Fonction zeta des hauteurs des varietes toriques non deployees

166 Pages·2011·2.45 MB·English

by  David Bourqui

MEMOIRS
of the
American Mathematical Society
Number 994
Fonction Zeˆta des Hauteurs
des Varie´te´s Toriques non De´ploye´es
David Bourqui
May 2011 • Volume 211 • Number 994 (fourth of 5 numbers) • ISSN 0065-9266
American Mathematical Society
Number 994
Fonction Zeˆta des Hauteurs
des Varie´te´s Toriques non De´ploye´es
David Bourqui
May2011 • Volume211 • Number994(fourthof5numbers) • ISSN0065-9266
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
Bourqui,David.
Fonctionzˆetadeshauteursdesvari´et´estoriquesnond´eploy´ees/DavidBourqui.
p.cm. —(MemoirsoftheAmericanMathematicalSociety,ISSN0065-9266;no. 994)
“Volume211,number994(fourthof5numbers).”
Includesbibliographicalreferencesandindex.
ISBN978-0-8218-4936-1(alk. paper)
1.Functions,Zeta. 2.Toricvarieties. I.Title.
QA351.B68 2011
512.7(cid:2)3—dc22 2011002941
Memoirs of the American Mathematical Society
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10987654321 161514131211
Table des mati`eres
Chapitre 1. Introduction 1
1.1. Position et origine du probl`eme 1
1.2. L’adaptation de la m´ethode de Batyrev et Tschinkel en caract´eristique
positive 4
1.3. Quelques notations 7
1.4. Rappels sur les corps globaux 7
Chapitre 2. Tores alg´ebriques 9
2.1. Quelques rappels 9
2.1.1. Tores alg´ebriques et caract`eres 9
2.1.2. L’espace ad´elique associ´e `a un tore alg´ebrique 10
2.2. Les degr´es 13
2.2.1. Le degr´e sur G 13
m
2.2.2. Le degr´e sur un tore alg´ebrique T 13
2.2.3. Les degr´es locaux 14
2.2.4. Le degr´e relatif 15
2.2.5. Les degr´es locaux relatifs 17
2.2.6. Lien entre degr´e local et degr´e local relatif 18
2.2.7. Imagedudegr´elocalrelatifdanslecasd’uneplacefinienonramifi´ee 19
2.2.8. Image du degr´e local relatif dans le cas d’une place finie 19
2.2.9. Image du degr´e local dans le cas archim´edien 21
2.2.10. Surjectivit´e du degr´e dans le cas arithm´etique 22
2.2.11. Image du degr´e dans le cas fonctionnel 23
2.3. Groupe de classes d’un tore alg´ebriques 25
2.3.1. D´efinition, groupe de Tate-Shafarevich 25
2.3.2. La dualit´e de Nakayama 26
2.3.3. Cocompacit´e 27
2.4. R´esolution flasque d’un tore alg´ebrique et applications 29
2.4.1. Rappels et notations 29
2.4.2. Un r´esultat local 31
2.4.3. Approximation faible 31
2.4.4. Un invariant des tores alg´ebriques d´efinis sur les corps de fonctions 36
2.5. Nombre de Tamagawa d’un tore alg´ebrique 40
2.5.1. Rappels sur les fonctions L d’Artin 40
2.5.2. D´efinition et propri´et´es du nombre de Tamagawa d’un tore
alg´ebrique 42
Chapitre 3. Hauteurs sur une vari´et´e torique et fonction zˆeta associ´ee 45
3.1. G´eom´etrie des vari´et´es toriques 45
3.1.1. Vari´et´es toriques d´eploy´ees 45
iii
iv TABLE DES MATIE`RES
3.1.2. Vari´et´es toriques non d´eploy´ees 47
3.2. Hauteurs sur une vari´et´e torique 49
3.2.1. Rappels sur les hauteurs d’Arakelov 49
3.2.2. Hauteurs locales sur une vari´et´e torique 51
3.2.3. Hauteurs globales et fonction zˆeta des hauteurs 55
3.2.4. Remarques sur le cas fonctionnel 56
3.3. Nombre de Tamagawa d’une vari´et´e torique 58
3.3.1. Rappels sur la constante de Peyre raffin´ee 58
3.3.2. Nombre de Tamagawa des vari´et´es toriques 59
3.4. Le r´esultat 62
3.5. Strat´egie de Batyrev et Tschinkel 62
3.5.1. Un peu d’analyse harmonique 63
3.5.2. Application a` la fonction zˆeta des hauteurs 65
Chapitre 4. Calcul des transform´ees de Fourier et expression int´egrale de la
fonction zˆeta des hauteurs 67
4.1. Caract`eres de T(A ) 67
K
4.1.1. Caract`eres du groupe des id`eles 67
4.1.2. Caract`eres de T(A ) triviaux sur T(A )1 68
K K
4.1.3. Comportement des caract`eres de T(A ) vis-`a-vis des r´esolu-
K
tions flasques 68
4.1.4. Caract`eres et hauteurs sur une vari´et´e torique 71
4.2. Calcul des transform´ees de Fourier locales 72
4.2.1. Pr´eliminaires 72
4.2.2. Cas d’une place finie quelconque 74
4.2.3. Calcul explicite aux places finies non ramifi´ees 75
4.2.4. Cas des places archim´ediennes 77
4.2.5. Forme et d´ecroissance des transform´ees de Fourier aux places
archim´ediennes 79
4.2.6. Forme des transform´ees de Fourier locales dans le cas fonctionnel 82
4.3. Propri´et´es analytiques de la transform´ee de Fourier globale 87
4.3.1. Cas arithm´etique 88
4.3.2. Cas fonctionnel 90
4.4. Un calcul de limite 92
4.5. L’expression int´egrale de la fonction zˆeta des hauteurs 95
4.5.1. Cas arithm´etique 95
4.5.2. Cas fonctionnel 103
Chapitre 5. E´valuation de l’int´egrale dans le cas arithm´etique 113
5.1. Fonctions indicatrices de coˆnes 113
5.2. Un r´esultat d’analyse 114
5.3. Application du lemme technique et conclusion 115
Chapitre 6. E´valuation de l’int´egrale dans le cas fonctionnel 119
6.1. Fonctions indicatrices de coˆnes, bis 119
6.2. D´efinition d’une certaine classe de fonctions 120
6.3. Avertissement au lecteur 121
6.4. Lemmes de d´ecomposition 122
6.4.1. Version simple 122
TABLE DES MATIE`RES v
6.4.2. Version g´en´erale 124
6.4.3. Un autre lemme de d´ecomposition 127
6.5. Comportement des fonctions ´etudi´ees par int´egration 128
6.5.1. Le lemme technique : forme jouet 129
6.5.2. Le lemme technique : forme simple 129
6.5.3. Le lemme technique : forme g´en´erale 131
6.5.4. Un autre lemme technique pour les termes d’erreur 134
6.6. Application a` la fonction zˆeta des hauteurs et conclusion 136
6.6.1. Rappels pr´eliminaires 136
6.6.2. Le cas d’une extension de d´eploiement non ramifi´ee 136
6.6.3. Un cas plus g´en´eral 138
6.7. Appendice : le cas ou` l’hypoth`ese 3.24 n’est pas v´erifi´ee 142
Bibliographie 145
Index des notations 149
Index des d´efinitions 151

Abstract
Nous´etudionslafonctionzˆetadeshauteursanticanoniqued’unevari´et´etorique
(non n´ecessairement d´eploy´ee) d´efinie sur un corps global de caract´eristique posi-
tive.Nous nous inspirons pourcelade la m´ethodeutilis´ee par Batyrevet Tschinkel
pour traiter la situation analogue en caract´eristique z´ero, m´ethode que nous rap-
pelons d’ailleurs en d´etail.
Weinvestigatetheanticanonicalheightzetafunctionofa(notnecessarilysplit)
toricvarietydefinedoveraglobalfieldofpositive characteristic,drawing ourinspi-
ration from the method used by Batyrev and Tschinkel to deal with the analogous
problemoveranumberfield.Bytheway,wegiveadetailedaccountoftheirmethod.
ReceivedbytheeditorApril7,2008.
ArticleelectronicallypublishedonSeptember27,2010;S0065-9266(2010)00609-4.
2010 MathematicsSubjectClassification. Primary11G35,11G50,14M25,11M41.
Author affiliation at time of publication : I.R.M.A.R., Campus de Beaulieu, 35042 Rennes
cedex,France;email:[email protected].
(cid:2)c2010 American Mathematical Society
vii

CHAPITRE 1
Introduction
1.1. Position et origine du probl`eme
Soit V une vari´et´e projective d´efinie sur un corps global K, i.e. un corps de
nombres ou le corps de fonctions d’une courbe projective,lisse et g´eom´etriquement
int`egre, d´efinie sur un corps fini. Soit H une hauteur exponentielle relative a` un
fibr´e en droites ample. Alors pour tout r´eel B le nombre
(1.1.1) n (B)=#{x∈V(K), H(x)(cid:2)B}
V,H
est fini. Si l’ensemble V(K) est dense pour la topologie de Zariski, la quantit´e
n (B) tend donc vers l’infini quand B tend vers l’infini. Une question natu-
V,H
relle est alors d’essayer de d´ecrire le comportement asymptotique de la quantit´e
n (B), en d’autres termes le comportement asymptotique du nombre de points
V,H
dehauteurborn´ee.Oncherchenotamment`ainterpr´etercettedescriptionentermes
de la g´eom´etrie de la vari´et´e V. C’est l’objet d’un programme initi´e par Manin et
sescollaborateurs,quis’estr´ev´el´eextrˆemementricheetouvert:pourlav´erification
des pr´edictions de Manin pour des classes particuli`eres de vari´et´es, des techniques
tr`esdiverses ont puˆetreemploy´ees. Ces pr´edictions (raffin´ees par Peyre puis Baty-
rev et Tschinkel) sont maintenant ´etablies pour plusieurs classes de vari´et´es. Nous
renvoyons le lecteur aux textes [Pey02] et [Pey03b] pour un ´etat g´en´eral de la
question aux alentours de 2003 et les r´ef´erences de nombreux travaux sur le sujet.
On pourra ´egalement consulter [Bro07] pour un ´etat des lieux r´ecent concernant
le cas des surfaces.
Soulignonsquelatr`esgrandemajorit´edecestravauxseplacentdanslecasou`K
estuncorpsdenombres.Icinousnousint´eressonsaucasou`K estdecaract´eristique
nonnulle,casencorepeuexplor´edanslalitt´erature.Avanttoutechose,nousallons
pr´eciser l’une des pr´edictions de Manin concernant le comportement asymptotique
de n (B), dans le cas ou` le corps de base est un corps de nombres. Elle peut
V,H
s’´enoncer de la mani`ere suivante.
Question 1.1. Soit V une vari´et´e projective et lisse d´efinie sur un corps de
nombres K. On suppose que la classe du faisceau anticanonique est a` l’int´erieur du
cˆone effectif, et que l’ensemble V(K) des points rationnels de V est dense pour la
topologie de Zariski. Soit t le rang du groupe de N´eron-S´everi de V. Soit H une
hauteurrelative aufaisceauanticanonique. Existe-t-il unouvert deZariskinon vide
U de V et une constante C >0 tels qu’on ait
(1.1.2) n (B) ∼ CB log(B)t−1 ?
U,H
B→+∞
Larestrictiona`unouvertU ´eventuellementstrictdeV estn´ecessaireenraison
de l’existence possible de ferm´es acccumulateurs, dont un prototype est donn´e par
les diviseurs exceptionnels sur les surfaces de del Pezzo.
1