flujo del agua subterranea

591 Pages·2014·14.13 MB·Spanish

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XV DIPLOMADO INTERNACIONAL
SOBRE CONTAMINACIÓN Y
RESTAURACIÓN DE SUELOS Y
ACUIFEROS
Del 8 al12 de Septiembre
MODULOIII
MODELOS MATEMÁTICOS EN
GEOHIDROLOGIA Y CONTAMINACIÓN
DE ACUIFEROS
TEMA
MODELOS DE FLUJO
EXPOSITOR: DR. ADOLFO CHAVEZ RODRIGUEZ
PALACIO DE MINERÍA
SEPTIEMBRE DEL 2003.
Palacio de Minería, Calle de Tacuba No. 5, Primer piso, Delegación Cuauhtémoc, CP 06000, Centro Histórico, México D.F.,
APDD Postal M·2285 • Tels· 5521.4021 ol24, 5623 2910 y 5623 2971 • Fax: [phone] ·
CONTENIDO
l. LA MODELACION DE SISTEMAS ACUÍFEROS ....................................... .
1.1. Protocolo de Modelación ........................................................................ .
1.2. Los Modelos y su Complejidad ............................................................... .
1.3. Procedimientos de Calibración .............................................................. .
1.4. Parametrización ................................................................................. .
1.5. Estimación Previa de los Parámetros de Acuífero ..................................... .
1.6. El Problema de Escala ................................................... _. .................... .
1.7. Condiciones de Frontera ...................................................................... .
1.7.1. Carga prescrita ............................................................................ .
1. 7.2. Flujo prescrito ............................................................................. .
1. 7.3. Flujo dependiente de la carga ........................................................ .
1.8. Condiciones Iniciales .......................................................................... .
1.9. Errores de los Datos Piezométricos ........................................................ .
1. 9.1. Error de medición ........................................................................ .
1.9.2. Efectos transitorios ...................................................................... .
1.9.3. Efectos de escala ........................................................................ .
1.9.4. Error de interpolación ................................................................... .
1. 9.5. Error de interpretación .................................................................. .
1.1 O. Generales de Calibración .................................................................. .
1.11. Evaluación de la Calibración ............................................................... .
1.11.1. Medidas tradicionales de la calibración ............................................ .
1.11.2. Distribución espacial del error ........................................................ .
1.11.3. Comparación entre el balance del campo y el del modelo ....... : ............ .
11. GUÍAS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS NUMÉRICOS............... 23
2.1. Modelo Conceptual... . . . . . . .. .. . .. . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . .. .. 23
2.2. Condiciones Iniciales y de Frontera ......................................................... 24
2.3. Estimación Previa de los Parámetros....................................................... 26
2.4. Consideraciones de Tipo Numérico ......................................................... 28
2.5. Criterios de Evaluación de la Calibración .................................................. 29
2.6. Análisis de Sensibilidad en Calibración .................................................... 31
2.7. Verificación del Modelo ........................................................................ 31
2.8. Simulaciones Predictivas...... .. . . . . . . . ... .................. .. . . . . . .. .. . . . . . .. . . . . . . .. . . .. . . . . 33
REFERENCIAS .......................................................................................... 34
ii
l. LA MODELACION APLICADA DE SISTEMAS ACUÍFEROS
Para la construcción de modelos numéricos de simulación y, en especial para los
modelos hidrodinámicos, se dispone de un PROTOCOLO, el cual se presenta de
manera completa y detallada en el libro APPLIED GROUNDWATER MODELING,
de Anderson y Woessner [1992]. En estos apuntes se destacan los puntos más
importantes de este PROTOCOLO, y se añaden criterios y consideraciones
complementarios, que son de especial relevancia para la construcción y evalua
ción de los modelos matemáticos de simulación.
1.1. Protocolo de Modelación.
De manera concisa, las etapas en la construcción de un modelo numérico de
acuerdo con el PROTOCOLO mencionado, son las siguientes:
1. Propósito del modelo.
2. Desarrollo de un modelo conceptual del sistema.
3. Selección de la ecuación gobernante y del código de computadora.
4. Diseño del modelo.
5. Calibración del modelo.
6. Análisis de sensibilidad en calibración.
7. Verificación del modelo.
8. Predicción.
9. Análisis de sensibilidad en predicción.
10. Presentación del diseño del modelo y sus resultados.
11. Auditoría del modelo.
12. Rediseño del modelo.
La auditoría del modelo, de cuyos resultados se deriva la posible decisión
de rediseñarlo, se realiza algunos años después de la terminación del estudio de
modelación o punto 10 del PROTOCOLO; por tal razón, los puntos 11 y 12 del
mismo no serán mayormente discutidos en estos apuntes.
1
1.2. Los Modelos y su Complejidad
Todo modelo de simulación es, por definición, una representación simplificada del
sistema real. En la modelación aplicada no sólo la correcta conceptualización de
los procesos tiene valor, sino también la interpretación y el uso adecuados de los
siempre escasos e inciertos datos de campo. En palabras de Anderson y
Woessner [1992, p.28]: "En teoría, mientras el modelo conceptual más se
aproxime a la situación de campo más preciso será el modelo numérico. Sin
embargo, en la práctica es deseable actuar con parsimonia, lo cual implica que el
modelo conceptual se ha simplificado lo más posible, pero que se ha mantenido la
complejidad suficiente para reproducir adecuadamente el comportamiento del
sistema".
Está empíricamente demostrado que a una mayor complejidad del modelo
no corresponde necesariamente una mejor reproducción del comportamiento del
sistema; se tienen ejemplos de modelos más simples que logran mejores predic
ciones que modelos más complejos [Freyberg, 1988]. El definir el grado de com
plejidad adecuado en un modelo específico es uno de los problemas· más críticos
de la modelación aplicada, donde la experiencia práctica del analista juega un
papel muy importante.
Una vez que un modelo conceptual preliminar del funcionamiento hidro
geológico ha sido propuesto, la calibración viene a ser la etapa más importante en
la construcción de un modelo de simulación [de Marsily, 1981). En consecuencia,
es conveniente detenernos a analizar este aspecto.
1.3. Procedimientos de Calibración.
La calibración consiste en obtener un conjunto de valores de los parámetros del
modelo (donde se incluye a las propiedades de acuífero, los términos fuente
resumidero, las condiciones de frontera, y en ocasiones las condiciones iniciales),
que consiguen que el modelo reproduzca, dentro de un error aceptable, los
valores de calibración. En un modelo hidrodinámico, las cargas hidráulicas
medidas son siempre valores de calibración, aunque cabe la posibilidad de utilizar
también flujos medidos.
2
A la calibración de un modelo se le conoce también como problema inverso,
o problema de estimación de los parámetros del modelo. Existen dos procedi
mientos generales para calibrar un modelo: (1) ajuste manual por ensayo y error,
y (2) estimación automatizada de parámetros.
Aunque la calibración por ensayo y error ha sido la más utilizada hasta
ahora, se reconoce ampliamente que este procedimiento es muy subjetivo y
conducente a resultados cuya calidad es difícil de evaluar [Carrera and Neuman,
1986"]. Este tipo de calibración no cuantifica la incertidumbre de los parámetros
estimados ni la confiabilidad de las predicciones.
En contraste, el uso de la calibración automatizada impone un marco de
referencia para el diseño de una estrategia de calibración, y para el análisis y
evaluación de los resultados de la misma. Con este tipo de calibración el
problema inverso se plantea en un marco estadístico, como puede ser la regresióiJ
no lineal. Un procedimiento automatizado calcula directamente la sensibilidad dE;l_l
• '•J,"'
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modelo hacia sus parámetros, la desviación estándar. de los parámetros y la
correlación entre,.los mismos, a más de la desviación estándar de la predicción.
Esta informaciómpermite determinar si los parámetros del modelo y las predi~~
cienes fueron calculados de manera confiable con los datos disponibles, y qué
datos adicionales son requeridos para mejorar el modelo [Poeter and Hill, 1997].
Esto es, los códigos de calibración automatizada, además de proporcionar
valores optimados de los parámetros del modelo, cuantifican su precisión de
estimación y permiten identificar situaciones donde dos o más parámetros sufren
de efectos compensatorios. Este tipo de efectos es muy común en problemas
hidrogeológicos complejos y su existencia difícilmente puede ser detectada
cuando se calibra por ensayo y error. Además, el análisis de las propiedades
estocásticas de los estimadores orienta en la construcción general del modelo, en
particular, proporciona información que ayuda a establecer una parametrización
apropiada de las propiedades de acuífero y permite identificar zonas del acuífero
donde sea necesario o conveniente recabar datos de campo adicionales.
Poeter and Hill [1997] consideraron que un obstáculo mayor para el uso
extendido de la calibración automatizada es precisamente la falta de información
3
acerca de los requerimientos y los beneficios de este procedimiento de calibración,
y enfatizaron que no se requiere de datos adicionales para emprender la calibra
ción automatizada, es decir, que si uno está preparado para emprender un pro
yecto de calibración, entonces está preparado para incluir la modelación inversa
en esa calibración.
Los beneficios de la calibración automatizada, en comparación con la
calibración por ensayo y error, ya se comentaron brevemente en párrafos anterio
res, pero hay que añadir que otra razón por la cual el uso de la calibración
automatizada no se ha extendido todavía, es porque la aparición de procesadores
de datos para los códigos de modelación inversa es relativamente reciente, y
porque se requiere de conocimientos de probabilidad y de estadística para la
aplicación de los códigos inversos y para la correcta interpretación de sus
resultados.
Independientemente del procedimiento de calibración que se adopte, por lo
general el problema inverso sufre de falta de unicidad o de inestabilidad en su
solución, pero se ha demostrado que la incorporación de información previa·
acerca de los parámetros del modelo permite en muchos casos ·controlar, esta
situación:
La gran mayoría de los modelos matemáticos que hasta la fecha se han
construido se han calibrado por ensayo y error y, por este motivo, las medidas de
evaluación de la calibración que aquí se mencionan se refieren principalmente a
este procedimiento de calibración, sin embargo, estos criterios también son
pertinentes cuando se recurre a la calibración automatizada.
Un problema estrechamente relacionado con la calibración es el que se
refiere a la "parametrización" de las propiedades de acuífero, lo cual se comentará
a continuación.
1.4. Parametrización.
En acuíferos heterogéneos la dimensión del espacio de los parámetros es
teóricamente infinita, pero en la práctica las ecuaciones de flujo y de transporte se
resuelven por computadora utilizando métodos de discretización espacial, como
4
son las diferencias finitas o el elemento finito [Yeh, 1986]. Al aplicar estos
métodos numéricos, las propiedades del material se representan por parámetros
que permanecen constantes en zonas discretas del campo de flujo o que varían
lentamente en el espacio. En cualquier caso, la rapidez de la variabilidad espacial
permitida por el modelo numérico es mucho más lenta que la rapidez a la cual las
propiedades del material fluctúan en la naturaleza; así, los parámetros del modelo
se deben visualizar, a lo más, como valores promedio en el espacio de las
propiedades del material que representan [Neuman, 1984].
A la reducción del número de parámetros desde su dimensión infinita a una
forma dimensional finita se le conoce como "parametrización". La parametrización
tiene especial relevancia en la calibración del modelo, ya que uno de los princi
pales tipos de error en la calibración es aquél que se asocia con la incertidumbre
de los parámetros. Como lo señaló Yeh [1986], un incremento en la dimensiona
lidad de un parámetro (el número de parámetros desconocidos asociados con)~
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parametrización)'.mejorará por lo general el ajuste de c~ljbración, pero incremen
tará la incertidumbre de estimación de los parámetros; y ,viceversa. Esto es, en la
--,:~...­-.
práctica es necesario .limitar el número de parámetros a estimar (simplificar ·.~1
problema) que intervienen en un modelo numérico.
Hill et al. [1998) consideraron que el problema más importante en la
modelación de sistemas hidrogeológicos complejos, es la obtención de modelos
manejables que sean lo suficientemente representativos del sistema real como
para producir resultados útiles, y argumentaron que la simplificación relacionada
con la parametrización se presenta como la única opción potencialmente útil para
lograr este propósito.
Los dos esquemas más utilizados de parametrización son "zonificación" e
"interpolación". En la zonificación el parámetro tiene un valor constante en zonas
o subregiones del modelo que se extienden sobre un cierto número de celdas de
la malla; mientras que en la interpolación el valor de la propiedad de· acuífero
puede variar de celda a celda, pero el número de parámetros a estimar se limita
únicamente a los valores de la propiedad en los nodos de la red de interpolación.
5
Una manera conveniente de instrumentar la parametrización por interpolación es
mediante "elementos finitos triangulares" [v.g. Hill et al., 1998].
La parametrización por interpolación es elegible en muchas situaciones,
pero con este esquema el proceso de calibración por ensayo y error se torna más
lento que cuando se recurre a zonificación, ya que los paquetes de simulación
más comunes no incluyen un módulo de interpolación para los parámetros distri
buidos del modelo (v.g., la interfaz gráfica del usuario VISUAL MODFLOW sólo
interpola condiciones de frontera) y, por lo tanto, es necesario elaborar un
programa externo que se ejecute después de cada corrida de calibración para
actualizar a criterio del analista los valores nodales del parámetro. En contraste,
los códigos de calibración automatizada (v.g. MODFLOWP [Hill, 1992]) permiten
instrumentar con la misma facilidad ambos tipos de esquemas de parametrización.
Cualquiera que sea el esquema de parametrización que se adopte, es
·importante que el número de parámetros a estimar se mantenga al mínimo nece
sario para lograr una reproducción adecuada del sistema real, ya que como se
mencionó anteriormente, mientras mayor sea el número·de parámetros• a estimar,
mayor será la incertidumbre de estimación de los mismos. La necesidad de
ejercer esta cautela es mayor cuando se calibra por ensayo y error, ya que este
procedimiento no cuantifica, a diferencia de la calibración automatizada, la incerti
dumbre de estimación de los parámetros ni los intervalos de confianza de los
predictores.
1.5. Estimación Previa de los Parámetros de Acuífero.
Los parámetros de un modelo hidrodinámico se pueden dividir en dos clases: (1)
Las propiedades de acuífero: que en un modelo tridimensional son la
conductividad hidráulica, el rendimiento específico, y el almacenamiento especí
fico. Normalmente, se considera que los valores de los parámetros de acuífero
son variables en el espacio pero constantes en el tiempo; sin embargo, en ciertos
casos (v.g. cuando hay compactación de arcillas) las propiedades hidráulicas del
material pueden variar también con el tiempo; y (2) Los esfuerzos actuantes:
donde se incluyen los flujos de recarga y de descarga del acuífero, y las
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