo con U il gruppo delle unit`a di A; le unita` di A possono essere caratterizzate
mediante la norma nel modo seguente:
f ∈ U ⇔ (cid:107)f(cid:107) = 1.
Infatti, se f ∈ U allora esiste f−1 ∈ U con f ∗ f−1 = e, quindi grazie alla (1.1) otteniamo
(cid:107)f(cid:107)(cid:107)f−1(cid:107) = 1 e pertanto (cid:107)f(cid:107) = 1. Viceversa, se f(1) (cid:54)= 0 definiamo per ricorrenza

1 se n = 1

f(1)
g(n) = − 1 (cid:80) f(d)g(n) se n > 1; (1.2)
f(1) d
 d|n
d>1
segue che (f ∗g)(1) = 1, mentre se n > 1
(cid:88) n (cid:88) n
(f ∗g)(n) = f(d)g( ) = f(1)g(n)+ f(d)g( ) = f(1)g(n)−f(1)g(n) = 0,
d d
d|n d|n
d>1
ovvero f ∗g = e e quindi f ∈ U. Osserviamo che (cid:107)f(cid:107) = 1 significa semplicemente che f(1) (cid:54)= 0,
e che la (1.2) permette di calcolare la funzione aritmetica f−1(n) = g(n), ovviamente detta
funzione inversa di f(n). Osserviamo inoltre come tale criterio di invertibilita` si riduca, per
le serie di Dirichlet formali, ad un caso speciale del principio generale di invertibilit`a per serie:
una serie `e invertibile se e solo se ha termine costante non nullo.
Di particolare importanza in teoria dei numeri sono le funzioni aritmetiche moltiplicative;
diremo che f ∈ A, f (cid:54)= 0, `e moltiplicativa se
f(mn) = f(m)f(n) se (m,n) = 1
e completamente moltiplicativa se
f(mn) = f(m)f(n) per ogni m,n ∈ N.
`
E chiaro che se f ∈ A `e moltiplicativa allora f(1) = 1 e inoltre
k k
(cid:89) (cid:89)
f(n) = f(pai) se n = pai,
i i
i=1 i=1
mentre se f ∈ A `e completamente moltiplicativa abbiamo
k
(cid:89)
f(n) = f(p )ai;
i
i=1
segue che le funzioni moltiplicative (completamente moltiplicative) sono determinate dai valori
che assumono sulle potenze dei primi (sui primi). Vedremo esempi di funzioni moltiplicative
nel prossimo paragrafo.
Analogamente, diremo che f ∈ A `e additiva se f(mn) = f(m)+f(n) quando (m,n) = 1,
completamente additivasef(mn) = f(m)+f(n)perognim,n ∈ N; chiaramentef(1) = 0se
f(n)`e additiva, e le funzioni additive (completamente additive) sono determinate dai valori che
assumonosullepotenzedeiprimi(suiprimi). Osserviamochesef(n)`eadditiva(completamente
4 I. FUNZIONI ARITMETICHE
additiva) allorag(n) = ef(n) `emoltiplicativa (completamentemoltiplicativa)eviceversa(ovvero
logf(n) additiva se f(n) moltiplicativa), a patto che logf(n) sia definita.
Denotando con M l’insieme delle funzioni moltiplicative abbiamo che M ⊂ U; piu` precisa-
mente
M `e sottogruppo di U. (1.3)
Basta infatti dimostrare che se f,g ∈ M allora f ∗g ∈ M e f−1 ∈ M; per (m,n) = 1 abbiamo
(cid:88) mn (cid:88) mn
(f ∗g)(mn) = f(d)g( ) = f(uv)g( )
d uv
d|mn u|m
v|n
(cid:88) m (cid:88) n
= f(u)g( ) f(v)g( ) = (f ∗g)(m)(f ∗g)(n),
u v
u|m v|n
da cui la prima asserzione. Per dimostrare la seconda asserzione osserviamo che dalla (1.2)
abbiamo f−1(1) = 1, quindi f−1(mn) = f−1(m)f−1(n) se m = 1 oppure n = 1. Supponiamo
ora che f−1(ab) = f−1(a)f−1(b) per ogni a,b ∈ N con (a,b) = 1 e ab < mn, dove (m,n) = 1 e
m,n > 1; dalla (1.2) abbiamo allora
(cid:88) mn (cid:88) m n
f−1(mn) = − f(d)f−1( ) = − f(u)f(v)f−1( )f−1( )
d u v
d|mn u|m
d>1 v|n
uv>1
(cid:88) m n (cid:88) m (cid:88) n
= − f(u)f(v)f−1( )f−1( )− f(u)f−1( )f−1(n)− f(v)f−1( )f−1(m)
u v u v
u|m u|m v|n
v|n u>1 v>1
u,v>1
= −f−1(m)f−1(n)+f−1(m)f−1(n)+f−1(m)f−1(n) = f−1(m)f−1(n),
e la (1.3) `e dimostrata. Osserviamo esplicitamente che fg ∈ M se f,g ∈ M, mentre se
f(n),g(n) sono completamente moltiplicative non necessariamente (f ∗ g)(n) e f−1(n) sono
completamente moltiplicative; controesempi sono forniti nel prossimo paragrafo.
Dalle proprieta` della norma `e chiaro che ogni f ∈ A ammette fattorizzazione in un nu-
mero finito di elementi irriducibili. Uno dei risultati piu` interessanti sulla struttura algebrica
dell’anello di Dirichlet stabilisce che
A `e a fattorizzazione unica.
La dimostrazione, dovuta a E.D.Cashwell e C.J.Everett (Pacific J. Math. 9, 1959), si basa su
un’idea di H.Bohr, e precisamente sul fatto che l’anello A `e isomorfo all’anello C[[x ,x ,...]]
1 2
delle serie di potenze formali in infinite variabili(numerabili), elafattorialita`diC[[x ,x ,...]]`e
1 2
unrisultatoalgebricopiuttostostandard. RicordiamoinfatticheognielementodiC[[x ,x ,...]]
1 2
si pu`o scrivere come
(cid:88)
c(ν)xν,
ν
dove x = (x ,x ,...) `e il vettore delle infinite variabili, ν = (a ,a ,...) `e un vettore infinito
1 2 1 2
di interi non negativi di cui solo un numero finito `e diverso da 0, xν = xa1xa2... e c(ν) ∈ C.
1 2
L’isomorfismo tra A e C[[x ,x ,...]] si stabilisce allora considerando la successione dei numeri
1 2
primi p ,p ,... e associando p → x , p → x e cos`ı via: scrivendo, con ovvia notazione, la
1 2 1 1 2 2
k
fattorizzazione standard n = (cid:81) pai come n = pν e identificando f(ν) con f(n), `e quindi chiaro
i
i=1
che l’applicazione
(cid:88)
f ∈ A (cid:55)→ f(ν)xν ∈ C[[x ,x ,...]]
1 2
ν
2. FUNZIONI ARITMETICHE CLASSICHE 5
`e un isomorfismo.
`
E chiaro che se (cid:107)f(cid:107) = p primo, allora f(n)`e irriducibile, ma esistono altri tipi di irriducibili.
`
EpossibilefornirequalchecaratterizzazionedegliirriducibilidiA, manonciaddentriamointali
caratterizzazioni poich`e in seguito avremo a che fare prevalentemente con funzioni aritmetiche
invertibili (ad es. moltiplicative).
2. Funzioni aritmetiche classiche
La funzione di M¨obius µ(n) `e definita da

1 se n = 1


µ(n) = (−1)k se n = p ···p con p (cid:54)= p se i (cid:54)= j
1 k i j

0 altrimenti;
indichiamo inoltre con 1I(n) la funzione identicamente 1, che ovviamente `e completamente
moltiplicativa. La funzione di M¨obius ha interesse aritmetico e combinatorio, e gioca un ruolo
fondamentale tra le funzioni aritmetiche grazie al
Teorema 2.1. (Mo¨bius)
(cid:40)
(cid:88) 1 se n = 1
µ(d) = ovvero µ∗1I = e.
0 se n > 1
d|n
k
Dim. Il caso n = 1 `e ovvio. Sia allora n = (cid:81) pai; poich`e µ(d) = 0 se d `e divisibile per un
i
i=1
quadrato perfetto abbiamo
(cid:88) (cid:88) (cid:88) (cid:88)
µ(d) = µ(d) = µ(1)+ µ(p )+ µ(p p )+···+µ(p ···p )
i i j 1 k
d|n d|p1···pk 1≤i≤k 1≤i<j≤k
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
k k
= 1−k + −···+(−1)k = (1−1)k = 0. (cid:3)
2 k
Dal Teorema 2.1 segue immediatamente l’importante
Corollario 2.1. (prima formula di inversione di Mo¨bius) Siano f,g ∈ A; allora
(cid:88) (cid:88) n
f(n) = g(d) ⇔ g(n) = µ(d)f( ) ovvero f = g ∗1I ⇔ g = µ∗f.
d
d|n d|n
Dal Teorema 2.1 abbiamo che
µ = 1I−1
e poich`e 1I(n) `e moltiplicativa, dalla (1.3) otteniamo che µ(n) `e moltiplicativa; osserviamo per`o
che µ(n) non `e completamente moltiplicativa (esempio: 0 = µ(p2) (cid:54)= µ(p)µ(p) = 1), nonostante
1I(n) lo sia. Un utile risultato che lega µ(n) alle funzioni moltiplicative `e dato dalla
Proposizione 2.1. Sia f ∈ M; allora f(n) `e completamente moltiplicativa se e solo se
f−1(n) = µ(n)f(n).
Inoltre
(cid:88) (cid:89) (cid:88) (cid:89)
µ(d)f(d) = (1−f(p)) e µ(d)2f(d) = (1+f(p)).
d|n p|n d|n p|n
6 I. FUNZIONI ARITMETICHE
Dim. Sia f(n) completamente moltiplicativa e g = µf; poich`e f(1) = 1 abbiamo
(cid:88) n (cid:88)
(g ∗f)(n) = µ(d)f(d)f( ) = f(n) µ(d) = e(n).
d
d|n d|n
Viceversa, sia f−1 = µf; basta allora dimostrare che f(pk) = f(p)k per ogni primo p e k ∈ N.
Poich`e µ(pa) = 0 se a ≥ 2, per ogni k ≥ 1 abbiamo
(cid:88) pk
0 = (f−1 ∗f)(pk) = µ(d)f(d)f( ) = f(pk)−f(p)f(pk−1);
d
d|pk
quindi f(pk) = f(p)f(pk−1) per ogni k ≥ 1, e il primo enunciato segue immediatamente per
induzione su k.
(cid:80)
Per dimostrare il secondo enunciato scriviamo g(n) = µ(d)f(d); poich`e g = µf ∗ 1I `e
d|n
chiaro che g(n) `e moltiplicativa. Inoltre per k ≥ 1
(cid:88)
g(pk) = µ(d)f(d) = 1−f(p),
d|pk
da cui per moltiplicativita` g(n) = (cid:81)(1−f(p)). Analogamente per l’altra formula. (cid:3)
p|n
`
E da notare la marcata differenza tra la funzione inversa generale (vedi la (1.2)) e quella di
una funzione completamente moltiplicativa.
Osserviamo che µ(n)2 (oppure |µ(n)|) `e la funzione caratteristica dei numeri square-free,
ovvero degli interi non divisibili per alcun quadrato perfetto; tale funzione puo` essere scritta
in una forma di tipo convoluzione, la cui importanza verr`a illustrata nel prossimo paragrafo.
Notiamo infatti che ogni intero n si scrive in modo unico come n = m2s dove s `e square-free,
quindi
(cid:88) (cid:88)
µ(n)2 = e(m) = µ(d) = µ(d)
d|m d2|m2
ovvero
(cid:88)
µ(n)2 = |µ(n)| = µ(d). (2.1)
d2|n
La (2.1) puo` anche essere scritta come convoluzione in senso stretto, vedi la (2.14).
La funzione di Eulero ϕ(n) `e definita da
ϕ(n) = #{1 ≤ a ≤ n : (a,n) = 1};
definiamo ora la funzione identica
I(n) = n,
ovviamente completamente moltiplicativa. Applicando il Teorema 2.1 con (a,n) al posto di n
otteniamo
n n n n
(cid:88) (cid:88) (cid:88) (cid:88)(cid:88) (cid:88) (cid:88) (cid:88) n
ϕ(n) = 1 = µ(d) = µ(d) = µ(d) 1 = µ(d) ,
d
a=1 a=1d|(a,n) a=1 d|a d|n a=1 d|n
(a,n)=1 d|n d|a
quindi
(cid:88) n
ϕ(n) = µ(d) ovvero ϕ = µ∗I; (2.2)
d
d|n
2. FUNZIONI ARITMETICHE CLASSICHE 7
osserviamo che dalla (2.2) si ottiene che ϕ(n)`e moltiplicativa in quanto sia µ(n) che I(n) lo sono
(la moltiplicativita` di ϕ(n) pu`o essere ottenuta anche come conseguenza del teorema cinese dei
resti). Invertendo la (2.2) otteniamo
(cid:88)
ϕ(d) = n ovvero I = ϕ∗1I.
d|n
µ(d)
(cid:80)
Inoltre, dalla (2.2) abbiamo ϕ(n) = n e quindi la Proposizione 2.1 fornisce
d
d|n
(cid:89) 1
ϕ(n) = n (1− ); (2.3)
p
p|n
la (2.3) `e spesso utile per calcolare ϕ(n). Osserviamo pero` che per calcolare ϕ(n) mediante la
(2.3) occorre conoscere la fattorizzazione di n, e da un punto di vista computazionale questo
`e un problema molto delicato in quanto gli algoritmi di fattorizzazione hanno un’elevata com-
plessita` computazionale. Riprenderemo questo argomento nel prossimo capitolo, in relazione
alla crittografia a chiave pubblica.
Per ogni intero k ≥ 1 la k-esima funzione dei divisori τ (n) `e definita da
k
(cid:88)
τ (n) = 1;
k
d1···dk=n
τ (n) coincide quindi con il numero di decomposizioni di n come prodotto di k fattori positivi.
k
Per k = 1 abbiamo τ (n) = 1I(n) e per k = 2, il caso piu` significativo, poniamo τ (n) = τ(n), il
1 2
numero di divisori positivi di n. In generale, dalla definizione abbiamo
τ = 1I∗···∗1I (k-volte) (2.4)
k
k
e quindi τ (n) `e moltiplicativa. Inoltre, se n = (cid:81) pai allora
k i
i=1
k
(cid:89)
τ(n) = (a +1); (2.5)
i
i=1
osserviamo infine che τ(n) non `e completamente moltiplicativa (3 = τ(p2) (cid:54)= τ(p)τ(p) = 4),
nonostante 1I(n) lo sia.
Definiamo la funzione di von Mangoldt Λ(n) come
(cid:40)
logp se n = pm con m ≥ 1
Λ(n) =
0 altrimenti;
tale funzione non `e moltiplicativa, in quanto Λ(1) = 0, e neanche additiva, come si verifica
facilmente (0 = Λ(pq) (cid:54)= Λ(p)+Λ(q) = logpq). La funzione di von Mangoldt `e molto impor-
tante nello studio dei numeri primi, come vedremo nei prossimi capitoli; in questo paragrafo ci
limitiamo a stabilire alcune semplici identita` che useremo in seguito. Denotiamo con L(n) la
funzione logaritmo, L(n) = logn, ovviamente completamente additiva. Abbiamo allora
(cid:88)
Λ(d) = logn ovvero Λ∗1I = L; (2.6)
d|n
8 I. FUNZIONI ARITMETICHE
k
infatti, ponendo n = (cid:81) pai otteniamo
i
i=1
(cid:88) (cid:88) (cid:88)k (cid:88)ai (cid:88)k
Λ(d) = Λ(d) = Λ(pr) = a logp = logn.
i i i
d|n d|pa1···pak i=1 r=1 i=1
1 k
Per inversione, dalla (2.6) abbiamo
(cid:88) n
Λ(n) = µ(d)log ovvero Λ = µ∗L (2.7)
d
d|n
e dalla (2.7) otteniamo
(cid:88) (cid:88) (cid:88)
Λ(n) = logn µ(d)− µ(d)logd = − µ(d)logd;
d|n d|n d|n
pertanto la (2.7) puo` essere scritta nella forma equivalente
(cid:88)
Λ(n) = − µ(d)logd ovvero Λ = −(µL)∗1I. (2.8)
d|n
Dalla (2.7) si ottiene facilmente un’identit`a per la funzione aritmetica f(n) = Λ(n) − 1, che
viene spesso utilizzata nello lo studio dei numeri primi con metodi elementari:
Λ−1I = µ∗(L−τ). (2.9)
Le funzioni dei fattori primi ω(n) e Ω(n) sono definite da
 
0 se n = 1 0 se n = 1
 
ω(n) = k e Ω(n) = k k
k se n = (cid:81) pai (cid:80)a se n = (cid:81) pai
 i  i i
i=1 i=1 i=1
e sono rispettivamente additiva e completamente additiva; dalla (2.5) deduciamo ad esempio
che τ(n) = 2ω(n) se n `e square-free. La funzione di Liouville λ(n) definita da
λ(n) = (−1)Ω(n)
`e completamente moltiplicativa, mentre la α-esima funzione somma dei divisori σ (n), α ∈
α
R, `e definita da
(cid:88)
σ (n) = dα σ(n) = σ (n) (2.10)
α 1
d|n
ed `e moltiplicativa; le verifiche sono immediate. Ricordiamo per inciso che i numeri perfetti
sono quelli per cui σ(n) = 2n, ovvero quelli uguali alla somma dei divisori propri, ad esempio 6
e 28; `e nota una caratterizzazione dei numeri perfetti pari e si congettura siano infiniti, mentre
non `e nota l’esistenza di numeri perfetti dispari.
La funzione somma di due quadrati r(n) `e definita da
r(n) = #{(a,b) ∈ Z×Z : n = a2 +b2}.
Ricordiamo che i numeri somma di due quadrati sono caratterizzati da un famoso teorema di
Fermat-Eulero: un intero n ≥ 1 `e somma di due quadrati se e solo se ogni primo p ≡ 3 (mod
4) che divide n ha esponente pari nella fattorizzazione di n; pertanto spesso si ha r(n) = 0. La
funzione r(n) non`e moltiplicativa e neanche additiva in quanto r(1) = 4; si puo`pero`dimostrare
(vedi Teorema 278 di G.H.Hardy e E.M.Wright “An Introduction to the Theory of Numbers”,
V ed., Oxford U. Press 1979) che
(cid:88)
r(n) = 4 χ (d) = 4(χ ∗1I)(n),
4 4
d|n