Fondamentaux des mathématiques 1

216 Pages·2016·14.55 MB·French

LaurentPujo-Menjouet LicenceSciences,Technologies&Santé
Départementdemathématiques Mentionmathématiques
UniversitéClaudeBernard,LyonI PortailMath/Info
43,boulevard11novembre1918 PortailMath-Eco
69622Villeurbannecedex,France [email protected]
Fondamentaux des mathématiques 1
i
Préambule
L’objectif de ce cours est de faire une transition entre les connaissances en analyse et
algèbre accumulées au lycée et les bases qui formeront un des piliers dans la formation en
analyse et algèbre de la licence. Étant donné que le recrutement en première année est assez
hétérogène,ilsembleassezjudicieuxdecommencerparrappelerlesnotionsélémentairesqui
servironttoutaulongdececours,histoiredeneperdrepersonneenroute.
Quand il sera nécessaire au début de chaque chapitre, nous rappellerons ce qui est censé être
connuenterminal.Nousessaieronségalementdanslamesuredupossibledefournirl’essen-
tiel des résultats de chaque chapitre sur une page, histoire de synthétiser les connaissances à
bienmaîtriserpourpasserauchapitresuivant.
Nousfournironsautantd’exemplesetdefiguresnécessairesafind’obtenirunemeilleurecom-
préhensionducours.Nousessaieronségalementdesoulignerlespiègesdanslesquelschacun
peutsefourvoyersoitparinattention,soitparunemauvaisemaîtriseducours.
Pourinformation,leprogrammeofficieldecetteU.E.setrouveici,
i
ii
Table des matières
Sommaire 1
0 Conseilspourbiencommencer 1
0.1 Conseilsélémentairessurlesméthodesdetravail . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.2 Conseilsfondamentauxpourbienrédiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 Conseilsfondamentauxpourbienrédiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.4 Conseilspourbienraisonner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.5 Tableaudeslettresgrecques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I Partie A 9
1 Calculsalgébriques 11
1.1 Unpeud’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 ÉgalitésetinégalitésdansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Basesdelogique 45
2.1 Originesdelalogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Assertionsetprédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Lesconnecteurslogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Quantificateursmathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 Différentsmodesdedémonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Nombrescomplexes 63
3.1 Originesdesadécouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 Nombrescomplexes:formealgébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Nombrescomplexes:formegéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Arithmétique 83
4.1 Nombrespremiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 DivisionEuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 PGCD-PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 Algorithmed’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
iii
TABLEDESMATIÈRES
4.5 IdentitéetthéorèmedeBézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6 ThéorèmedeGaussetdécompositionenfacteurspremiers . . . . . . . . . . 91
4.7 Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.8 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.9 PetitthéorèmedeFermatetThéorèmedesresteschinois . . . . . . . . . . . 94
5 PolynômessurRouC 97
5.1 Définitiondepolynômesàcoefficientsréelsoucomplexes . . . . . . . . . . 98
5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 DivisionEuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Pgcd,ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5 Polynômesirréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.6 Racinesdespolynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.7 FormuledeTaylorpourlespolynômesdeC[X] . . . . . . . . . . . . . . . 108
II Partie B 111
1 Applications 113
1.1 Différenceentrefonctionsetapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.2 Injectivité,surjectivité,bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1.3 Compositiond’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.4 Ensemblesfinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2 Pratiquessurlesfonctions(applications)usuelles 129
2.1 Quelquespropriétésdesfonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.2 Fonctionsusuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.3 Fonctionhomographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.4 Fonctionlogarithmenépérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.5 Fonctionexponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2.6 Fonctionscirculaires(outrigonométriques) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.7 Fonctionshyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.8 Dérivéesdesfonctionsusuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3 Suitesréelles 165
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.2 Deuxsuitesclassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.3 Récurrenced’ordre2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4 Limitedesuites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.5 Suitesréellesetmonotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.6 Suitesadjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.7 Suitesextraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.8 CritèredeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.9 Fonctionsetsuites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
iv
TABLEDESMATIÈRES
4 Limitesetcontinuitédefonctions 181
4.1 Limitesd’unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5 Dérivabilité 203
5.1 Définitiondeladérivabilitédef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.2 Dérivabilitéetcontinuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.3 Dérivabilité,opérationsalgébriquesetcomposition . . . . . . . . . . . . . . 207
5.4 Dérivéeetmonotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.5 Dérivéesetextrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.6 Théorèmesfondamentauxsurlesdérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.7 Dérivéesdesfonctionsusuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.8 Dérivéessuccessives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.9 Fonctionsconvexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
v
TABLEDESMATIÈRES
vi
Liste des figures
1 Lesmathsvuespar... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Recettedufondantauchocolat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Alphabetgrec. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Mathématiciensetnombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Trianglerectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 HuguesMéray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 CapitaineFrançoisdeHadoque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 JohannCarlFriedrichGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 FrançoisViète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7 ClassificationdesintervallesdeR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1 Mathématiciensetlogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Tabledevéritépournon(P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Tabledevéritépourlaconjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Tabledevéritépourladisjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5 Tabledevéritépourl’implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6 Tabledevéritépourl’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.7 Tabledevéritépourunetautologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8 Tabledevéritépouruneincompatibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9 Tabledevéritépourlatautologie(Pet(P⇒Q))⇒Q . . . . . . . . . . . . 56
2.10 Tabledevéritépourlatautologie(non(P)⇒Q)et(non(P)⇒non(Q)) . . . 57
3.1 Mathématiciensetnombrescomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Cosinusetsinusdesangleslesplusconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 Mathématiciensetarithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Cribled’Eratosthène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 Diophanted’Alexandrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1 Mathématiciensetarithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 BrookTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1.1 Mathématiciensetfonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
1.2 Exempledefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.3 Fonction-Pasfonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1.4 FonctionvsApplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.5 Deuxfonctionsclassiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
vii
LISTEDESFIGURES
1.6 InjectivevsNoninjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1.7 SurjectivevsNonsurjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
1.8 Conceptdebijection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.9 Métaphore:surbooking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.10 Constructiondelaréciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.11 Compositionetpoupéesrusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.1 Mathématiciensetfonctionshyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.2 Fonctioncontinueparmorceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.3 Tableaudevariations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2.4 Fonctionpaireetimpaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2.5 Exempled’asymptoteoblique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.6 Représentationdelafonctionconstante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.7 Représentationdelafonctionidentité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.8 Représentationdelafonctionvaleurabsolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.9 Représentationdelafonctionpartieentière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.10 Représentationdelafonctionpuissanceentière. . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.11 Représentationdelafonctionracinecarrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.12 Représentationdelafonctionracinecubique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.13 Représentationdelafonctionhomographique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.14 Représentationdelafonctionlogarithmenépérien. . . . . . . . . . . . . . . 154
2.15 Représentationdelafonctionexponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2.16 Représentationdelafonctionsinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.17 Représentationdelafonctioncosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.18 Représentationdelafonctiontangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.19 Représentationdelafonctioncotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.20 Représentationdelafonctioncosinushyperbolique. . . . . . . . . . . . . . . 160
2.21 Représentationdelafonctionsinushyperbolique. . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.22 Représentationdelafonctiontangentehyperbolique. . . . . . . . . . . . . . 161
2.23 Représentationdelafonctioncotangentehyperbolique. . . . . . . . . . . . . 162
3.1 Mathématiciensetsuites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.1 Mathématiciensetlimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.2 Limitefinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.3 Mathématiciensetcontinuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.1 Mathématiciensetdérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.2 MichelRolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
viii
Chapitre 0
Conseils pour bien commencer
Lesméthodessontleshabitudesdel’esprit
etleséconomiesdelamémoire.
AntoineRivaroli,ditcomtedeRivarol,
1753–1801
Sommaire
0.1 Conseilsélémentairessurlesméthodesdetravail . . . . . . . . . . . . . 2
0.2 Conseilsfondamentauxpourbienrédiger . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 Conseilsfondamentauxpourbienrédiger . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3.1 Commentprésentertousnosélémentsproprement . . . . . . . . . 4
0.3.2 Commentintroduireunevariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3.3 Commentintroduireunefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.4 Conseilspourbienraisonner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.5 Tableaudeslettresgrecques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1