Fonctions de plusieurs variables: rappels de cours, questions de réflexion, exercices d'entraînement

228 Pages·1998·9.599 MB·French

by  Louis Niglio

Louis Niglio
DA SAUSS
Fonctions
de plusieurs
variables
Rappels de cours
Questions de réflexion
Exercices d'entraînement
_ Apprendre, comprendre et appliquer
pour réussir ses examens,
grâce aux conseils de l'auteur,
… età u n travail assidu |
DUNOD

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Fonctions
de plusieurs variables

Fonctions
de plusieurs variables
Rappels de cours
Questions de réflexion
Exercices d'entraînement
Louis Niglio
Maître de conférences
à l'université du Vaucluse (centre d'Avignon)
Conseiller éditorial
Daniel Fredon
Université de Limoges
DUNOD
Dans la série « TD »
Chimie organique, Paul Arnaud
Thermodynamique chimique, Alain Gruger
Électrostatique et conduction, Jean-Marc Poitevin
Magnétisme et ondes, Jean-Marc Poitevin
Électrocinétique, André Savary
Électronique, Yves Granjon
Mécanique du point, Franck Biet et al.
Thermodynamique, Claude Coulon et al.
Optique, Jean-Paul Parisot et al.
Probabilités - Statistiques, François Dress
Maths pour la physique, tome 1, Daniel Fredon et al.
Illustration de couverture :
Rachid Maraï
Ce pictogramme mérite une explica- ments d'enseignement supérieur, provo-
tion. Son objet est d'alerter le lecteur quant une baisse brutale des achats de
sur la menace que représente pour livres et de revues, au point que la possi-
l'avenir de l'écrit, particulière- bilité même pour les auteurs de
ment dans le domaine de l'édi- créer des œuvres nouvelles et
tion technique et universitaire, de les faire éditer correctement
le développement massif du est aujourd'hui menacée.
photocopillage. Nous rappelons donc que
lectLuee lCloed ed ud e 1elra pjruoiplrlieétt é 19in9te2l : LTEUPE H OTLOEC OLPLILVARGEE ttootuatlee , redper odluac tpiroéns,e ntpea rtipeulbllei coau-
interdit en effet expressément la tion est interdite sans autorisc-
photocopie à usage collectif sans autori- tion du Centre français d'exploitation du
sation des ayants droit. Or, cette pra- droit de copie {CFC, 20 rue des Grands-
tique s'est généralisée dans les établisse- Augustins, 75 006 Paris].
© Dunod, Paris, 1998
ISBN 2 10 003959 8
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pénal. Seules sont autorisées (Art L 122-5) les copies ou reproductions strictement
réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, ainsi
que les analyses et courtes citations justifiées par le caractère critique, pédagogique
ou d’information de l’œuvre à laquelle elles sont incorporées, sous réserve, toutefois,
du respect des dispositions des articles L 122-10 à L 122-12 du même Code, relatives
à la reproduction par reprographie. ,
Sommaire
Avant-propos VII
TD 1 * Topologie d'un R espace vectoriel
—
L'essentiel du cours
Pouvez-vous répondre ?
Questions de réflexion
Entraînement
Solutions SNRONOUS
TD 2 « Continuité. Connexité
L'essentiel du cours 19
Pouvez-vous répondre ? 23
Questions de réflexion 24
25
Entraînement
26
Solutions
34
TD 3 « Calcul différentiel
L'essentiel du cours 34
Pouvez-vous répondre ? AT
Questions de réflexion 42
43
Entraînement
46
Solutions
61
TD4e Extrema des fonctions
61
L'essentiel du cours
Pouvez-vous répondre ? 65
66
Questions de réflexion
67
Entraînement
68
Solutions
TD 5 + Intégrales multiples 84
84
L'essentiel du cours
90
Pouvez-vous répondre ?
91
Questions de réflexion
91
Entraînement
93
Solutions
daDLp©eunésuahu lnott ion notto. ro dics.oé pe ie
VI TD Fonctions de plusieurs variables
TD 6 + Formes différentielles. Intégrales curvilignes 105
L'essentiel du cours 105
Pouvez-vous répondre ? 109
Questions de réflexion | 110
Entraînement LIT
Solutions 113
TD 7 + Séries numériques 121
L'essentiel du cours 121
Pouvez-vous répondre ? 126
Questions de réflexion 127
Entraînement 128
Solutions 129
TD 8 * Suites et séries de fonctions 143
L'essentiel du cours 143
Pouvez-vous répondre ? 148
Entraînement 149
Solutions 151
TD 9 « Séries entières 158
L'essentiel du cours 158
Pouvez-vous répondre ? 161
Questions de réflexion 162
Entraînement
163
Solutions 164
TD 10 + intégrales dépendant d'un paramètre 175
L'essentiel du cours .17%
Pouvez-vous répondre ?
179
Entraînement
179
Solutions
180
TD 11 « Séries de Fourier
190
L'essentiel du cours
190
Pouvez-vous répondre ? 193
Questions de réflexion 194
Entraînement 195
Solutions
196
Sujets d'examen
206
Énoncés
206
Solutions
210
Index
215
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Avant-propos
Félicitations, vous voici en deuxième année d'université. Vous avez donc acquis des
connaissances, des techniques, et une méthode de travail sur lesquelles vous pourrez
vous appuyer.
Mais si vous pensez, comme un certain nombre d'étudiants, que des théorèmes exis-
tent pour traiter toutes les situations, ou qu’il suffira de remplacer des lettres par des
chiffres dans des formules «mathématiques », il vous faudra revenir sur cette opinion.
Beaucoup de points du programme, par nature, demandent une certaine compréhen-
sion du cours et un peu d'initiative, et résistent avec obstination à l’application méca-
nique de résultats. C’est un fait, et nul n’y peut rien.
Bien sûr cela peut paraître plus difficile, c’est aussi plus intéressant.
Le conseil majeur que j'ai envie de vous donner : si vous cherchez la solution d’un
exercice, ne vous attendez pas à la trouver, chaque fois, en quelques minutes, et ne
zappez pas trop vite sur un autre programme en attendant d’avoir un corrigé. Il n’est
pas anormal de rester longtemps sans rien trouver, surtout sur un sujet nouveau.
Analysez bien votre énoncé, reprenez le cours et les exemples traités. Il faut parfois
plusieurs heures et ce n’est pas du temps perdu.
Organisez votre travail de manière à consacrer au moins deux heures d’un seul tenant
à une discipline, car la concentration sur un sujet est indispensable. Sinon vous vous
limiterez à du superficiel et vous aurez bien vite tout oublié.
Une autre suggestion: expliquez à un autre étudiant, soit la solution d’un exercice,
soit ce qui vous empêche de la trouver. Dans cette situation, il est fréquent que vos
efforts d'explication vous permettent, vous-même, de mieux comprendre ce que vous
faites, ou ce qui vous gêne.
Voilà. Alors bon courage.