FONDAMENTI DI FISICA MATEMATICA Corso di Laurea Magistrale in Matematica, AA 2016-2017

230 Pages·2016·1.37 MB·Italian

FONDAMENTI DI FISICA
MATEMATICA
Corso di Laurea Magistrale
in Matematica, A.A. 2016-2017
8 Crediti
Cornelis VAN DER MEE
Dipartimento di Matematica e Informatica
Universita` di Cagliari
Viale Merello 92, 09123 Cagliari
070-6755605 (studio), 328-0089799 (cell.)
[email protected]
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LaTeX compilation date: 26 ottobre 2016

Indice
I EQUAZIONI DELLA FISICA MATEMATICA 1
1 Coordinate ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Equazione di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Equazione di Helmholtz nell’Intervallo . . . . . . . . . . 9
3.2 Equazione di Helmholtz nel Rettangolo . . . . . . . . . . 13
4 Equazioni delle onde e del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1 Equazioni delle onde e del calore nell’intervallo . . . . . . 14
4.2 Equazioni delle onde e del calore nel rettangolo . . . . . 17
II EQUAZIONI DIFFERENZIALI E FUNZIONI SPECIALI 21
1 Equazioni Differenziali di Secondo Ordine . . . . . . . . . . . . 21
2 Metodo di Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Funzioni Ipergeometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Funzioni di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1 Definizione e propriet`a semplici . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Funzioni di Bessel di seconda specie . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Ortogonalita` e zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Altre funzioni cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5 Funzioni sferiche di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Funzioni sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1 Funzioni sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Polinomi di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Funzioni di Legendre associate . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Le funzioni sferiche per n = 3: Completezza . . . . . . . 53
6 Polinomi di Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Polinomi di Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8 Polinomi di Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9 Polinomi Ortogonali Generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
i
IIIEQUAZIONI INTEGRALI 71
1 Propriet`a Elementari e Iterazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2 Equazioni integrali di Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 Equazioni Integrali con Nucleo Hermitiano . . . . . . . . . . . . 78
4 Teorema di Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
IVPROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 89
1 Problema di Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.1 Funzione di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.2 Riduzione ad un’equazione integrale . . . . . . . . . . . . 94
1.3 Proprieta` degli autovalori e delle autofunzioni . . . . . . 96
2 Problemi di Sturm-Liouville singolari . . . . . . . . . . . . . . . 99
V FUNZIONI DI GREEN 105
1 Classificazionedelleequazioniallederivate parziali . . . . . . . . 105
2 Problemi agli autovalori multidimensionali . . . . . . . . . . . . 107
2.1 Impostazione del problema agli autovalori . . . . . . . . 107
2.2 Formule di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.3 Proprieta` dell’operatore L . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3 Equazioni ellittiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.1 Equazioni di Laplace e di Poisson . . . . . . . . . . . . . 112
3.1.a Equazione di Poisson negli intervalli . . . . . . 113
3.1.b Funzione di Green in Rn . . . . . . . . . . . . . 115
3.1.c Equazione di Laplace nel semipiano . . . . . . . 118
3.1.d Equazione di Laplace nel disco . . . . . . . . . 119
3.1.e Equazione di Laplace e funzioni analitiche . . . 122
3.1.f Equazione di Laplace nella sfera n-dimensionale 124
3.2 Equazione di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4 Equazioni paraboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1 Esempi su intervalli limitati . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2 Esempi su domini illimitati . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5 Equazioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
VITEORIA DEI GRUPPI 141
1 Gruppi Astratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2 Gruppi Discreti — Gruppi Finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3 Gruppi Continui — Gruppi di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4 Rappresentazioni di Gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
VIIALTRE EQUAZIONI DELLA FISICA MATEMATICA 175
1 Equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
ii
A LA FUNZIONE GAMMA 177
B ANALISI FUNZIONALE 183
1 Spazi di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2 Spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3 Basi ortonormali in spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5 Operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.1 Proprieta` generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.2 Proprieta` spettrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.3 Operatori autoaggiunti e unitari . . . . . . . . . . . . . . 195
5.4 Operatori autoaggiunti non limitati . . . . . . . . . . . . 198
C PROPRIETA` ASINTOTICHE 201
1 Rappresentazioni integrali delle funzioni di MacDonald . . . . . 201
2 Sviluppo asintotico delle funzioni di Bessel . . . . . . . . . . . . 203
D INTEGRAZIONE SECONDO LEBESGUE 205
1 Insiemi di Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
2 Integrale di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3 Alcuni Teoremi Importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
E GRUPPI DI LIE 213
1 Algebre di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
2 Algebra di Lie di un gruppo di matrici . . . . . . . . . . . . . . 214
3 Alcuni esempi dettagliati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Bibliografia 223
iii
iv
Capitolo I
EQUAZIONI DELLA FISICA
MATEMATICA
1 Coordinate ortogonali
Sia Ω un insieme aperto in R3. Sia u = (u ,u ,u ) una funzione delle variabili
1 2 3
cartesiane x = (x ,x ,x ) ∈ Ω in R3 di classe C2 tale che la matrice Jacobia-
1 2 3
na `e invertibile. Allora esiste, localmente, una corrispondenza biunivoca tra
le coordinate cartesiane x = (x ,x ,x ) e quelle curvilinee u = (u ,u ,u ).
1 2 3 1 2 3
Derivando le variabili x ,x ,x rispetto alle variabili u ,u ,u otteniamo
1 2 3 1 2 3
3
(cid:88) ∂x
i
dx = du .
i j
∂u
j
j=1
Quindi la distanza al quadrato tra due punti vicini tra loro `e
3 3
(cid:88) (cid:88)
ds2 = dx2 = g du du ,
i ij i j
i=1 i,j=1
dove
3
(cid:88) ∂x ∂x
j j
g =
kl
∂u ∂u
k l
j=1
`e la cosiddetta metrica. La trasformazione si dice ortogonale se la metrica
{g }3 `e una matrice diagonale, cio`e se le righe della matrice Jacobiana
kl k,l=1
 ∂x ∂x ∂x 
1 2 3
 ∂u ∂u ∂u 
1 1 1
 ∂x ∂x ∂x 
J =  1 2 3 
 ∂u ∂u ∂u 
 2 2 2 
 ∂x ∂x ∂x 
1 2 3
∂u ∂u ∂u
3 3 3
1
sono ortogonali. In altre parole, la trasformazione si dice ortogonale se
3
(cid:88) ∂x ∂x
j j
g = = 0, k (cid:54)= l.
kl
∂u ∂u
k l
j=1
In tal caso
3
(cid:88)
ds2 = (h du )2,
i i
i=1
dove
(cid:34)(cid:88)3 (cid:18)∂x (cid:19)2(cid:35)1/2
j
h = , k = 1,2,3.
k
∂u
k
j=1
Si vede facilmente che la matrice diag(1/h ,1/h ,1/h )J `e ortogonale (cio`e,
1 2 3
U−1 = UT e quindi detU ∈ {−1,+1}). Dunque
|detJ| = h h h .
1 2 3
Per ogni punto (u ,u ,u ) per cui (±detJ) > 0, ci passano tre superfici
1 2 3
u = costante (i = 1,2,3). In questo punto definiamo il vettore e di lunghezza
i i
1 normale alla superficie u = costante e nella direzione in cui cresce u . In tal
i i
caso i tre vettori e ,e ,e formano un sistema di coordinate cartesiane tale
1 2 3
che ±(e ·(e ×e )) > 0.
1 2 3
Il gradiente di ψ ha la forma
3
(cid:88) 1 ∂ψ
∇ψ = e ,
j
h ∂u
j j
j=1
la divergenza della funzione V = V e +V e +V e a valori vettoriali ha la
1 1 2 2 3 3
forma
(cid:20) (cid:21)
1 ∂ ∂ ∂
∇·V = (V h h )+ (V h h )+ (V h h ) ,
1 2 3 2 3 1 3 1 2
h h h ∂u ∂u ∂u
1 2 3 1 2 3
e il rotore di V ha la forma
(cid:20)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 ∂(h V ) ∂(h V ) ∂(h V ) ∂(h V )
3 3 2 2 1 1 3 3
∇×V = − h e + − h e
1 1 2 2
h h h ∂u ∂u ∂u ∂u
1 2 3 2 3 3 1
(cid:18) (cid:19) (cid:21)
∂(h V ) ∂(h V )
1 1 3 3
+ − h e .
3 3
∂u ∂u
3 1
Quindi l’operatore di Laplace, oppure il Laplaciano,
(cid:88)3 ∂2
∆ = ∇2 =
∂x2
j=1 j
2
ha la seguente rappresentazione:
(cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:21)
1 ∂ h h ∂ψ ∂ h h ∂ψ ∂ h h ∂ψ
2 3 3 1 1 2
∆ψ = + + .
h h h ∂u h ∂u ∂u h ∂u ∂u h ∂u
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
Esempio I.1 Introduciamo ora alcuni sistemi di coordinate ortogonali.
a. Coordinate Cilindriche: x = rcosθ, y = rsinθ, z = z. dove r ≥ 0,
0 ≤ θ < 2π, z ∈ R. Allora h = 1, h = r, h = 1. In tal caso
r θ z
∂2ψ 1∂ψ 1 ∂2ψ ∂2ψ
∆ψ = + + + . (I.1)
∂r2 r ψr r2 ∂θ2 ∂z2
Sostituendo per ψ una funzione ψ = ψ(r,θ) che non dipende da z si trova
l’operatore di Laplace in coordinate polari:
∂2ψ 1∂ψ 1 ∂2ψ
∆ψ = + + . (I.2)
∂r2 r ψr r2 ∂θ2
b. Coordinate Sferiche: x = ρ sinϕcosθ, y = ρ sinϕ sinθ, z = ρ cosϕ,
dove ρ ≥ 0, ϕ ∈ [0,π], θ ∈ [0,2π). Allora h = 1, h = ρ, h = ρ sinϕ.
ρ ϕ θ
In tal caso
∂2ψ 2∂ψ 1 ∂2ψ 1 ∂ (cid:18) ∂ψ(cid:19)
∆ψ = + + + sinϕ . (I.3)
∂ρ2 ρψρ ρ2sin2ϕ ∂θ2 ρ2sinϕ∂ϕ ∂ϕ
Introducendo la nuova variabile ξ = cosϕ ∈ [−1,1] (tale che dξ =
−sinϕdϕ, 1−ξ2 = sin2ϕ) otteniamo1
∂2ψ 2∂ψ 1 ∂2ψ 1 ∂ (cid:18) ∂ψ(cid:19)
∆ψ = + + + (1−ξ2) . (I.4)
∂ρ2 ρψρ ρ2(1−ξ2) ∂θ2 ρ2∂ξ ∂ξ
c. Coordinate Parabolico-cilindriche (vedi [17]): x = c (u2 −v2), y =
2
cuv, z = z, dove u ∈ R, v ≥ 0, z ∈ R, e c `e una costante positiva. Allora
√
h = h = c u2 +v2, h = 1.
u v z
In tal caso
1 (cid:18)∂2ψ ∂2ψ(cid:19) ∂2ψ
∆ψ = + + . (I.5)
c2(u2 +v2) ∂u2 ∂v2 ∂z2
1Usando le coordinate ortogonali (ρ,θ,ξ) direttamente si trovano le espressioni h = 1,
ρ
(cid:112) (cid:112)
h =ρ 1−ξ2 e h =(ρ/ 1−ξ2).
θ ξ
3
d. Coordinate Ellittico-cilindriche (vedi [17]): x = c coshu cosv, y =
c sinhu sinv, z = z, dove u > 0, v ∈ [0,2π], z ∈ R, e c `e una costante
positiva. Allora
(cid:40) (cid:112) (cid:112)
h = h = c cosh2u sin2v +sinh2u cos2v = c sinh2u+sin2v,
u v
h = 1.
z
In tal caso
1 (cid:18)∂2ψ ∂2ψ(cid:19) ∂2ψ
∆ψ = + + . (I.6)
c2[sinh2u+sin2v] ∂u2 ∂v2 ∂z2
2 Separazione delle variabili
1. Separazione in Coordinate Cartesiane. Consideriamo l’equazione di
Helmholtz
∆ψ +k2ψ = 0
in tre variabili (x,y,z) per k ≥ 0 nel dominio [0,a]×[0,b]×[0,c]. Ponendo
ψ(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z),
dove X(x), Y(y) e Z(z) sono di classe C2, si trova
∆ψ X(cid:48)(cid:48)(x) Y(cid:48)(cid:48)(y) Z(cid:48)(cid:48)(z)
0 = +k2 = + + +k2.
ψ X(x) Y(y) Z(z)
In tal caso esistono tre costanti k2, k2 e k2 tali che
x y z
X(cid:48)(cid:48)(x) Y(cid:48)(cid:48)(y) Z(cid:48)(cid:48)(z)
+k2 = +k2 = +k2 = 0,
X(x) x Y(y) y Z(z) z
dove
k2 +k2 +k2 = k2.
x y z
2. Separazione in Coordinate Polari. Consideriamo l’equazione di Helm-
holtz
∆ψ +k2ψ = 0
in due variabili (x,y) per k ≥ 0 nel dominio
(cid:110) (cid:112) (cid:111)
D = (x,y) : 0 ≤ x2 +y2 ≤ L ,
4