Fonctions de Plusieurs Variables Complexes III: Séminaire François Norguet Octobre 1975 – Juin 1977

395 Pages·1978·12.854 MB·French-English

by  Constantin Banica (auth.), François Norguet (eds.)

HOMOLOGIE ET ~ITILAUD EN G~O~TRIE ANALYTIQUE COMPLEXE )*~
par
Constantin BANICA
Le but de cet expos@ est de pr@senter certains r$sultats de [1], [2].
L'effort de ces travaux est d'introduire des invariants homologiques de type
~ech pour les faisceaux analytiques coh@rents d'une part, et d'autre part de traiter
la dualit@ en deux @tapes. Premi~rement, la dualit@ homologie-cohomologie (la th@o-
rie des espaces vectoriels topologiques intervient seulement dans cette partie) et
puis une part alg@brique, l'expression de l'homologie en termes de foncteurs bien
connus du type Ext (ici le complexe dualisant de Ramis-Ruget [9] joue le rSle essen-
tiel dans le cas singulier).
On trouve d@j~ trait@ un cas particulier dans le papier [8] de Kultze. Dans le
travail [13] de Suominen l'homologie est @galement pr@sente m@me si elle n'est pas
explicit@e.
L'expos@ est divis@ en quatre paragraphes : le §I contient des sorites sur les
familles de supports et sur l'homologie, §2 contient l'homologie sur les espaces
complexes, §3 le th@or~me de dualit@ pour un espaee complexe et une paire duale (¢,~)
de familles de supports (le cas classique correspond ~ ¢ = les ferm@s, T = les com-
pacts) et §4 des r@sultats de dualit@ de type X mod Y, o~ X est un espace complexe
et Y une partie ferm@ de X.
,1 PR~LIMINAIRES
a) Le lermme de dualitY. Soient (E,F) une paire d'espaces vectoriels topologi-
ques localement convexes s@par@s (sur le corps complexe ~) et < > : E x F ÷ ~ une
application bilin@aire.
Supposons que :
(i) pour tout e ~ E, e ¢ O, il existe f ~ F tel que <e,f> @ O,
(ii) pour tout f ~ F, f ¢ 0, il existe e ~ E tel que <e,f> ¢ O,
(iii) l'application < > est continue par rapport ~ chaque argument,
(iv) les applications E ÷ F' et F + E' donn@es par e + <e,~> , f ÷ <*,f> , d@-
duites de (iii), sont bijectives (l'accent indiquant le dual topologique).
(*) R@daction de l'expos@ du 21 novembre 1974.
2
On dit alors que la paire (E,F) est en dualit6 semi-topologique, via l'applica-
tion < >. Si les applications de (iv) sont des isomorphismes topologiques, lorsque
l'on consid~re sur le dual la topologie forte, on dit que (E,F) est en dualit@ toloo-
logique.
Lemme de dualit6 2. Soient
E a~F B~G (Ba = 0)
~__~,~
~,u (uv o)
=
deux complexes d'EVTIc et d'applications lin6aires et continues.
Supposons que les paires (E, ~), (F,~), (G~) sont en dualit6 semi-topologique et
que les applications bilin6aires respectives sont compatibles avec a, B, u, v, i.e.
<a(e), @> = <e,u(@)> , Ve ( E, V@(
<B(f), ~> = <f,v(~)> , Vf ~ F, V~ ~
Alors on a des isomorphismes alg6briques :
Ker u/Im v ÷ (Ker B/Im ~)', Ker B/Im ~( ÷ (Ker u/Im v)'
En plus, si B (respectivement u) est stricte, alors Im v (respectivement Im ~)
est ferm6 clans %f (respectivement dans F).
D6monstration. On va d6finir d'abord, ~ l'aide des applications < >, une appli-
cation lin6aire
~( : Ker u/Im v + (Ker B/Im ~)'
Soit k ~ Ker u/~--~v, k = @ + I-~ avec @~ Ker u, et soit o ~ Ker B/Ira a,
= f + Im ~ avee f c Ker .8 Pour tout e ~ E et tout Tc ~, on a :
<f + a(e) , P~ + v(~)> = <f,~> + <f,v(Y)> + <o~(e),~> + <o~(e),v(~)> =
= <f,~> + <5(f),~> + <e,u(q0)> + <e,uv(~)> = <f,@> .
Donc <f + lm a, o2+ Im v> = <f, >0% . Par continuit6, <f + ,~--m-i" 2O +"~-~> = <f,@>
On peut ainsi d6finir une application lin6aire
8(I) : Ker B/Ira ~ ÷ C
par la formule 8(k)(~) = <f, %0>. La continuit6 de l'application <*, @> montre que
8(~) est continue et on obtient l'application cherch6e.
Prouvons que 8 est surjective. Soit £ ~ (Ker B/Im a)'. En composant avec
Ker 8 ~ Ker B/Im ~ on trouve une fonctionnelle lin6aire et continue. A l'aide du
th6or~me de Hahn-Banach on peut la prolonger ~ une fonctionnelle L ~ F'. Par hypo-
th~se, il existe @c/ tel que <f, q> = L(f) pour tout f ~ F.
On a <e,u(@)> = <~(e), @> = L(~(e)) = Z(~(e) + Im e) = £(0) = 0 pour tout
e 6 E.
Donc ~ ( Ker u et on a 8(@ + Im v) = ~. Montrons que @ est injective.
Ii suffit de prouver que, si ~ ( Ker u et <f, ~> = 0 pour tout f £ Ker 8,
alors ~ £ Im v. En utilisant de nouveau le th6or~me de Hahn-Banach, on doit prou-
ver que pour toute fonctionnelle L { ~' qui s'annule sur Im v, L(@) = 0.
Par hypoth~se, il existe f ( F tel que L = <f~*>. On a
<~(f),~> = <f,v(~)> = L(v(~)) = o, v~ c o.
Donc f ~ Ker Bet ainsi L(~) = <f, ~> = 0. On a prouv~ que 8 est bijective.
On d@montre de la m~me mani~re l'existence d'un isomorphisme alg6brique
Ker ~/Im ~ + (Ker u/Im v)'. Supposons maintenant que B soit un homomorphisme topolo-
gique et montrons que Im vest ferm6.
Soit ~ e Im v. Pour f e Ker B et ~ ~ ~ on a :
<f,v(y)> = <B(f),~> = <O,~> = O.
Ii en r6sulte <f,~p> = 0 pour tout f ~ Ker B, donc <*,@> d6finit une forme lin~aire
sur F/Ker B = Im B qui est continue dans la topologie quotient, donc continue aussi
pour la topologie de Im B induite par la topologie de G.
Cette fonctionnelle se prolonge en une forme sur G, laquelle correspond ~ un
616ment ~ de ~ • On a v(~) = ~ ,donc @ ~ Im v. On raisonne de mSme pour l'autre
assertion. Le lemme est d@montr6.
Soit
8
(.)
m ~F ~G
un complexe d'EVTlc s@par6s. Consid6rons le complexe
~t
(**) E' ~ F' 4 ~'' G'
obtenu par dual topologique. On peut appliquer le lemme de dualit@ pour les com-
plexes (*), (**), en prenant sur les espaces respectifs les topologies faibles, ou
bien les topologies de Mackey (cf. 2, §3)).
b) Sorites sur les families de supports ( I, §I, Iet 2, §I). On va consi-
d@rer des espaces topologiques paracompacts, localement compacts, ~ topologie
d6nombrable. Une paire (¢,y) de families de supports sur un espace X, s'appelle duale
sl :
S E ¢ si et seulement si S n T = compact, WT £ ~,
T £ T si et seulement si T n S = compact, VS ~ ¢.
Exemples. (0)¢ = les ferm6s de X, T = les compacts de X.
(I) Par une 2-com~actification de X on entend un espace Hausdorff com-
A
pact ~ topologie d@nombrable, de la forme X = X u {0} u {I}, tel que la topologie de
induit sur X la topologie de X. Soit ~ : X ÷ Rune fonction de Urysohn telle que
{o} = .~{ ~ :~/~(~) = o} , {i} = {~E~/~(~) = ~}
et satisfaisant la condition 0 s @ s .1 Alors les families
= {S c X/S ferm6, sup @< }I , T = {T c X/T ferm6, inf @> O}
S T
donnent une paire duale. Dans ce cas ¢ et ~ possSdent des bases d6nombrables et il
existe S ( @ et T ~ T tels que S u T = X. On peut d6montrer que la r6ciproque est
6galement vraie (2, prop. 1.2). Les fami!les de supports ¢ et les paires (¢,Y)
avec lesquelle~on travaille dans I sont exactement celles de cet exemple.
Si X u {0} est la compactification d'Alexandroff et X la r6union disjointe de
X u {0} et {I}, alors ~ = les ferm6s et T = les compacts.
(2) Supposons que X soit une partie ouverte d'un espace topologique
X' (avec les mSmes propri6t6s que X). Alors les familles
¢ = {S c X/S ferm6 dans X'} ,
= {T c X/T ferm6 dans X et relativement compact dans X'},
sont duales, l'une de l'autre. ~ n'admet pas en g6n6ral une base d6nombrable, donc
on a une situation plus g6n6rale que dans (I) ; toutefois, si X' - X est une pattie
compacte de X', alors la palre (¢,Y) peut s'obtenir par 2-compactifieation (2, pro-
position 1.3).
(3) Soit Y une partie ouverte ou ferm6e de X. Pour une famille ~ de
supports sur X on d6finit comme d'habitude :
¢ n Y = {s n Y/S c ¢}, ¢/Y = {S ~ ¢/s ~ Y}.
On peut montrer clue :
- si Y est ferm6e et (~,~) est une paire duale sur X, alors (G/Y, ~ 0Y)
est une paire duale sur Y ;
si Y est ouverte et (%,T) est une paire duale sur X obtenue par
-
2-compactification, alors (@/Y , Y n Y) est une paire duale sur Y ; de plus, si X-Y
est compacte, alors (@/Y , T n )Y peut s'obtenir par 2-compactification (2, prop.
1.5).
Cet exemple (qui g6n@ralise l'exemple pr6c6dent) est utile dans la dualit6 de
type X mod .Y
)c Homologie avec support (I, §3 et 2, §2). Soit X un espace topologique.
Rappelons qu'un copr6faisceau de groupes ab61iens ~ sur X est un syst~me
{~(U) , T~} , o~ les ~ )U( sont des groupes ab61iens et ~ : ~5(U)+ ~ )V( sont
des homomorphismes U~UcV tels que T U U = l'identit6 et T~ = T~ T~ pour les ouverts U c V c W.
Exemples. )I( Soit ~ um faisceau de groupes ab61iens sur X. On obtient un co-
pr6faiseeau ~k si on associe ~ tout ouvert U, ~k(U) = Fk(U,~f) et toute inclusion
U c V l'extension triviale des sections Fk(U,~) +Fk(V, ~). En g6n6ral, pour tout
entier q ~ O, on obtient un copr6faisceau ~(/)
U' ~ ~(U,~), U c V' ; l'extension naturelle ~(U,~) ~ '.~(V,~) .
)2( Soit @ une famille de supports sur .X On obtient un copr6faisceau
~ (##) en associant ~ tout ouvert U le groupe H@I q u(U,~m') et ~ toute inclusion U c V
l'applieation H%Iu(U,/) )H~Iv(V , ~) d~duite par l'extension triviale des sections.
Pour @ = les compacts, on retrouve l'exemple pr@c6dent.
)3( Supposons que / est un faisceau d'EVT. On note alors par ~<,
le copr6faiseeau dual de ~f, le copr@faisceau d6fini par :
U~ die dual topologique de F(U,/).
U c V ; ~la transpos6e de l'application
continue F(V,~) , F(U, .)'~
s'appelle cofaisceau si, pour tout ouvert ~ et pour tout recouvrement ouvert
~= {Ui} " de ,~ la suite (d6finie comme pour les pr6faisceaux)
1
~(Ui n Uj) ~ ¢ ~(Ui) >~(~) )0
i,j i
est exacte. Notons que, dans des cas sp6cifiques, on dolt se borner ~ certains ou-
verts ~ et ~ certains recouvrements ~.
Un recouvrement ouvert ~= {U.) de X s'appelle adapt6 ~ @ si :
i i~l
VS ( { ===#' l'ensemble ~J U i appartient ~ @.
Uin S¢~
Si (¢,Y) est une famille obtenue par 2-compactification, alors les recouvrements
localement finis adapt6s ~ ~ et Y sont cofinals parmi les recouvrements ouverts (I,
pg. 196). Plus g@n6ral, toute fmnille de paracompactification ~ sur X qui poss~de
une base d@nombrable et telle que )_k S = X, admet nat recouvrement adapt6 (I,
S {~
prop. 1.1). Notons 6galement le fait suivant : si @ admet des recouvrements adapt6s
et Y est une partie ouverte ou ferm6e de X, alors @/Yet ¢ n Y ont la m@me propri6-
t6. Avec ceci les familles de supports consid6r6es dans l'exemple (2) de b) admet-
tent des recouvrements adapt6s.
Pour nut espace topologique X, une famille de supports ~ sur X, un recouvrement
ouvert ~ et un copr6faisceau ~ on va d6finir les invariants H@(~,~), les groupes
d'homologie de $6~ coefficients dans ~ et ~ supports dans ¢. Supposons, par commo-
dit@, que ~ est localement fini et que les ouverts U. sont relativement compacts.
1
Pour un entier q notons C~(~,~) = H ~ (Ui ...i ) et d6finissons
(io,... ,iq) o q
3 : C~(~.,,~) }C~_1(~,~) par la formule
U.
q )h io''"
(~g)i ° = X (-1 ~u. ~q-1 ~ g.
• -.lq_ • I h=o lo...lq_ • I m 0 ...ih_ I Vih...Zq_ I
On obtient un complexe de chaSnes C~(~,~). Pour g £ C~(~,~) on d6finit
supp g = ~J U. et soit
l ...J
gi ...i ¢o o q
o q
On a supp (~g) c supp (g), donc on obtient un complexe C~(~,$) dont l'homo-
logie sera not6e H~(~,~). si @ = les compacts, on obtient les groupes d'homologie
usuelle H,(~,~) 4 (pour recouvrement ~, H,(~,~)) d6note l'homologie du com-
plexe de cha~nes finies C,(~,9), Cq(~,~) = @ ~ (Us)). Supposons par la suite
dims:q
que X est de nouveau paracompact, localement compact, ~ topologie d6nombrable et no-
tons par ~.la famille des recouvrements localement finis de X par des ouverts rela-
tivement compacts. Supposons que @ a&net de recouvrements adaptSs.
Soient ~,~c ~, adapt6s ~ @, ~f < ~. On obtient ~ l'aide des fonctions de raf-
finement des applications naturelles H¢(~}~,~) >---- H¢(~,~) et on d6finit les
~roupes d'homologie de X ~ coefficients dans ~ et ~ supports dans ¢,
H@(X,~) = l~m H@(~,~) , ~ c ~ et adapt6 ~ .@
De mani~re duale, on peut d6finir pour un pr@faisceau ~sur X des invariants
H$(~,J~), H$(X,~). Si ~ est faisceau et ~ adapt@ ~ ~, alors H$(~,~ )'~ coincident
avec les groupes ed cohomologie de ~ech H$(~,~), doric aussi H$(X,~) = ~$(X,~).
Proposition. Supposons X de dimension topologique finie. Pour tout faisceau flasque
~ sur X et tout recouvrement U e ~, adapt@ ~ ¢, on a
H~(~, ~k) = 0 pour q 2 et 1 H~(~,~k) = F¢(X,~) ,
En particulier ~k est un cofaisceau (relativement aux @l@ments de ~L) et
DTmonstration. Soit, pour un ouvert U de X, ~U le sous-faisceau de ~,
sur X\U.
Notons pour tout s = , (lo,...,Zq) ~s =~U " Soient gq(~,~) = ¢ ~s
s dim s=q
~-( H ~s' car ~ est localement fini) et d ~ : (~,~)~ ---)K_I(~,~)~ le nor-
dim s=q q
phisme donn@ par I d gs = ~ (-1)k >k' o~ ~k : ~i ...i ~ ~i "k~" i est
k=o o q o .... q
l'inclusion. On obtient un complexe de faisceau et les inclusions ~i---¢ ~ d@finis-
sent un morphisme d'augmentation ~o ( ~, ~) ~ ~.
$.(~,~) est une r@solution de ~ ; en effet, six est un point de X, alors
(~'~)x donne l'homologie d'un r-simplexe ~ coefficients dams ~x' o~ rest le
hombre i des U contenant .x On obtient ainsi la suite exacte
Les faisceaux ~s 6tant flasques, les termes de la suite sont flasques.
Par hypoth~se, il existe un entier s tel que ~(X, ~) = 0 pour q > set ~ fais
ceau de groupes ab@liens sur .X Ii en r@sulte alors que si on applique F¢(X,*) a )*(
on obtient une suite exacte. ~ @tant adapt~ ~ ~, F¢(X, ~q(~,~)) = C~(~ ,~k et )
la conclusion rTsulte.
)d Homolo6ie relative ([2], §6). Consid@rons une partie fermTe Y de .X Soit
= {U }i ~ ~(X), adapt@ ~ .@ La fmnille ~IX-Y admet des recouvrements adaptTs
iel
et soit )Z = ~ {Vj} c ~(X\Y) un tel recouvrement. De plus, supposons que
j(J
~/~ < gg n (X\Y) et soit T J : ~-- I une fonction de raffinement. La fonction T dTfi-
nit une application de chafnes T, : c@]X\Y($ ~,~) ~ C¢(~,~) ,
z ~'5)~(~ ""~ =
o b
A"
= ~ ~ ~o...~b ' ~ ~ ° ¢lX\~)~'~(
. " )co(= l o ..... 1 )~b(=Tb o... t ~o...~b b
~OTOUS ~l
a% ]-L[ PgsT~ua Y~ $ ~usi~%Tou ~ ~noqa ~£ao nu d~s' ~ooo~d~u~a pu oq~u~a~ou% pa
s~u~ don~ I~ PTJJ@xau%TaITa" ou uo%a
~% ou mou%~ ~na a~at ua pgdaup~u% d~s Pa I~ jouo%lou • l
u 0 ~ nua sn['%a ax~o%~ ax.~OTO~Oti~p
"'" ---*Hclx\x) ~( --~ H¢)~r '~¢( ---e ~)~opff~'@ ( --~ Hclx\X)q~'~@ ( --~ .- •
dao%TAa~au% "X\XI~ ~ S nddosous ~na ~, > ~ ~ ~, > ?~ a% $~ > ~ u )X\X("
u 0 oq%Tau% pas moadqTsmas H%)~ pore ~, ( 4--- H~)77 mopq~( a% ou pgmou%aa
I ani T upad~up~uo~ pas louo%~ous pa ~IJ.~ua~au% ~%1 sa ooupT%7ous nsnaII~s pa %x~usT-
%TOU" ou dosa
H~)X po~u X'~( = ~T-~ H~)~U°P~Kt~("
... --~HClX\x)X\X'g( --<H )X'6( --<H )X ~op £'g --~HclX\x)X\X ~( --~ ....
(a qas T uX~XT~U%s H~)X'6 ~op ~ (£ )]~[' §9(" Gm$mumssous u-r, oodagj~TSOa~u ~X
sl7/ X eU ~SSOOT~U% ~ l7~ OnASX% lf P~ X '
a% ~ uua T uoTnsTou ~ n A i~ddyTo~%Tou pgpnT%~ u~%ni~TIa~au% d~z>~•
~onx %on% ~ %aI ~n~ ~ u X = ~ ~ X)~( = 0 pouo ~X as% .oouoau%xg. snx "X u B 0
uu ~oadqTs~a u~%naay : y .~---- ~ X pouu9 d~x 'uoT%oTx%o~xoo a%1 ni ooxxasdoup u'ua
,
ou oq%Tau% ~ua snT%~ ~x~o%~ p,qo~oyo~Ta
...------~4(~,~Y)----~I~q(gL,~)-----~4(~,~ ~---- 4_](Z~,sz~Y)~ ....
mod~ Y)
Si ~' < ~ , ~' e ~ , alors on obtient des morphismes
(q@H ~',.~ "--~4( ~',~ )Y .
nod ~Y) nod ~
D6finissons 4(X,~ mod9 Y) = lim H¢(~,9 mod~Y).
q
On note aussi par ~ le copr6faisceau rits Y obtenu par
)V( = lim ~ ]~( ~ , voisinage ouvert de V dans X.
On a H~(X,~ Y) = ~nY(y,~) et on obtient la suite exacte d'ordre 2
• .. _._.~H~nY(y,~q ) --~H~q(X,~) ~ H~q(X,~ modC~ Y) .--~.H )~,Y(l_q'Yn@ ~ ...
'2, HOMOLOGIE RUS LES ESPACES ,SEXELPMOC
a) Le cofaisceau dual d'un faisceau coh6rent [1]. Soient X un espace complexe
topologie d6nombrable et J un faisceau analytique coh6rent sur X.
Pour tout ouvert U de X, ~(U) a une structure FS (Fr6chet-Schwartz) et notons
<(U) le dual fort. <(U) est nut espace de type DFS (dual fort de Fr6chet-Schwartz).
Si U c V, alors la restriction J(V) --~ff(U) est continue et donne par transposi-
tion une application continue T~ : <(U) --~<(V).
On obtient ainsi tm copr@faisceau~, le dual de ~, en espaces vectoriels topo-
logiques de type DFS.
Proposition. Pour tout ouvert de Stein ~ de X et tout recouvrement de Stein d6nom-
brable ~ de ~, Hq(~,$ff,) = 0 pour q > 0 et Ho(~,<) =<(~) ; en particulier ~
est nut cofaisceau relativement aux ouverts de Stein et aux recouvrements d6nombrables
D6monstration, Par hypoth~se la suite
0 ~--- 0~(U) ~-- H i). "~- (U ~--- H. . ~'(U i n Uj) .....
1 l,J
est exacte. Les composantes ont une structure FS et les applications sont continues.
D'apr~s le th6or~me de Banach, ces applications sont des homomorphismes topolo-
giques. On obtient par dualit6 alors la suite exacte
• "" %) ,o
i)$ 1
I0
et d'ici la conclusion.
Notons @galement le fait suivant : si 0 --* ~' ---~ J~---~Jf" ---~0 est tune suite
exacte dans Coh X, alors on obtient une suite exacte (sur les ouverts de Stein) de
cofaisceaux 0~-- ~' ~---~ ~-- Jg"g-- .O
b) Le th6or~me de Leray pour l'homologie. Supposons par la suite que ¢ est une
famille de supports admettant des recouvrements ouverts adapt6s. Comme pour la coho-
mologie, on peut d6montrer nut th6or~me de type Leray pour l'homologie des copr6fais-
ceaux (I, th. 5). La proposition pr6c6dente, jointe ~ ce th@or~me, donne le
Th6or~me. Soient X nut espace complexe ~ topologie d6nombrable, @ tune famille de sup-
ports sur X,~ nut recouvrement localement fini de X par des ouverts de Stein rela-
tivement compacts, adapt@ ~ ~, et J£ Cob .X Alors les morphismes H~(X,~)
H~(U,~',) sont des isomorphismes (voir aussi 2, appendice au §4).
Corollaire. A toute suite exacte 0 --~ ~' --~ J~--~" --+0 dans Coh X correspond
enut suite exacte d'homologie
c) Homolo~ie relative pour les faisceaux coh6rents. Soit Y une partie ferm6e
de X. Grace au th6or~me de Leray on peut d@montrer la
Proposition. Les morphismes canoniques
H~(X rood X\Y ,~,)---~H~(~ mod ~,~,)
sont des isomorphismes (les notations sont celles de §I, d, et on suppose de plus
que ~ ,~sont de Stein).
Corollaire. La suite d'homologie
est exacte.
On peut 6galement montrer la propri6t6 d'excision. :
Pour un voisinage ouvert ~ de Y dans X, on a des isomorphismes
H@a2(~q mod ~ ~ (X\Y),J"~) = H~(X mod X\Y,J ) •