Fonctions de Plusieurs Variables Complexes II: Séminaire François Norguet Janvier 1974–Juin 1975

367 Pages·1975·11.384 MB·French

by  Daniel Barlet (auth.), François Norguet (eds.)

ESPACE ANALYTIQUE REDUIT DES CYCLES ANALYTIQUES COMPLEXES COMPACTS
D'UN ESPACE ANALYTIQUE COMPLEXE DE DIMENSION FINIE '')~t
par
Daniel BARLET
INTRODUCTION
L'objet des chapitres O, I, II et III est de munir l'ensemble des cycles analy-
tiques compacts de dimension n d'un espace analytique complexe Z donn@ de dimension
finie, d'une structure d'espace analytique complexe r@duit de dimension finie. Une
part importante de la difficult@ est de poser le probl~me, ce que nous faisons au
chapitre I w o~ nous d@finissons le foncteur F n z qui ~ un espace analytique complexe
r@duit de dimension finie S associe l'ensemble F~(S) des familles analytiques de cy-
cles compacts de dimension n de Z parametrees par S. La deflnltlon de ce foncteur
n'@tant pas @vidente, nous avons donn@ au chapitre I w une description des familles
analytiques de cycles compacts qui est complete aux points normaux de l'espace de
param~tre, et qui montre (tout au moins je l'esp~re) que le probl~me pos@ est satis-
fai sant.
Le contre-exemple du chapitre I w montre que pour qu'une famille de cycles com-
pacts (Xs) s e S solt analytique au voisinage de s o g S, il ne suffit pas de v@rifier
les conditions impos@es dans la d@finition "fonda~entale" sur un recouvrement de
IX s i par des @cailles adapt@es ~ X s
O t,
Nous sommes ainsi amen@s, au chapitre II, ~ introduire la notion de morphisme
isotrope qui permet de d@montrer le th@or~me de changement de projection (th@or~me 4).
Nous pouvons alors nous contenter de v@rifier des conditions plus fortes (isotropie)
sur un recouvrement de I Xsl par des @cailles de Z adapt@es ~ X
-- S
Nous montrons, au chapitre III w que les espaces classifiant les morphismes
isotropes sont naturellement munis de structure d'ensemble analyt~que banachique ;
la construction de la solution r@sulte alors d'id@es classiques depuis le th~se de
(D).
de Dou~y
(~) Ce travail d@veloppe les expos@s du 4 Novembre 1971, du 7 F@vrier et des 12 et 19
D@cembre 1974. Ses quatre premiers chapitres constituent la Th~se de Doctorat d'Etat
soutenue le 15 Janvier 1975 ~ I'U.E.R. de Math@matiques de l'Universit@ Paris VII.
Au chapitre IV w nous d@finissons la notion de famille analytique (locale) de
cycles (non n@cessairement compacts) ; nous montrons au w que cette notion est inva-
riante par plongement et stable par image directe (quand cela aun sens). Le w fait
le raccord avec la vari~t@ de Chow dans le cas d'une vari@t@ alg~brique projective, ce
ce qui permet en particulier de montrer que celle-ci est ind@pendante du prolongement
projectif choisi pour la construire.
Au chapitre V nous montrons qu'il existe une application "naturelle" entre l'es-
pace de Douady (r~duit) et l'espace des cycles d'un espace analytique donn@, et que
cette application est analytique.
Le chapitre VI est consacr@ ~ la construction d'une th@orie de l'intersection
avec param~tre ; on y montre essentiellement que l'intersection de deux familles ana-
lytiques est analytique d~s qu'elle est raisonnablement d~finie. On obtient @galement
une caract@risation simple des familles analytiques de cycles en termes d'intersec-
tions.
Au chapitre VII on @tudie les fonctions sur l'espace des cycles d@finies par in-
tegration de classes de cohomologie. On obtient ainsi (proposition 2) une nouvelle ca-
ract~risation des families analytlques de cycles. Cel!e-ci r@sout localement la ques-
tion de!l'analyticit~ de ces fonctions. La globalisation est effectu~e ici darts le
cas alg~brique projectif.
Je remercie vivement le Professeur A. Douady pour son aide (en particulier dans
l'@laboration du th~or~me 8) et ses critiques.
Je tiens @galement ~ exprimer toute ma gratitude au Professeur F. Norguet qul
m'a consid@rablement aid~ darts la r@alisation de ces travaux et qui m'a permis de les
regrouper darts ce tome de son s~minaire.
D. Barlet
ELBAT SED I~TIERES
C HAPITRE 0 IPr~liminairesl
w Ensembles analytiques banachiques
D6finitions - Lemme de finitude p. 9-11
Applications analytiques dans H(~,C) p. 12-13
Prolongement analytique p. 14-15
w symk(c p )
Plongement canonique p. 15-17
Fonctions de Newton - Application N p. 17-23
Fonctions de Newton pond~r@es - Application NP p. 23-25
w Rev~tements ramifies
D@finitions - Classification p. 25-30
Banachisation p. 30-31
D~composition locale p. 31-34
CHAPITRE I IOn pose le probl~me I
w Familles analytiques de cycles
Cycles - Ecailles - On pose le probl~me p. 35-36
Changement de projection p. 37-40
w Cas d'un espace de param~tre normal
Description d'une famille analytique de
cycles compacts - Cas d'un espace de param~tre
normal p. 4O-44
w Chan~ement de projection p. 44-47
w Contre-exemple p. 47-50
CHAPITRE II llsotropiel
w Crit~re pour le changement de projection
D@finition et analyticitg des Ti(f) pour une
m
application analytique f : U --~symk(B) .p 51-59
Un crit~re de changement de projection .p 59-65
w Un exemple .p 65-67
w Th@or~me de chan~ement de projection
Morphismes isotropes - Isotropie des familles
analytlques de cycles compacts dans une @caille
adapt@e .p 67-69
Th@or~me de changement de projection pour un
morphisme isotrope .p 69-78
CHAPITRE llI IConstruction de l'espace des cycles I
w ~spaces classifiants pour les morphismes isotropes
Analyticit@ de ~U,U' .p 79-85
w Un exemple (suite) p..86-88
w Enveloppe isotrope .p 88-91
w Construction de la solution
Ecailles doubles - Carapaces .p 91-94
Recollements .p 94-97
Existence - Finitude - Globalisation .p 97-101
CHAPITRE IV IImages directes - Chow ~ C~cles I
w Familles analytiques de cycles (non n@cessairement compacts)
Terminologie "locale" et raccord .p 102-104
Traductions des th@or~mes ,2 3 et 4 .p IO4-IO5
Un crit~re d'analyticit@ "local" .p 106
w Images directes
Invariance par plongements .p I06-108
Stabilit@ des families analytiques de cycles par
images directes .p 108-112
w Vari@t@ de Chow et espace des cycles .p 112-118
C HAPITRE V Morphisme Douady ~ cycles I
w Cycle associ@ ~ un ~-espace analytique de
dimension finie .p 119-124
w Le morphisme Douady ---~Cycles est analytique .p 124-127
w Compl~ments
Le cas des diviseurs d'une vari@t~ .p 127-130
Un cas d'isomorphisme local - Contre-Exe~ple .p 130-132
C HAPITRE VI I Th@orie de l'intersection avec paramStre I
w Intersection de morphismes isotropes
Produit de families analytiques p. 133-136
R$duction ~ la diagonale et changement de
projection .p 136-138
w Intersection de cycles
Ecailles bissectrices .p 138-139
Transversalit@ - "Moving lemma" p. 140-142
Th@or~mes d'intersection .p 143-146
w Images r@ciproques p. 146-148
Equivalence analytique .p 148-149
CHAPITRE Vll L_~t~g:-ation de classes de cchouo!ogiel
DEfinition de l'int@grale d'une classe de
cohomologie sur nut cycle p. 15o-154
Analyticlt@ par rapport au cycle .p 154-16o
Bibliographie .p 161
P,~Ic ERTI o
SERIANIMILERP
w - ENSEMBLES ANALYTIQUES BANACHIqUES.
A. D~finition I
Soient E un espace de Banach, U un ouvert de E et X un ferm6 de U ; on dira
que X est un sous-ensemble anal~tique banachique de U, si pour tout point x e X il
existe un voisinage ouvert U de x dans U, un espace de Banach F et une applica-
x x
tion fx : Ux--~Fx v6rifiant
)o(1~f =u xn x
D~finltion 2
Soient E et F deux espaces de Banach, et soient U et V des ouverts de E et F
respectivement. Si X et Y sont des sous-ensembles analytlques banachiques de U et V
respectivement, on appellera application analytique de X dans Y la donn~e d'une ap-
plication continue h : X --~ Y qui v6rlfie la condition suivante :
Pour tout x (cid:12)9 X il existe un voisinage ouvert U de x strad U et une applica-
x
tion analytique h : U --~ F, telle que
x x
hxlUxN X = hlU x(cid:127) X
Remarquons que dans les conditions ci-dessus, l'application analytique h est
coml~l~tement d~termin6e par l'application ensembliste sous-jacente.
Si X C U est un sous-ensemble analytique banachique de l'ouvert de Banach U,
et si W est un ouvert de l'espace de Banach G, notons par ~x(W) le faisceau (sur
X) des germes d'applications analytiques de X dans W. si h : W--~W' est une appli-
cation analytique entre ouverts de Banach, on en d6duit par composition un morphls-
me de faisceaux sur X
ESPACE ANALYTIQUE REDUIT DES CYCLES ANALYTIQUES COMPLEXES COMPACTS
D'UN ESPACE ANALYTIQUE COMPLEXE DE DIMENSION FINIE '')~t
par
Daniel BARLET
INTRODUCTION
L'objet des chapitres O, I, II et III est de munir l'ensemble des cycles analy-
tiques compacts de dimension n d'un espace analytique complexe Z donn@ de dimension
finie, d'une structure d'espace analytique complexe r@duit de dimension finie. Une
part importante de la difficult@ est de poser le probl~me, ce que nous faisons au
chapitre I w o~ nous d@finissons le foncteur z F n qui ~ un espace analytique complexe
r@duit de dimension finie S associe l'ensemble F~(S) des familles analytiques de cy-
cles compacts de dimension n de Z parametrees par S. La deflnltlon de ce foncteur
n'@tant pas @vidente, nous avons donn@ au chapitre I w une description des familles
analytiques de cycles compacts qui est complete aux points normaux de l'espace de
param~tre, et qui montre (tout au moins je l'esp~re) que le probl~me pos@ est satis-
fai sant.
Le contre-exemple du chapitre I w montre que pour qu'une famille de cycles com-
pacts S e s (Xs) solt analytique au voisinage de g o s S, il ne suffit pas de v@rifier
les conditions impos@es dans la d@finition "fonda~entale" sur un recouvrement de
IX s i par des @cailles adapt@es s ~ X
O t,
Nous sommes ainsi amen@s, au chapitre II, ~ introduire la notion de morphisme
isotrope qui permet de d@montrer le th@or~me de changement de projection (th@or~me 4).
Nous pouvons alors nous contenter de v@rifier des conditions plus fortes (isotropie)
sur un recouvrement de I Xsl par des @cailles de Z adapt@es ~ X
-- S
Nous montrons, au chapitre III w que les espaces classifiant les morphismes
isotropes sont naturellement munis de structure d'ensemble analyt~que banachique ;
la construction de la solution r@sulte alors d'id@es classiques depuis le th~se de
([D]).
de Dou~y
(~) Ce travail d@veloppe les expos@s du 4 Novembre 1971, du 7 F@vrier et des 12 et 19
D@cembre 1974. Ses quatre premiers chapitres constituent la Th~se de Doctorat d'Etat
soutenue le 15 Janvier 1975 ~ I'U.E.R. de Math@matiques de l'Universit@ Paris VII.
D@monstration :
Montrons que le produit de deux sous-ensembles analytiques X et Y d'ouverts
de Banach U et V existe ; le sous-ensemble X ~ Y de U x V ~tant un sous-ensemble
analytique banachique de l'ouvert de Banach U K V, il est muni d'une structure natu-
relle d'ensemble analytique banachique pour laquelle les projections sur X et Y
sont analytiques. Si S est un ensemble analytique banachlque, et "f et g des appli-
cations analytiques de S dans X et Y respectivement, l'application f X g est ana-
lytique de S dans U ~ V, et son image est contenue dans X ~ Y ; elle d@finit done
une application analytique de S dans X ~ Y qui eompos@e avec les projections donne
f et g, ce qui v@rifie la propri@t@ universelle du produit. L'existence du produit
de deux ensembles analytiques banachiques s'obtient localement par le casque nous
venons de traiter ; on globalise ensuite par fonctorialit@.
L'existence des noyaux de doubles fl~ches est imm@diate.
D~finitlon 4
Soit X un ensemble analytique banachique et soit x un point de X ; on dira
que X est de dimension finie en x, s'il existe un volsinage ouvert U de x dans X
x
qui pour la structure induite est isomorphe ~ un sous-ensemble analytique d'un ou-
vert d'un espace de Banach de dimension finie.
Remarquons qu'il y a une ~quivalence de categories entre la cat~gorie des es-
paces analytiques r6duits de dimension finie (et applications analytlques) et la
cat~gorie des ensembles analytiques banachiques qui sont de dimension finie en cha-
cun de leurs points (et applications analytiques).
Lemme de finltude
Soient U ~ E et Vc F des ouverts des espaces de Banach E et F, et soient X
et Y des sous-ensembles analytiques banachiques de U et V respectivement ; soit x
un point de X.
S'il existe une application analytique h de E dans F qui induit un isomorphis-
me de X sur Yet dont la diff@rentielle en x est eompacte, X est de dimension fi-
hie en x.
D@monstration.:
Le probl~me @rant local sur X, on peut supposer, quitte ~ restreindre U et V,
qu'il existe une application analytique f : V--~E telle que f o hlX = i~, et que
h(U) G V. L'application analytlque id E - f (cid:12)9 h de U dans E admet pour diff@rentiel-
le en x ~ X un op~rateur ~ indite. Alors il existe un projecteur p continu de E
sur l'image de cette diff&rentielle. L'application analytique p @ (id E - f ~ h) est
alors une submersion ~irecte en x et sa fibre ~ l'origine est une sous-vari~t~
(lisse) de dimension finie de E au voisinage de x ; comme celle-ci contient X au
voisinage de x, ceci montre que X est de dimension finie en x.
B. Si S est un ensemble analytique banachique et f une application analytique :
f : S--*H(~,C) o~ U est un polydisque de C n, l'application -f : S ~ U --@C qui est
d~finie par ~(s,x) = f(s)(x) est analytlque ; en effet ~ est la compos~e de
f ~ id U et de l'application naturelle ~ : H(~,~) ~ U--~C qui est analytique ear
diffgrentiable au sens complexe (sa diff~rentielle en (~ )x, ~tant d~finle par :
(d~,~x) --, D~(x )(dx) + d~(x)(*)).
Nous allons ~tablir une r~ciproque de ce r~sultat (cf. Douady th~se, ch. 5
w
Proposition .I
Soient Sun ensemble analytlque banachique, U un polydisque de C net
f : S ~ U--~C une application analytique. Pour tout polydisque V6a U, l'applica-
tion S --~H(V,C) qui ~ s associe la restriction ~ de l'application analytique f
s
d@finie par fs(X) = f(s,x) , est analytique.
D~monstration :
Comme la question est locale sur S, on peut supposer que S est un sous-en-
semble analytique ferm~ d'un ouvert W d'un Banach. Alors S ~ U est r~alis~ comme
sous-ensemble analytique ferm~ de W ~ U, et par d~finition d'une application ana-
lytique, f est localement induite sur S ~ U par des applications analytiques sur
l'espace de Banach ambiant. Le coeur du probl~me est de montrer que, quitte ~ res-
treindre Set donc W, on peut trouver une application analytique F d~finie au voi-
sinage de W ~ 7, et induisant f sur nut voislnage de S ~ ~.
Ceci se famine au probl~me ~l~mentaire suivant : soit (K,K' ,K") la situation
type du lemme de Caftan, et soient F' et F" des fonctions analytiques dans des voi-
sinages de W ~ 'K et W ~ K" respectivement ; on suppose que F' (resp. F") induit f
sur S ~ 'K (resp. S ~ K"). On cherche alors F analytique sur : W m 'K( )~ K") (con-
tinue au bord) et induisant f sur S ~ 'K( )% K"). Le lemme addltif de Cartan (avec
param~tre dans un ouvert de Banach) appliqu~ ~ F' - F" sur W x K fournit des
)e~( d~ (resp. d_x) ~tant nut veeteur tangent ~ H(~,~) en ~t (resp. ~ U en x) et
D~(x) d@signant la diff@rentielle de l'application ~ au point x.
10
fonctions analytiques (continues au bord) G' et G" sur W x 'K et W x K", v6rifiant
G' - G" = F' - F" sur W ~ K, et G' (resp. G") 6tant nulle sur S x 'K (resp. Sx K")
puisque F' - F" est nulle sur S ~ K par hypoth~se (*). Comme F' + G' = F" + G" sur
W ~ K, on dgfinit ainsi une application analytique F (continue au bord) sur
W ~ (K' ~ K") qui induit f sur S x 'K( U K").
La compacit6 de ~. permet alors de trouver F analytique sur un voisinage de
W x~ et induisant f sur un voisinage de 8 x V. Nous sommes' alors ramener ~ traiter
le cas o~ S est un ouvert de Banach ; l'application s --~fs est analytique dans ce
cas car diff6rentiable au sens complexe (sa diff6rentielle en s associe ~ ds 1'616-
merit de H(~,{) d6fini par x --~Dsf(S,x)(ds) oG D s d6signe la d6riv6e partielle par
rapport ~ s).
C.Q.F.D.
Corollaire. (principe de localisation)
Soit Sun ensemble analytique banachique, et soit (Ui)ig I un recouvrement par
des polydisques ouverts et relativement compacts dans C n, du polydisque compact
de C n ; supposons donnge pour chaque i g I une application analytique fi de S strad
H(~i,C) , l'espace de Banach des fonctions continues de ~i dans C qui sont analyti-
ques sur U i ; supposons en outre que pour chaque (i,j) g 12 le diagramme :
~'-'-'--~~" U(H i n )c,jU
s / f
fi'~H(Ui,C )
soit commutatif. I1 existe a&ors une unique application analytique f : S --~H(~,C)
rendant commutatifs tousles diagram~es :
S / - ~ H(~ A UI~C) pour i g .I
D6monstration :
D'apr~s ce qui pr@c~de, les applications analytiques fi d6finissent des ap-
plications ana.ly~ ~. : S x U. ---~C et la condition de co~mutativit~ des dia-
l 1
grammes implique l'6galit~ fi = ~" sur S x (U i ~ Uj) pour (i,j) s 12 ; les .~ se
S i
(W) Le param~tre w E W 6tant fix@, G' et G" sont des fonctions lin@aires de (F'-F") w.
w