Fluctuations and Energy Balance in Solar and Stellar Dynamos

160 Pages·2009·2.14 MB·English

Fluctuations and Energy Balance
in Solar and Stellar Dynamos
How countless are your works! But they are concealed from sight.
King Akhenaten, Hymn to Aten (c.1370 BC)
CIP-GEGEVENS KONINKLIJKE BIBLIOTHEEK, DEN HAAG
Ossendrijver, Antonius Joannes Hendrikus
Fluctuations and energy balance in solar and stellar dynamos
/ Antonius Joannes Hendrikus Ossendrijver.-
Utrecht: Universiteit Utrecht, Faculteit Natuur- en
Sterrenkunde
Proefschrift Universiteit Utrecht.- Met lit. opg. -
Met samenvatting in het Nederlands.
ISBN 90-393-1345-8
Fluctuations and Energy Balance
in Solar and Stellar Dynamos
Fluctuaties en energiebalans
in zonne- en sterdynamo’s
(Met een samenvatting in het Nederlands)
PROEFSCHRIFT
Ter verkrijging van de graad van doctor aan
de Universiteit Utrecht, op gezag van
de Rector Magnificus Prof. Dr. J. A. van Ginkel,
ingevolge het besluit van het College van
Decanen in het openbaar te verdedigen op
Maandag 9 September 1996 des namiddags te 4:15 uur
DOOR
Antonius Joannes Hendrikus Ossendrijver
geboren op 3 augustus 1967 te Amersfoort
Promotores: Prof. Dr. M. Kuperus
Sterrenkundig Instituut, Universiteit Utrecht
Prof. Dr. H. van Beijeren
Instituut voor Theoretische Fysica, Universiteit Utrecht
Copromotor: Dr. P. Hoyng
Stichting Ruimteonderzoek Nederland
ThisworkwassupportedbytheNetherlandsFoundationforResearchinAstronomy(ASTRON).
mephistopheles. So baut man sich ein m¨aßig Kartenhaus,
Der gr¨oßte Geist baut’s doch nicht v¨ollig aus.
J.W. Goethe, Faust II, Zweiter Akt.
vi
Contents
1 Solar and stellar dynamos 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Solar and stellar activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 The sunspot cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 The magnetic cycle of the Sun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Variability in the solar cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Proxy records of solar activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.5 Stellar activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Dynamo theory of Sun and stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Formulation of the dynamo problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Internal structure and flow fields of the Sun . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Location of the dynamo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4 Kinematic dynamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.5 Mean field electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.5.1 The mean magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.5.2 Mean-field dynamo models of the Sun . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.5.3 Effects of variability in averaging procedures . . . . . . . . . . . 19
1.3.5.4 The mean magnetic energy tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.5.5 Stochastic differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.5.6 Application to the induction equation . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.5.7 Application to the magnetic energy tensor equation . . . . . . . 23
1.3.6 Nonlinear dynamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.7 MHD turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.8 Numerical simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Stochastic and nonlinear fluctuations in a mean field dynamo 29
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Model without α-quenching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Model equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Weak forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2.1 Equations and solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2.2 Statistical properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2.3 Phase-amplitude correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 Dynamo frequency decrease . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Model with α-quenching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
vii
CONTENTS
2.3.2 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3 Weak forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3.1 Linearised equations and solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3.2 Statistical properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.3.3 Phase-amplitude correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.4 Dynamo frequency decrease . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 The sun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 The nonlinear regime without α-fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7 Appendix A: Statistical properties of the phase and amplitude of the toroidal field 49
2.8 Appendix B: Derivation of the dynamo frequency decrease . . . . . . . . . . . . . 51
3 Stochastic excitation and memory of the solar dynamo 53
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Dynamo model and equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Mode excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.2 Decomposition into eigenmodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.3 Phase-amplitude correlation of the fundamental mode . . . . . . . . . . . 61
3.3.4 Excitation of overtones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Application to the solar cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4.1 Phase-amplitude correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4.2 North-South asymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6 Appendix A: Biorthonormal representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.7 Appendix B: Phase-amplitude correlation of the fundamental mode . . . . . . . . 71
3.8 Appendix C: Derivation of r.m.s. mode coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Mean magnetic field and energy balance of Parker’s surface wave dynamo 73
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2 The mean magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.1 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.2 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.4 Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 The mean magnetic energy tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.1 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.2 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.4 Constraints on the parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.5 Marginally stable solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.5.1 Values of the parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.5.2 Properties of the mean magnetic energy tensor . . . . . . . . . . 85
4.3.5.3 Energy balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.5.4 Root mean square magnetic field strength . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.5.5 Implications for the mean magnetic field . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.6 Growing solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
viii
CONTENTS
4.4 Summary and discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5 Appendix A: Dispersion relation for the mean magnetic field . . . . . . . . . . . 93
4.6 Appendix B: Expressions for the mean magnetic energy tensor . . . . . . . . . . 94
4.7 Appendix C: Boundary conditions for the mean magnetic energy tensor . . . . . 96
5 Energy balance and resistive dissipation in Parker’s surface wave dynamo 97
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Mean field dynamo theory and resistive dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3 The mean magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 The mean magnetic energy tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4.1 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4.2 Constraints on the parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4.3 Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4.4 Marginally stable solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4.5 Mean magnetic energy density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4.6 Magnetic energy balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.4.7 Calibration of the r.m.s. magnetic field strength . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.6 Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6 On the cycle periods of stellar dynamos 117
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2 Activity cycle length, rotation period and color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3 Dynamo model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3.1 Geometry and equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3.2 Dynamo parameters of lower main-sequence stars . . . . . . . . . . . . . . 125
6.3.3 Theoretical cycle periods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3.4 The solar calibration model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3.5 Stellar dynamo models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4 Summary and conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7 Fluctuaties en energiebalans in zonne- en sterdynamo’s 131
7.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.2 De zonnevlekkencyclus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.3 De magnetische cyclus van de zon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.4 Variabiliteit in de zonnecyclus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.5 Natuurlijke archieven van zonneactiviteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.6 Magnetische activiteit van sterren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.7 Dynamotheorie van zon en sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.7.1 Dynamowerking in zon en sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.7.2 Gemiddelde-veldentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.7.2.1 Lengtemiddeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.7.2.2 Ensemblemiddeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Referenties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Dankwoord 142
Curriculum vitae 143
ix
CONTENTS
References 145
x