Fonction asymptotique de Samuel des sections hyperplanes et multiplicité

0.22 MB·French

by  Michel Hickel

Fonction asymptotique de Samuel des sections
9
hyperplanes et multiplicit´e
0
0
2
M. Hickel
n
a
J

2
1 Abstract

] Let(A,mA,k)bealocalnoetherianringandI anmA-primaryideal.The
C
A asymptoticSamuelfunction(withrespecttoI)vI :A−→R∪{+∞}isdefi-
. ned by vI(x)=limk→+∞ordIk(xk), ∀x∈A. Similary, one defines for another
h
t ideal J, vI(J) as the minimum of vI(x) as x varies in J. Of special interest
a
m is the rational number vI(mA). We study the behavior of the asymptotic
[ Samuelfunction(with respecttoI)whenpassingtohyperplanessectionsof

1 A as one does for the theory of mixed multiplicities. 1
v
3
5
1 Introduction
6
1
.
1 Soient (A,m ,k) un anneau local noetherien et I un id´eal m -primaire. La
A A
0
fonction asymptotique de Samuel (par rapport `a I) est la fonction v : A −→
9 I
0 R ∪{+∞} d´efinie par :
≥0
:
v
i ord (xk)
X v (x) = Lim I
I k→+∞
k
r
a
ou`ord (x) = Max{m ∈ N/x∈ Im}six6= 0etord (0) = +∞.Defac¸onsimilaire,
I I
on d´efinit pour un id´eal J de A le nombre v (J) par :
I
v (J) = Min v (x).
I x∈J I
LafonctionasymptotiquedeSamuelprendenfaitdesvaleursrationnelles etpeut
se calculer `a l’aide des valuations de Rees de I. Elle joue un roˆle primordial dans
l’´etude des clˆotures int´egrales des puissances de I. Nous renvoyons `a [H-S], [L-
T], [R1] pour les r´esultats et les compl´ements essentiels concernant ces notions.
12000 Mathematics Subject Classification; Primary 13B22; Secondary 13C15, 13F25. Key
words and phrases : Asymptotic Samuel function, Hyperplanes sections, Integral Closure of
ideals, Multiplicity, L ojasiewicz inequalities.
1
En particulier le nombre rationnel v (m), ou son inverse ν (m)=v (m)−1 que
I I I
nous appellerons exposant de L ojasiewicz de I (voir § 2) joue un roˆle important
dans l’´etude de la topologie des singularit´es c.f. [T1,2]. De la mˆeme mani`ere
que la notion de multiplicit´e mixte permet en particulier de rendre compte du
comportement de la I-multiplicit´e de A apr`es avoir intersect´e celui-ci par des
sections hyperplanes suffisamment g´en´eriques, nous avons cherch´e `a ´etablir des
r´esultats similaires pour la I-fonction asymptotique de Samuel apr`es sections
hyperplanes g´en´eriques. Le r´esultat principal du pr´esent travail est le suivant.
Th´eor`eme 1.1
Soit (A,m,k) un anneau local r´egulier d’´egale caract´eristique z´ero, dont on notera
n+1 la dimension. Consid´erons un id´eal I ⊂ A, m-primaire, de multiplicit´e e(I)
et d’exposant de L ojasiewicz ν (m) = v (m)−1 = ν(n+1).
I I I
1) Pour tout i, 1≤ i ≤ n, il existe un ouvert de Zariski dense U(i) = U(i)(I)
⊂ G (i,n+1) de la Grassmanienne des i-plans de kn+1 tel que ∀H ∈ U(i),
k
H d´efini par l’annulation des n+1−i formes lin´eaires
h (X ,X ,...,X )= a .X ,
j 0 1 n X k,j j
0≤k≤n
le nombre rationnel v (m ), ou` A = A/(h ,...,h ) et m est
I.AH H H 1 n+1−i H
l’id´eal maximal de A , est ind´ependant de H ∈ U(i). Le nombre rationnel
H
ν(i) = (v (m ))−1 (ind´ependant de H ∈ Ui) est appel´e le i`eme exposant
I I.AH H
de L ojasiewicz de I ou encore l’exposant de L ojasiewicz de I restreint a` un
i-plan g´en´erique.
2) On a :
(1) (2) (n) (n+1)
e(I) ≤ ν ×ν ×....×ν ×ν .
I I I I
(1) (2) (n) (n+1) (1)
Notons que ν ≤ ν ≤ ... ≤ν ≤ ν et que ν n’est autre que ordm(I).
I I I I I
Un cas important parmi les cas d’´egalit´es dans 2) est fourni par les id´eaux I tels
qu’il existe des entiers b ∈ N∗, 1 ≤ a ≤ a ... ≤ a tels que
1 2 n+1
Ib = (la1,la2,...,lan+1),
1 2 n+1
ou` l ,...,l est un syst`eme r´egulier de param`etres de A. En effet, dans ce
1 n+1
cas ν(i) = ai et bn+1e(I) = Π a . Une discussion et une description plus
I b 1≤i≤n+1 i
compl`ete des cas d’´egalit´es de 2) est donn´ee plus bas (c.f 5)).
Quelques mots sur la preuve du r´esultat ci-dessus. Tout d’abord, il ne nous a pas
paru ais´e de d´ecrire la variation des valuations de Rees de I.A lorsque H par-
H
court la Grassmanienne et donc de suivre par ce biais la variation de v (m ).
I.AH H
2
Ainsi la preuve du premier point de 1.1 proc`ede de mani`ere indirecte. On com-
mence par montrer un r´esultat ind´ependant (Th 3.1) qui nous semble pouvoir
pr´esenter un interˆet par lui-mˆeme. Si A est local r´egulier d’´egale caract´eristique
z´ero, nous montrons comment on peut calculer v (m) `a l’aide de certains po-
I
lynˆomescaract´eristiques canoniquementassoci´es `aI.Ceproc´ed´e, ind´ependantde
laconnaissancedesvaluationsdeReesdeI,faitl’objetdelasection 3).Nousrap-
pellons au pr´ealable (section 2) quelques r´esultats et notions que nous utiliserons
ensuite. C’est dans la preuve de 3.1 qu’interviennent les hypoth`eses de r´egularit´e
et d’´egale caract´eristique z´ero. On utilise ensuite l’existence de r´eductions jointes
et des techniques de bases standards (dans le sens de Grauert-Hironaka [A-H-V],
[H]) et de variations de diagrammes des exposants initiaux telles que d´evelopp´ees
par Bierstone-Milman [B-M] pour montrer que les polynˆomes caract´eristiques en
question varient de fac¸on agr´eable lorsque H d´ecrit un ouvert de Zariski conve-
nable de la Grassmanienne. Ceci est expos´e `a la section 4) et permet d’obtenir
le premier point de 1.1. La majoration de la multiplicit´e e(I) est obtenue ensuite
comme cons´equence de cela et d’une g´en´eralisation de la loi d’associativit´e pour
les multiplicit´es que l’on peut trouver dans le livre de D.G. Northcott [N] (Nous
ignorons si ce r´esultat lui est duˆ). Nous d´ecrivons ensuite certains cas d’´egalit´e
dans l’in´egalit´e 2) `a la section 5).
2 Rappels et notations
2.1 L’algorithme de division formelle de Grauert-Hironaka
Soit α = (α ,...,α )∈ Nn, on notera : |α| = α +···+α . Nn est totalement
1 n 1 n
ordonn´e par l’ordre lexicographique sur les n+1 upplets (|α|,α ,...,α ). Si A
1 n
est un anneau commutatif unitaire int`egre, et f un ´el´ement non nul de A[[X]] =
A[[X ,...,X ]], nous noterons par ν(f) son exposant initial. C’est `a dire si :
1 n
f = a .Xα, Supp(f)={α ∈ Nn|a 6= 0}, ν(f)= Min{α ∈ Nn|a 6= 0}.
X α α α
α∈Nn
De mˆeme, on notera Init(f) le coefficient du monoˆme initial de f i.e. Init(f) =
a . Pour un id´eal, I ⊂ A[[X]], on notera △ le diagramme des exposants
ν(f) I
initiaux de I, i.e. :
△ = {α ∈ Nn|∃g ∈ I tel que ν(g) = α}.
I
On a : △ + Nn = △ . Si N ⊂ Nn satisfait N + Nn = N (i.e. est stable par
I I
translation), le lemme de Dickson nous assure de l’existence d’une unique partie
3
finie de Nn, {α1,...,αp}, telle que :
N = ∪ (αi+Nn) et αj ∈/ ∪ (αi+Nn)
1≤i≤p i6=j
Les αi sont dits les sommets deN. L’ensembleD(n) desparties deNn stables par
translation (i.e. satisfaisant N +Nn = N) est totalement ordonn´e comme suit.
Soient N ,N ∈ D(n). Pour chaque i = 1,2, soient βk, k = 1,...,t les sommets
1 2 i i
de N index´es dans l’ordre croissant. Apr`es avoir ´eventuellement permut´e N
i 1
et N , il existe t ∈ N tel que : βk = βk, 1 ≤ k ≤ t et (1) t = t = t , ou
2 1 2 1 2
bien (2) t > t = t , ou bien (3) t ,t > t et β1 < β2 . Dans le cas (1),
1 2 1 2 t+1 t+1
N = N .Dans lescas (2) et(3), N <N .Ilrevientau mˆemededirequelasuite
1 2 1 2
(β1,...,βt1,∞,...) est strictement plus petite que la suite (β1,...,βt2,∞,...)
1 1 2 2
pour l’ordre lexicographique, avec la convention β < ∞ pour tout β ∈ Nn.
Si β1,...,βt ∈ Nn, on leur associe la partition suivante de Nn :
△ = ∪ (βi+Nn), △ = Nn−△, △ = (βi+Nn)−∪ (βk +Nn)
1≤i≤t i k<i
Ainsi Nn est l’union disjointe : △ ∪ △ = (∪ △ ) ∪ △. Nous utiliserons le
1≤i≤t i
r´esultat suivant.
Th´eor`eme 2.1 (Le th´eor`eme de division formelle de Grauert-Hironaka [A-H-
V], [B-M], [G])
Soient A un anneau (commutatutif unitaire) int`egre et F ,...,F des ´el´ements
1 t
non nuls de A[[X ,...,X ]]. Notons βi = ν(F ) l’exposant initial de F , a =
1 n i i i
Init(F ) le coefficient du monoˆme initial de F . Soit S la partie multiplicativement
i i
ferm´ee de A engendr´ee par les a i.e. S = {am1,...,amt, m ∈ N}. Alors tout
i 1 t i
´el´ement F de A[[X]] (ou de S−1.A[[X]]) peut s’´ecrire de mani`ere unique sous la
forme :
F = D F +R, D ,R ∈ S−1.A[[X]]
X i i i
1≤i≤t
avec Supp(R) ⊂ △ et Supp(D )+β ⊂ △ , ou` les △ et △ sont d´efinis comme
i i i i
ci-dessus.
2.2 Brefs rappels sur la fonction asymptotique de Samuel et les
valuations de Rees
Soient (A,m ,k) un anneau local noetherien int`egre et I un id´eal de A.
A
Comme nous l’avons rappel´e plus haut la fonction asymptotique de Samuel rela-
tivement `a I est d´efinie par :
ord (xk)
I
∀x∈ A, v (x) = Lim .
I k→+∞
k
4
Nous rappelons ici tr`es bri`evement comment se calcule v `a l’aide de valuations
I
discr`etes de rang 1 positives sur A. Pour de plus amples compl´ements nous ren-
voyons `a [H-S] chap.6 et 10. Par la terminologie «v une valuation discr`ete de
rang 1 positive sur A »nous entendrons la donn´ee d’une valuation v associ´ee `a
un anneau de valuation discr`ete de rang 1, A , entre A et son corps des fractions
v
K = Frac(A) (i.e. A ⊂ A ⊂ K) tel que m ∩ A = m . D´esignons par Λ
v v A A
l’ensemble des telles valuations. Alors :
v(x) v(x)
∀x∈ A, v (x) = Inf = Min
I v∈ΛAv(I) v∈ΛAv(I)
De plus, il existe un ensemble R fini non redondant de telles valuations, unique
I
`a l’´equivalence pr`es des valuations, telles que :
v(x)
∀x∈ A, v (x) =Min
I v∈RI v(I)
Ces valuations particuli`eres sont appel´ees l’ensemble des valuations de Rees de I.
Diverses constructions desvaluations deRees deI sontexpos´ees dans[H-S] chap.
10. Un point de vue plus g´eom´etrique dans le cadre de la g´eom´etrie analytique
complexe est dans [L-T]. En particulier [L-T], si A = O est la fibre en x du
X,x
faisceau structural d’un espace analytique complexe X et I = (f ,...,f ) est un
1 d
id´eal m -primaire, le nombre v (m )−1 est le plus petit nombre r´eel positif α
X,x I X,x
tel qu’ il existe un voisinage de V de x dans X et une constante C tels que :
x
d
∀z ∈ V , |f (z)| ≥ C||z−x||α,
x X i
i=1
ou` || || d´esigne unenorme arbitraire sur Cn dans lequel on a plong´e (X,x). Ceci
est un cas particulier d’in´egalit´es de L ojasiewicz. Pour cette raison et dans un
contexte g´en´eral nous appellerons le nombre v (m )−1 l’exposant de L ojasiewicz
I A
de I.
3 Polynˆomes caract´eristiques et calcul de la fonction
asymptotique de Samuel
Soit (A,m)unanneaulocal r´egulier d’´egale caract´eristique z´ero, dedimension
n. Soit I un id´eal m-primaire et g un ´el´ement de A. Nous cherchons un proc´ed´e
qui permet de calculer v (g) sans recours `a la description des valuations de Rees,
I
en particulier sans recours `a l’´eclatement normalis´e de centre I (i.e. sans recours
5
`a la clˆoture int´egrale de l’alg`ebre de Rees de I). Nous allons voir que pour tout
g ∈ A, il y a une relation de d´ependance int´egrale de degr´e e(I), canonique, qui
calcule v (g). Soit Aˆ le compl´et´e pour la topologie m-adique de A. Par fid`ele
I
platitude Ip.Aˆ∩A= Ip. Il en d´ecoule alors que pour tout g ∈ A, v (g) = v (g).
I I.Aˆ
OnpeutdoncsupposerqueAestcompletetdoncparleth´eor`eme destructurede
Cohen supposer que A est isomorphe `a k[[X ,...,X ]] ou` k ≃ A/m. Supposons
1 n
dans un premier temps que I = (f ,...,f ) est engendr´e par une suite r´eguli`ere.
1 n
La construction de base est alors la suivante. Notons F∗ le morphisme de A =
1
k[[U ,...,U ]] dans A = k[[X ,...,X ]] d´efini par U −→ f (X). Le morphisme
1 n 2 1 n i i
F∗ est quasi-fini car dim (A /m .A ) < +∞, il est donc fini par le th´eor`eme de
k 2 1 2
pr´eparation formelc.f.[La] chap.8.Ilen r´esulte aussitˆotqu’ilest injectif,puisque
A est entier sur A /Ker(F∗), ces deux anneaux ont donc la mˆeme dimension et
2 1
par suite Ker(F∗) = 0. Maintenant le crit`ere local de platitude (c.f. [M]), nous
assure que A est un A module plat de type fini car (f ,...,f ) est une suite
2 1 1 n
r´eguli`ere de A . Par cons´equent les anneaux ´etant locaux, A est un A -module
2 2 1
libre de type fini, et son rang n’est autre que dimk(A2/m1.A2) = dimk(A2/I) =
e(I),puisqueA estdeCohen-Macauley. Sig estun´el´ement deA ,l’op´erateur de
2 2
multiplication par g, m : A −→ A a donc un polynˆome caract´eristique comme
g 2 2
´el´ement de End (A ). Notons P (Y,U) ∈ A [Y] ce polynˆome caract´eristique :
A1 2 g 1
e(I)
P (Y,U) = Ye(I)+ a (U ,...,U )Ye(I)−i ∈ A [Y].
g X i 1 n 1
k=1
Clairement,parleth´eor`eme d’Hamilton-Cayley ona:P (g,f ,...,f )= 0.Cette
g 1 n
relation de d´ependance int´egrale particuli`ere calcule toujours v (g). On a en effet
I
le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 3.1
Soient I = (f ,...,f ) ⊂ A et g ∈ A comme ci-dessus, et P (Y,U) ∈ A [Y]
1 n 2 2 g 1
son polynoˆme caract´eristique. Posons :
p Ord a (U)
α= = Min ( U i ), ou` ord a= Max{k ∈ N/a∈ (U)k}
1≤i≤e(I) U
q i
Alors : v (g) = α = p.
I q
Preuve :
Nous constatons d’abord que v (g) ≥ p. Notons K = Frac(A ). En effet, soit v
I q 2 2
6
une valuation discr`ete K −→ Z positive sur A de rang 1. Puisque :
2 2
e(I)
ge(I) + a (f ,...,f )ge(I)−i = 0.
X i 1 n
i=1
On a :
(∗) e(I)v(g) ≥ Min (v(a (f ,...,f ))+(e(I)−i)v(g)).
1≤i≤e(I) i 1 n
Soit i r´ealisant le minimum dans le membre de droite de cette in´egalit´e. Par
0
d´efinitionona:ord a (U) ≥ i p.Doncord a (f ,...,f ) ≥ i p.Parcons´equent:
(U) i0 0q I i0 1 n oq
v(a (f ,...,f )) ≥ i pv(I). Il vient ainsi simplifiant l’in´egalit´e (∗) par (e(I)−
i0 1 n 0q
i )v(g) : i v(g) ≥ i .p.v(I), ou` encore v(g) ≥ p.v(I). D’ou` l’on d´eduit que
0 0 0 q q
v (g) ≥ p, puisque v (g) se calcule comme le minimum des v(g)/v(I) lorsque
I q I
v parcourt l’ensemble des valuations de Rees de I. Supposons maintenant que
l’in´egalit´e v (g) ≥ p soit stricte i.e. v (g) > p. Nous allons voir que l’on abou-
I q I q
tit a` une contradiction. Remarquons que pour cela, on peut supposer que k est
alg´ebriquement clos. En effet, sinon soit k une clˆoture alg´ebrique de k. Le mor-
phisme k[[X ,...,X ]] −→ k[[X ,...,X ]] ´etant fid`element plat, on a v (g) =
1 n 1 n I
v (g), et de mˆeme les polynˆomes caract´eristiques de g consid´er´e comme
I.k[[X]]
´el´ement dek[[X]]oucomme´el´ement dek[[X]] coincident.Onsupposeradoncque
kestalg´ebriquementclos.SoitK = Frac(A )etnotonstoujoursF∗ :K −→ K
1 1 1 2
le morphisme injectif induit par F∗ : A −→ A . Comme A est un A -module
1 2 2 1
libre de type fini, on a facilement que pour tout b ∈ A − (0), 1/b ∈ K .A
2 1 2
et donc K est une extension alg´ebrique finie de K et [K : K ] = e(I).
2 1 2 1
Comme l’on a suppos´e que A ´etait d’´egale caract´eristique z´ero, cette extension
est s´eparable et quitte `a faire un changement de variables lin´eaires sur les X ,
i
par le th´eor`eme de l’´el´ement primitif on peut supposer que cette extension est
engendr´ee par X i.e. K = K (X ). Maintenant soit p′ tel que v (g) > p′ > p.
1 2 1 1 q′ I q′ q
Puisque v (g) = Lim ordI(gm), il existerait m tel que pour m ≥ m on ait
I m→∞ m 0 0
ord (gm) ≥ mp′. D´esignant par [ ] la partie enti`ere sup´erieure, on aurait donc
I q′
′
gm ∈ I[mpq′]. Par suite pour tout arc ϕ∗ : k[[X1,...,Xn]] −→ k[[t]], on aurait :
p′
m.ord (ϕ∗(g)) ≥ [m. ]Min ord (ϕ∗(f ))
t q′ 1≤i≤n t i
et donc :
p′ p
(•) ord (ϕ∗(g)) ≥ Min ord (ϕ∗(f )) > Min ord (ϕ∗(f )).
t q′ 1≤i≤n t i q 1≤i≤n t i
7
Nousallonsconstruireunarcϕ∗ quinesatisfaitpascettein´egalit´e etobtenirainsi
une contradiction, ce qui prouvera v (g) = p. Pour cela, notons P le polynˆome
I q
minimal de X sur K . P est de degr´e e(I) et `a coefficients dans A , i.e. P ∈
1 1 1
A [Y]. On notera ∆ ∈ k[[U ,...,U ]] son discriminant (qui est non nul puisque
1 1 n
l’extension est s´eparable). Notons D le produit :
D = ∆.Π a ∈ k[[U ,...,U ]]
1≤i≤e(I) i 1 n
ou` les a sont les coefficients du polynˆome caract´eristique de g comme d´efini ci-
i
dessus. Consid´erons alors In(D) ∈ k[U ,...,U ] la forme initiale de D, c’est `a
1 n
direlepolynˆomehomog`ene deplusbasdegr´edansled´eveloppement ensommede
polynˆomes homog`enes deD. In(D)est le produitdes formes initiales des a et de
i
celle de∆.Puis choisissons unpoint(b ,...,b ) ∈kn tel queIn(D)(b ,...,b )6=
1 n 1 n
0 et b 6= 0, 1 ≤ i ≤ n. On consid`ere alors l’id´eal a de A engendr´e par (b f −
i 2 1 2
b f ,b f −b f ...,b f −b f ). Puisquele morphismeF∗ : A −→ A est entier
2 1 1 3 3 1 1 n n 1 1 2
on a haut(a) = n − 1 par les th´eor`emes de Cohen-Seidenberg. Soit p un id´eal
premier minimal de hauteur n − 1 parmi ceux contenant a, soit B la clˆoture
int´egrale de k[[X]]/p et Bˆ son compl´et´e. Alors par le th´eor`eme de structure de
Cohen Bˆ est isomorphe `a k[[t]]. On a donc un morphisme non nul (un arc) ϕ1∗ :
ϕ1∗ :k[[X]] −→ k[[X]]/p −→ B −→ k[[t]]
dont le noyau est p. Posons ϕ1 = ϕ1∗(X )∈ k[[t]]. Par construction : b ϕ1∗(f )−
i i 1 l
b ϕ1∗(f ) = 0 et ϕ1∗(f ) 6= 0 (car b 6= 0 pour tout i et ker(ϕ1∗) = p). Posons
l 1 1 i
u(t) = ϕ1∗(f )/b . On a donc :
1 1
f (ϕ1(t),...,ϕ1(t)) = b .u(t), 1 ≤ l ≤ n.
l 1 n l
Notant α , 1 ≤ j ≤ e(I) les coefficients du polynˆome minimal P de X sur K .
j 1 1
On a :
ϕ1(t)e(I)+ α (b .u(t),...,b .u(t)).ϕ1(t)e(I)−i = 0
1 X j 1 n 1
1≤j≤e(I)
Regardons l’´equation :
e(I) e(I)−i
P(t,X ) = X + α (b .u(t),...,b .u(t)).X = 0
1 1 X i 1 n 1
1≤i≤e(I)
commeune´equation`acoefficientsdanslecorpsdess´eriesdepuiseux∪ k((t1/m))
m≥1
qui est alg´ebriquement clos. ϕ1 en est une racine, le discriminant de ce polynˆome
1
8
vaut ∆(b .u(t),...,b .u(t)) et comme (b ,...,b ) n’est pas un z´ero de la forme
1 n 1 n
initiale de △ on a :
ord ∆(b .u(t),...,b .u(t)) = ord (∆(U)).ord (u(t))
t 1 n U t
Ainsi notre polynˆome P(t,X ) a e(I) racines distinctes dans ∪ k((t1/m)).
1 m≥1
Celles-ci sont toutes dans k((t1/m)) pour m convenablement choisi (assez grand).
Notonsϕ1,...,ϕe(I) cesracinesdistinctes.Ellessontenfaitdansk[[t1/m]]puisque
1 1
´el´ements de k((t1/m)) et enti`eres sur k[[t]] donc sur k[[t1/m]]. Un changement
d’uniformisante t −→ t1/m nous donne donc e(I) ´el´ements distincts dans k[[t]],
que nous noterons encore ϕ1,...,ϕe(I), tels qu’en posant v(t) = u(tm) on ait :
1 1
ϕj(t)e(I) + α (b .v(t),...,b .v(t)).ϕj(t)e(I)−i = 0, 1 ≤ j ≤ e(I)
1 X i 1 n 1
1≤i≤m
Maintenant puisque K = K (X ), on peut ´ecrire dans K pour s ≥ 2 :
2 1 1 2
e(I)−1
X = βs .Xm, βs ∈ K
s X m 1 m 1
m=0
Classiquement (c.f. par exemple [To] Th 7.5 p. 25), on voit que les βs sont dans
m
(A ) ou` (∆) d´esigne la partie multiplicativement ferm´ee {1,∆,∆2,...}. On
1 (∆)
pose maintenant :
ϕj(t) = βs (b .v(t),...,b .v(t)).ϕj(t)m ∈k((t))
s X m 1 n 1
0≤m≤e(I)−1
j
Puisque X est entier sur A (et non pas simplement sur K ) alors ϕ (t) est
s 1 1 s
´el´ement de k((t)) et entier sur k[[t]], il est donc ´el´ement de k[[t]]. Maintenant, on
pose pour tout j, 1 ≤ j ≤ e(I) :
ϕj(t) = (ϕj(t),...,ϕj(t)) ∈ k[[t]]n.
1 n
Par construction mˆeme on a :
f (ϕj(t)) = b .v(t), 1 ≤ l ≤ e(I)
l l
et ϕj 6= ϕj′ si j 6= j′. Nous allons voir que chacun des arcs ϕ∗j : k[[X]] −→ k[[t]]
et en particulier ϕ1∗ nous fournit une contradiction avec (•). En effet, puisque
(b ,...,b ) n’annule pas les z´eros de la forme initiale des a , on a :
1 n i
(1) ord a (f (ϕj(t)),...,f (ϕj(t))) = ord a (b .v(t),...,b v(t))
t i 1 n t i 1 n
(2) = ord a (U ,...,U )ord v(t) = ord a (U ,...,U )Min ordϕj∗(f )
U i 1 n t U i 1 n 1≤l≤n l
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Puisque g(ϕ1(t)) est racine de :
Ye(I)+ a (b .v(t),...,b v(t))Ye(I)−i = 0
X i 1 n
1≤i≤m
et que les autres racines sont les g(ϕj(t)). On a aux signes pr`es :
a (f (ϕ1(t),...,f (ϕ1(t)) = g(ϕj1(t))...g(ϕji(t)).
i 1 1 n n X
1≤j1<j2...ji≤e(I)
Maintenant par (•) on a :
p
ord ( g(ϕj1(t))...g(ϕji(t)) > i. Min ord ϕ1∗(f )
t X q 1≤l≤n t l
1≤j1<j2...ji≤e(I)
Donc comparant avec (1),(2) on obtient :
p
∀i, ord (a (U ,...,U ))Min ord (ϕ1∗(f )) >i Min ord (ϕ∗1(f ).
U i 1 n 1≤l≤n t l 1≤l≤n t l
q
Ce qui est contradictoire avec la d´efinition de p. (cid:3)
q
Corollaire 3.2
Soient (A,m) un anneau local r´egulier d’´egale caract´eristique z´ero de dimension
n et I un id´eal m-primaire alors tout ´el´ement x de I satisfait une relation de
d´ependance int´egrale sur I de degr´e e(I) ou` e(I) d´esigne la multiplicit´e de Samuel
de I.
Preuve :
D’apr`es les r´esultats de [N-R], on peut trouver f ,...,f ∈ I tels que f ,...,f
1 n 1 n
soit une suite r´eguli`ere de A et J = (f ,...,f ) une r´eduction minimale de I.
1 n
On a alors I = J. Soit x ∈ I = J. Si Aˆ d´esigne le compl´et´e m-adique de A, on
a e(I) = e(I.Aˆ) = e(J) = e(J.Aˆ). D’apr`es le r´esultat pr´ec´edent, x satisfait une
relation de d´ependance int´egrale de degr´e e(I) sur J.Aˆ et donc `a fortiori sur I.Aˆ.
En proc´edant comme dans [H-I-O] lemme 4.11 p.19 ceci implique que :
(I.Aˆ+x.Aˆ)e(I) = I.Aˆ.(I.Aˆ+x.Aˆ)e(I)−1
Comme Aˆ est fid´element plat sur A, on a :
(I.Aˆ+x.Aˆ)e(I)∩A = (I+x.A)e(I) et I.Aˆ.(I.Aˆ+x.Aˆ)e(I)−1∩A= I.(I+x.A)e(I)−1
Par suite : (I +x.A)e(I) = I.(I +x.A)e(I)−1 et ceci implique que x satisfait une
relation de d´ependance int´egrale de degr´e e(I) sur I toujours en reprenant la
preuve de 4.11 de [H-I-O]. (cid:3)
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