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“fcatalo” — 2007/5/30 — 14:37 — page i — #1 Dooriginal Mathematicalmethodsforphysicists TraduçaõautorizadadaediçaõpublicadaporElsevierInc. Copyright c2005 c2007,ElsevierEditoraLtda. TodososdireitosreservadoseprotegidospelaLei9.610de19/02/1998. Nenhumapartedestelivro,semautorizaçaõpre´viaporescritodaeditora, podera´serreproduzidaoutransmitidasejamquaisforemosmeiosempregados: eletroˆnicos,mecaˆnicos,fotogra´ficos,gravaçaõouquaisqueroutros. ProjetoGra´ficoeEditoraçaõEletroˆnica:MariadoSocorroV.M.deBarros/FranciscaVale´riaF.Gomes RevisaõGra´fica:Mar´ıliaPintodeOliveira/RenatoRosa´rioCarvalho Copidesque:IvoneTeixeira EditoraCampus/Elsevier AQualidadedaInformaçaõ RuaSetedeSetembro,111–160andar 20050-006–RiodeJaneiro–RJ–Brasil Telefone:(21)3970-9300 Fax:(021)2507-1991 E-mail:[email protected] Escrito´rioSaõPaulo: RuaQuintana,753,80andar 04569-011–Brooklin-SaõPaulo-SP Tel.:(11)5105-8555 ISBN10:85-352-2050-X ISBN13:978-85-352-2050-6 Nota:Muitozeloetećnicaforamempregadosnaediçaõdestaobra.Noentanto,podemocorrererrosdedigitaçaõ,impressaõou du´vidaconceitual.Emqualquerdashipo´teses,solicitamosacomunicaçaõa`nossaCentraldeAtendimentos,paraquepossamos esclarecerouencaminharaquestaõ. Nem a editora nem os autores assumem qualquer responsabilidade por eventuais danos ou perdas a pessoas ou bens, originadosdousodestapublicaçaõ. CentraldeAtendimento: Tel.:0800-265340 RuaSetedeSetembro,111,160andar–Centro–RiodeJaneiro e-mail:[email protected] site:www.campus.com.br CIP-Brasil,catalogaçaõ-na-fonte. SindicatoNacionaldosEditoresdeLivros,RJ. A732f Arfken,GeorgeB.(GeorgeBrown),1922. F´ısicamatema´tica:me´todosmatema´ticosparaengenhariaef´ısica/ GeorgeArfkeneHansWeber. traduçaõdeArleteSimilleMarques –RiodeJaneiro:Elsevier,2007. Traduçaõde:Mathematicalmethodsforphysicists,6thed ISBN978-85-352-2050-6 1.F´ısica.2.F´ısica.I.Weber,Hans-Jurgen.II.T´ıtulo. 07-0469. CDD510 CDU51 12.02.07 16.02.07 000480 “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page v — #2 Prefaćio Por seis ediço˜es ate´ agora, Me´todos matema´ticos para f´ısicos forneceu todos os me´todos matema´ticos que os pretendentesa`scarreirasdecientistaseengenheirosprovavelmenteencontraraõcomoestudantesepesquisadores. Ha´ materialmaisdoquesuficienteparaumcursodegraduaçaõoupo´s-graduaçaõdedoissemestres. O livro e´ avançado no sentido de que as relaço˜es matema´ticas quase sempre saõ provadas, ale´m de ilustradas em termos de exemplos. Essas provas naõ saõ o que um matema´tico consideraria como rigorosas, mas daõ um esboçodasideíaseenfatizamasrelaço˜esquesaõessenciaisparaoestudodaf´ısicaecamposrelacionados.Essa abordagem incorpora teoremas que normalmente naõ saõ citados nas abordagens mais gerais, mas se adaptam perfeitamentebema`saplicaço˜esmaisrestritasexigidaspelaf´ısica.Porexemplo,umf´ısiconormalmenteaplicao teoremadeStokesaumasuperf´ıciepartindodoentendimentotaćitodequeelae´ simplesmenteconectada.Neste livro,essassuposiço˜esficammaisexpl´ıcitas. Habilidades para Resolver Problemas O livro tambe´m adota um foco deliberado sobre habilidades para resolver problemas. Esse n´ıvel mais avançado deentendimentoeaprendizadoativoe´ rotineiroemcursosdef´ısicaerequerpra´ticadapartedoleitor.Seguindo esseprinc´ıpio,osconjuntosextensivosdeproblemasapresentadosemcadacap´ıtulofazemparteintegraldolivro. Foramrevisadoseatualizadoscomcuidadoeseunu´meroaumentounestaSextaEdiçaõ. Como o Livro deve ser Usado EstudantesdegraduaçaõteraõmelhoraproveitamentosecomeçaremrevendooCap´ıtulo1deacordocomon´ıvel de treinamento da classe. A Seçaõ 1.2 sobre as propriedades de transformaçaõ de vetores, o produto cruzado e a invariaˆncia do produto escalar sob rotaço˜es pode ser adiada ate´ o in´ıcio da ana´lise tensorial, para a qual essas seço˜es funcionam como uma introduçaõ e servem como exemplos. Podem continuar seus estudos com a´lgebra linearnoCap´ıtulo3eentaõ,talvezpassarparatensoresesimetrias(Cap´ıtulos2e4)e,emseguida,ana´lisereale complexa(Cap´ıtulos5a7),equaço˜esdiferenciais(Cap´ıtulos9e10)efunço˜esespeciais(Cap´ıtulos11a13). Emgeral,onućleodeumcursodegraduaçaõdeumsemestrecompreendeosCap´ıtulos5a10e11a13,que tratamdeana´liserealecomplexa,equaço˜esdiferenciaisefunço˜esespeciais.Dependendodon´ıveldosestudantes emumcurso,pode-seestudarumpoucodea´lgebralinearnoCap´ıtulo3(eigenvalores,porexemplo,),juntamente com simetrias (teoria de grupo no Cap´ıtulo 4). Tensores (Cap´ıtulo 2) podem ser estudados se necessa´rio ou se desejado. A teoria de grupo tambe´m pode ser inclu´ıda com equaço˜es diferenciais (Cap´ıtulos 9 e 10). Relaço˜es adequadasforaminclu´ıdasediscutidasnosCap´ıtulos4e9. Um curso de dois semestres pode abordar tensores, teoria de grupo e funço˜es especiais (Cap´ıtulos 11 a 13) maisextensivamenteeadicionarse´riesdeFourier(Cap´ıtulo14),transformadasintegrais(Cap´ıtulo15),equaço˜es integrais(Cap´ıtulo16)eca´lculodevariaço˜es(Cap´ıtulo17). v “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page vi — #3 vi F´ısicaMatema´tica Arfken Weber • Mudanças na Sexta Ediçaõ Nesta Sexta Ediçaõ foram feitas mudanças em quase todos os cap´ıtulos, acrescentando exemplos e problemas e mais derivaço˜es de resultados. Va´rios erros de ortografia causados pela digitalizaçaõ para o sistema LaTeX, um processosujeitoaerrosa`taxademuitoserrosporpa´ginasforamcorrigidos,juntamentecomerrostaiscomoodas matrizesγ deDiracnoCap´ıtulo3.Algunscap´ıtulosmudaramdelugar.Afunçaõgamaagoraesta´ noCap´ıtulo8, logo apo´s os Cap´ıtulos 6 e 7 sobre funço˜es complexas de uma varia´vel, ja´ que e´ uma aplicaçaõ desses me´todos. Equaço˜es diferenciasagora estaõ nos Cap´ıtulos 9e 10. Foi acrescentado um novo Cap´ıtulo sobreprobabilidade, bem como novas subseço˜es sobre formas diferenciais e equaço˜es de Mathieu atendendo a insistentes pedidos de leitores e estudantes ao longo dos anos. As novas subseço˜es saõ mais avançadas e escritas no estilo conciso do livro, elevando-as assim ao n´ıvel de po´s-graduaçaõ. Foram acrescentados muitos exemplos, por exemplo nos Cap´ıtulos1e2,quecostumamserusadosnaf´ısicaousaõfigurinhascarimbadasemcursosdef´ısica.Foramfeitas va´rias adiço˜es no Cap´ıtulo 3, tais como dependeˆncia linear de vetores, espaços vetoriais duais e decomposiçaõ espectraldematrizessime´tricasouHermitianas.Umasubseçaõsobreaequaçaõdedifusaõda´ destaqueespecial ame´todosparaadaptarsoluço˜esdeequaço˜esdiferenciaisparciaisacondiço˜esdefronteira.Foramdesenvolvidas novas fo´rmulas para polinomiais de Hermite, inclu´ıdas no Cap´ıtulo 13 e u´teis para tratar vibraço˜es moleculares; elassaõdeinteressedof´ısico-qu´ımico. Agradecimentos Contamoscomobenef´ıciodoconselhoedaajudademuitaspessoas.Algumasdasreviso˜esatendemacomenta´rios feitos por leitores e ex-alunos, como o Dr. K. Bodoor e J. Hughes. Nossos agradecimentos e eles e aos editores Barbara Holland e Tom Singer que organizaram os testes de precisaõ. Gostar´ıamos de agradecer em particular ao Dr. Michael Bozoian e ao Prof. Frank Harris por sua inestima´vel ajuda na verificaçaõ de precisaõ e a Simon Crump,EditordeProduçaõporseugerenciamentoespecializadodeSextaEdiçaõ. “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page vii — #4 Suma´rio 1 Ana´liseVetorial 1 1.1 Definiço˜es,AbordagemElementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 RotaçaõdosEixosCoordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 ProdutoEscalarouProdutoInterno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 ProdutodeVetoresouProdutoExterno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 ProdutoEscalarTriplo,ProdutoVetorialTriplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Gradiente, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ∇ 1.7 Divergeˆncia, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ∇ 1.8 Rotacional, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ∇× 1.9 Aplicaço˜esSucessivasde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ∇ 1.10 IntegraçaõVetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.11 TeoremadeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.12 TeoremadeStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.13 TeoriadoPotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.14 LeideGauss,EquaçaõdePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.15 FunçaõDeltadeDirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.16 TeoremadeHelmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2 Ana´liseVetorialemCoordenadasCurvaseTensores 80 2.1 CoordenadasOrtogonaisemR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.2 OperadoresVetoriaisDiferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.3 SistemasdeCoordenadasEspeciais:Introduçaõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.4 CoordenadasCil´ındricasCirculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.5 CoordenadasPolaresEsfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.6 Ana´liseTensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.7 Contraçaõ,ProdutoDireto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 vii “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page viii — #5 viii F´ısicaMatema´tica Arfken Weber • 2.8 RegradoQuociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.9 Pseudotensores,TensoresDuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.10 TensoresGerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.11 OperadoresdeDerivadasdeTensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3 DeterminanteseMatrizes 126 3.1 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.3 MatrizesOrtogonais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.4 Matrizeshermitianas,MatrizesUnita´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3.5 DiagonizaçaõdeMatrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.6 MatrizesNormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4 TeoriadosGrupos 183 4.1 Introduçaõa` TeoriadosGrupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.2 GeradoresdeGruposCont´ınuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 4.3 MomentoAngularOrbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4.4 AcoplamentodeMomentoAngular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 4.5 GrupoHomogeˆneodeLorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 4.6 CovariaˆnciadeLorentzdeEquaço˜esdeMaxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 4.7 GruposDiscretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 4.8 FormasDiferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 5 Se´riesInfinitas 245 5.1 ConceitosFundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 5.2 TestesdeConvergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 5.3 Se´riesAlternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 5.4 A´lgebradeSe´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 5.5 Se´riedeFunço˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 5.6 ExpansaõdeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 5.7 Se´riedePoteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 5.8 IntegraisEl´ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 5.9 Nu´merosdeBernoullieFo´rmuladeEuler-Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 5.10 Se´riesAssinto´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 5.11 ProdutosInfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page ix — #6 SUMA´RIO ix 6 Funço˜esdeumaVaria´velComplexaI 305 6.1 A´lgebraComplexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 6.2 Condiço˜esdeCauchy-Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 6.3 TeoremaIntegraldeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 6.4 Fo´rmulaIntegraldeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 6.5 ExpansaõdeLaurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 6.6 Singularidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 6.7 Mapeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 6.8 MapeamentoConformal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 7 Funço˜esdeumaVaria´velComplexaII 345 7.1 Ca´lculodeRes´ıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 7.2 Relaço˜esdeDispersaõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 7.3 Me´tododasInclinaço˜esmaisAcentuadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 8 AFunçaõGama(FunçaõFatorial) 377 8.1 Definiço˜es,PropriedadesSimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 8.2 Funço˜esDigamaePoligama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 8.3 Se´riedeStirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 8.4 AFunçaõBeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 8.5 Funço˜esGamaIncompletaseFunço˜esRelacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 9 Equaço˜esDiferenciais 404 9.1 Equaço˜esDiferenciaisParciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 9.2 Equaço˜esDiferenciaisdePrimeiraOrdem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 9.3 SeparaçaõdeVaria´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 9.4 PontosSingulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 9.5 Soluço˜esdeSe´rie—Me´tododeFrobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 9.6 UmaSegundaSoluçaõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 9.7 EquaçaõNaõ-Homogeˆnea—FunçaõdeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 9.8 EDPdeFluxodeCaloroudeDifusaõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 10 TeoriadeSturm-Liouville—Funço˜esOrtogonais 469 10.1 EDOAuto-Adjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 10.2 OperadoresHermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page x — #7 x F´ısicaMatema´tica Arfken Weber • 10.3 OrtogonalizaçaõdeGram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 10.4 CompletudedeAutofunço˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 10.5 FunçaõdeGreen — ExpansaõemAutofunçaõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 11 Funço˜esdeBessel 510 11.1 Funço˜esdeBesseldaPrimeiraEspećie,J (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 ν 11.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 11.3 Funço˜esdeNeumanneFunço˜esdeBesseldaSegundaEspećie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 11.4 Funço˜esdeHankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 11.5 Funço˜esModificadasdeBesselI (x)eK (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 ν ν 11.6 Expanso˜esAssinto´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 11.7 Funço˜esEsfe´ricasdeBessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 12 Funço˜esdeLegendre 560 12.1 FunçaõGeratriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 12.2 Relaço˜esdeRecorreˆnciaePropriedadesEspeciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 12.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 12.4 Definiço˜esAlternativasdePolinoˆmiosdeLegendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580 12.5 Funço˜esAssociadasdeLegendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582 12.6 HarmoˆnicosEsfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 12.7 OperadoresdeMomentoAngularOrbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 12.8 OTeoremadaAdiçaõparaHarmoˆnicosEsfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 12.9 IntegraisdeProdutosdeTreˆsHarmoˆnicosEsfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 12.10 Funço˜esdeLegendredaSegundaEspećie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610 12.11 HarmoˆnicosEsfe´ricosVetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 13 MaisFunço˜esEspeciais 618 13.1 Funço˜esdeHermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618 13.2 Funço˜esdeLaguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 13.3 PolinoˆmiosdeChebyshev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 13.4 Funço˜esHipergeome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 13.5 Funço˜esHipergeome´tricasConfluentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 13.6 Funço˜esdeMathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 14 Se´riesdeFourier 667 “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page xi — #8 SUMA´RIO xi 14.1 PropriedadesGerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 14.2 Vantagens,UsosdaSe´riedeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 14.3 Aplicaço˜esdeSe´riesdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 14.4 PropriedadesdaSe´riedeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 14.5 FenoˆmenodeGibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688 14.6 TransformadaDiscretadeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 14.7 ExpansaõdeFourierdeFunço˜esdeMathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 15 TransformadasIntegrais 705 15.1 TransformadasIntegrais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 15.2 DesenvolvimentodaIntegraldeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708 15.3 TransformadasdeFourier —TeoremadaInversaõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710 15.4 TransformadadeFourierdeDerivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 15.5 TeoremadeConvoluçaõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720 15.6 RepresentaçaõdeMomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 15.7 FunçaõdeTransfereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 15.8 TransformadasdeLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731 15.9 TransformadadeLaplacedeDerivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 15.10 OutrasPropriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741 15.11TeoremadaConvoluçaõ(“Faltungs”). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750 15.12TransformadaInversadeLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 16 Equaço˜esIntegrais 763 16.1 Introduçaõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763 16.2 TransformadasIntegrais,Funço˜esGeradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768 16.3 Se´riedeNeumann,NućleosSepara´veis(Degenerados) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772 16.4 TeoriadeHilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 17 Ca´lculodeVariaço˜es 787 17.1 UmaVaria´velDependenteeumaVaria´velIndependente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787 17.2 Aplicaço˜esdaEquaçaõdeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792 17.3 DiversasVaria´veisDependentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798 17.4 DiversasVaria´veisIndependentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802 17.5 DiversasVaria´veisDependenteseIndependentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803 17.6 MultiplicadoresdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804 “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page xii — #9 xii F´ısicaMatema´tica Arfken Weber • 17.7 VariaçaõcomV´ınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808 17.8 TećnicaVariacionaldeRayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 18 Me´todosNaõ-LineareseCaos 818 18.1 Introduçaõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818 18.2 OMapaLog´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 18.3 SensibilidadeaCondiço˜esIniciaiseParaˆmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822 18.4 Equaço˜esDiferenciaisNaõ-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825 19 Probabilidade 842 19.1 Definiço˜es,PropriedadesSimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842 19.2 Varia´veisAleato´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847 19.3 DistribuiçaõBinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857 19.4 DistribuiçaõdePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859 19.5 DistribuçaõNormaldeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861 19.6 Estat´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864