Fisica generale : problemi di meccanica, termodinamica, elettricità e magnetismo

241 Pages·2017·63.66 MB·Italian

by  Longhi

FISICA GENERALE S. Longhi, M. Nisoli,
R. Osellame, 8. Stagira
Problemi di Meccanica, T ermodinamica,
Elettricità e Magnetismo

fisic a g en er a le
Problemi di Meccanica, T ermodinamica
Elettricità e Magnetismo
S. Longhi, IVI. Nisoli,
R. Osellame, 8. Stagira
SOCIETÀ EDITRICE
^ H I SOCIETÀ EDITRICE
E SC U L A P ia
m = E scu L A P ia
ISBN 978-88-9385-045-2
Prima edizione* Giugno 2013
Seconda edizione* Agosto 2017
Indice
Responsabile produzione* Alessandro Parenti
Redazione* Giancarla Panigali, Carlotta Lenzi e Laura Tondelli
1 Calcolo vettoriale ed analisi dimensionale 1
1.1 Problemi................................................................................................................ 1
1.2 Soluzioni................................................................................................................ 5
1.3 Esercizi di autovalutazione................................................................................. 18
1.4 Soluzioni sintetiche degli esercizi........................................................................ 20
2 Cinematica del punto materiale 23
2.1 Problemi................................................................................................................ 23
2.2 Soluzioni................................................................................................................ 29
2.3 Esercizi di autovalutazione................................................................................. 53
2.4 Soluzioni sintetiche degli esercizi........................................................................ 56
3 Dinamica del punto materiale 59
3.1 Problemi................................................................................................................ 59
3.2 Soluzioni................................................................................................................ 63
Le fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale, con esclusione quindi
3.3 Esercizi di autovalutazione................................................................................. 87
di strumenti di uso collettivo) possono essere effettuate, nei limiti del 15% di
3.4 Soluzioni sintetiche degli esercizi........................................................................ 91
ciascun volume, dietro pagamento alla S.I.A.E del compenso previsto dall’art.
68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere
4 Lavoro ed energia 95
effettuate negli esercizi commerciali convenzionati S.I.A.E. o con altre modalità
4.1 Problemi................................................................................................................ 95
indicate da S.I.A.E. Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio- profes­
4.2 Soluzioni...................................................................................................................101
sionale, economico o commerciale, strumenti di studio collettivi, come dispense
e simili) l’editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre un 4.3 Esercizi di autovalutazione....................................................................................122
numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del volume. 4.4 Soluzioni sintetiche degli esercizi..........................................................................125
CLEARedi - Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali Corso
di Porta Romana, n. 108 - 20122 Milano 5 Dinamica dei sistemi, gravitazione e dinamica del corpo rigido 127
e-mail: [email protected] - sito: http*//www.clearedi.org. 5.1 Problemi...................................................................................................................127
5.2 Soluzioni...................................................................................................................135
5.3 Esercizi di autovalutazione....................................................................................165
5.4 Soluzioni sintetiche degli esercizi..........................................................................168
SOCIETÀ EDITRICE 6 Termologia, calorimetria, primo principio della termodinamica 171
= = I ESCULAPIO
6.1 Problemi...................................................................................................................171
6.2 Soluzioni...................................................................................................................177
40131 Bologna - Via U. Terracini 30 - Tel. [phone] - Fax [phone] Esercizi di autovalutazione....................................................................................193
www.editrice-esculapio.it 6.4 Soluzioni sintetiche degli esercizi..........................................................................196
4 INDICE
7 Secondo principio della termodinamica 199
7.1 Problemi...................................................................................................................199
7.2 Soluzioni...................................................................................................................205
7.3 Esercizi di autovalutazione....................................................................................223
7.4 Soluzioni sintetiche degli esercizi..........................................................................226
Prefazione
8 Temi riepilogativi di Meccanica e Termodinamica 229
9 Elettrostatica nel vuoto 267
9.1 Problemi...................................................................................................................267
Questo volume contiene una raccolta di oltre 450 problemi risolti di Meccanica, Termo-
9.2 Soluzioni...................................................................................................................273
dinamica, Elettricità e Magnetismo, nata dall’esperienza didattica maturata dagli autori
9.3 Esercizi di autovalutazione....................................................................................301
nell’insegnamento dei corsi di Fisica presso le Facoltà di Ingegneria del Politecnico di Mi­
9.4 Soluzioni sintetiche degli esercizi..........................................................................304
lano. L’opera, che fa parte di una collana di eserciziari scritti dagli stessi autori, è rivolta
10 Elettrostatica dei conduttori e dei mezzi dielettrici 307 in particolare a studenti impegnati ad affrontare un corso di Fisica Generale nelle Facoltà
10.1 Problemi...................................................................................................................307 di Ingegneria o di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali.
10.2 Soluzioni...................................................................................................................313
10.3 Esercizi di autovalutazione....................................................................................341 Lo scopo principale di questo volume è di fornire allo studente un nuovo e valido contribu­
10.4 Soluzioni sintetiche degli esercizi..........................................................................344 to didattico mediante lo svolgimento accurato, metodico e lineare, di numerosi problemi.
Gli esercizi sono raggruppati in capitoli organizzati per argomenti ed aree tematiche: cal­
11 Correnti stazionarie 347 colo vettoriale; cinematica e dinamica del punto materiale; lavoro ed energia; dinamica
11.1 Problemi...................................................................................................................347 dei sistemi, gravitazione e dinamica del corpo rigido; primo e secondo principio della ter­
11.2 Soluzioni...................................................................................................................351 modinamica; elettrostatica nel vuoto, nei conduttori e nei mezzi dielettrici; correnti in
11.3 Esercizi di autovalutazione....................................................................................367 regime stazionario; campi magnetici stazionari.
11.4 Soluzioni sintetiche degli esercizi..........................................................................369
I problemi, di difficoltà e gradualità diverse, sono risolti in modo critico e dettagliato,
12 Magnetostatica 371 aiutando lo studente ad acquisire la metodologia di soluzione più per comprensione che
12.1 Problemi...................................................................................................................371 per imitazione. Alcuni argomenti o metodi di svolgimento più ostici sono talvolta discussi
12.2 Soluzioni...................................................................................................................377 al termine degli esercizi per stimolare l’interesse e le conoscenze degli studenti più brillanti.
12.3 Esercizi di autovalutazione....................................................................................401
12.4 Soluzioni sintetiche degli esercizi..........................................................................404 Al termine di ogni capitolo, sono proposti alcuni esercizi riepilogativi di autovalutazione
utili allo studente per valutare il livello di comprensione degli argomenti trattati nel ca­
13 Temi riepilogativi di Elettricità e Magnetismo 407
pitolo stesso.
14 Temi riepilogativi complessivi 431
II volume è corredato da numerosi temi risolti, recentemente assegnati nelle prove d’esame
A Costanti ed unità di misura 463 di corsi di Fisica del Politecnico di Milano. Tali temi sono raccolti in tre capitoli; i primi
due riguardano Meccanica e Termodinamica ed Elettricità e Magnetismo, mentre il terzo
B Richiami di trigonometria 467 contiene temi riepilogativi relativi ad entrambi gli argomenti.
C Calcolo differenziale ed integrale 471
C.l Regole di derivazione di una funzione................................................................471 Milano, luglio 2017 Gli autori
C.2 Regole di integrazione di una funzione .............................................................472
C.3 Espansione in serie di una funzione...................................................................473
2 Calcolo vettoriale ed analisi dimensionale
P.1.5.
Si calcoli il prodotto vettoriale tra gli stessi due vettori dell’esercizio precedente.
P.1.6.
Si determini il modulo quadro del vettore somma Iv1 + v2|2 dei due vettori del problema
Capitolo I
P. 1.4 e si verifichi la seguente relazione:
Iv1 +v2|2 = Iv1I2 + Iv212 + 21V111V21 cos i? ,
Calcolo vettoriale ed analisi
dove rO è l’angolo compreso tra i due vettori.
dimensionale
R 1.7.
Si determini l’espressione di un vettore v3 di modulo pari a 5 e con direzione ortogonale
ai seguenti due vettori:
1.1 Problemi
V1 = 2ux + uy- 3u2
p.i.i. v2 = ux - 2 uy + uz
Una particella si sposta da A(l,2,3) a B(l,3,l). Si determinino i vettori posizione iniziale
e finale rispetto all’origine e l’espressione del vettore spostamento.
P.1.8.
Dati due vettori:
P.1.2.
Dati due punti in un piano cartesiano: V1 = 4ux + 2uy - 7uz
v2 = 3ux - 3uy + uz
,4(1,1,1), £(2,-1,3)
si determini la componente z del seguente vettore:
si determini l’espressione del versore u che individua la direzione ed il verso del vettore
v3 = 2ux - uy + zuz ,
(B-A) che congiunge i suddetti punti.
R 1.3. affinché i tre vettori siano complanari.
Dati i due vettori
P.1.9.
VZ i /— Si calcoli la derivata dei seguenti vettori rispetto al parametro t:
vi = — ux - -uy , v2 - - V 2ux + 2uy
(i) V1 = t ux + y/3t Uy ;
si calcolino: (ii) v2 = cos t ux + sin t Uy .
(i) il vettore somma V1 + v2; Si determini inoltre la quantità:
(ii) il prodotto scalare Vi • v2;
(iii) il prodotto vettoriale V1 x v2;
L
(iv) la componente del vettore w = 3ux — 2uy nella direzione e verso del vettore somma [vi(£) - v2 (f)] dt.
determinato al punto (i).
R 1.4.
P.1.10.
Si determini l’angolo compreso tra i due vettori:
Si consideri il campo vettoriale definito in coordinate cartesiane dalla relazione:
V1 = 3ux + 4uy - 5u* v = iruX + 1/Uy .
v2 = -ux + 2u y + 6u; + ’
1.1 Problemi 3 4 Calcolo vettoriale ed analisi dimensionale
si disegni il vettore v nei punti di coordinate A(I5I)5 B(-1,1), C(-1,-1) e D(I5-I). Sulla base e si stabilisca che relazione sussiste fra le superfici di livello di /(x, y, z) ed il gradiente di /.
del disegno stabilire qual è in generale la direzione ed il verso di v in un punto generico
del piano. Si ripeta l’esercizio per il campo vettoriale P.1.15.
Assegnato in un sistema di coordinate cartesiane il campo vettoriale v = UrUx + vyuy +
w - y** z xuy X2Uz, si definisce divergenza del vettore v la quantità:
\[x? + Vi
dvx dvy_ (hh
div v —
dx dy dz
p.i.ii. In base a tale definizione si calcoli la divergenza del vettore w = 2xyux—z2uy+5 sin(zy)uz.
Sia assegnato il campo vettoriale definito in un punto P dall’espressione
P.1.16.
E(P) = ^ ur Assegnato in un sistema di coordinate cartesiane il campo vettoriale v = xxux + vyuy +
X2Uz, si definisce rotore del vettore v la quantità:
con r distanza tra P e l’origine O delle coordinate ed ur versore radiale (spiccato da O
e con verso uscente). Riscrivere E in funzione delle coordinate cartesiane x ed y e dei
corrispondenti versori degli assi ux ed uy. Si disegni l’andamento delle linee di flusso del Udx_ %d_ Udz_ / dvz d vy\ (dvx dvz\
campo. dx dy dz V dy ~ dz ) Ux + V dz ~ dx ) Uy +
Vx Vy Vz
P.1.12. In base a tale definizione si calcoli il rotore del vettore w = 4z2yux — 3(x/y)uy + 2xzuz.
In un sistema di coordinate cartesiane siano definiti due campi vettoriali
P.1.17.
a = x2ux — 2yuy
Si calcoli il valore dell’integrale di linea
e L
w • di
b = (2x + l)ux + ^2Uy /7, A-^B
Sia c = a + b la loro somma. Si calcolino: essendo 7 una linea giacente nel piano cartesiano xy, di equazione
(i) Il modulo di c;
(ii) I punti in cui |c| =0 (se esistono). y = ax2\
A(0,0) e B(2,4a) due punti di 7; w un campo vettoriale di espressione
P.1.13.
W = Xlly-^ ux (1)
In un sistema di coordinate cartesiane un campo scalare è definito dalla relazione:
e di il vettore spostamento infinitesimo orientato lungo 7 nella direzione che va da A a B.
f{x,y,z) = -A —£
X2 + y2 P.1.18.
Sfruttando il principio di omogeneità, si determini l’espressione del periodo delle piccole
Stabilire la forma delle superfici di livello f(x,y,z) = costante.
oscillazioni di un pendolo semplice sapendo che può dipendere, mediante una costante
adimensionale, solo dalla massa m del pendolo, dalla lunghezza l del filo e dall’accelera­
P.1.14.
zione di gravità g.
Assegnato in un sistema di coordinate cartesiane un campo scalare / = /(x, y, z), si defi­
nisce gradiente del campo scalare f la quantità:
P.1.19.
Si determinino le dimensioni della costante di gravitazione universale 7 presente nella
, , dS «/ ài
legge di gravitazione universale:
Ui1Tn2
Si calcoli il gradiente del seguente campo scalare: f = i —rz—
f(x, y, z) = 3-\/x2 + y2 + 22
1.2 Soluzioni 5 6 Calcolo vettoriale ed analisi dimensionale
1.2 Soluzioni S.1.2.
Il vettore (B-A) che congiunge i due punti può essere calcolato come la differenza dei due
S.l.l. vettori posizione che individuano i suddetti punti:
Il vettore posizione in coordinate cartesiane di una particella che si trova in un qualsiasi
punto dello spazio ha come componenti le stesse coordinate del punto. Da ciò consegue ya = ux+ Uy+ uz
che il vettore posizione iniziale della particella corrispondente al punto A(1,2,3), è espresso yb = 2ux - Uy + 3uz
da
e quindi
ya = ux + 2uy + 3uz, (1)
(B - A) = yb - ya = ux - 2uy + 2uz. (2)
mentre il vettore posizione finale corrispondente al punto B(l,3,l), è espresso da
Il versore è un vettore di modulo unitario che viene utilizzato per indicare una direzione
yb = ux + 3uy + uz . (2) ed un verso. Per ricavare un versore a partire da un vettore in modo che ne mantenga la
direzione ed il verso basta dividere il vettore stesso per il suo modulo.
Il modulo del vettore (B-A) è dato da:
Il vettore spostamento, definito come la differenza tra il vettore posizione finale ed il vet­
tore posizione iniziale, è quindi pari a
\B-A\ = V l+4 + 4 = 3, (3)
Ar = yb - ya = uy - 2uz . (3)
e quindi il versore u è espresso da
Il modulo del vettore spostamento è dato da (B-A)
— U7.------U11 H— . (4)
\B-A\ 3 3 y 3
|Ar| = + rI + rI = , (4)
Lasciamo al lettore la verifica che il modulo del versore trovato sia effettivamente unitario
e che i coseni direttori del vettore (B-A) siano uguali a quelli del versore u.
mentre i suoi coseni direttori sono
S.1.3.
cos a =
(i) Il vettore somma è dato da
Ary _ J_ y/2 3
cos/3 — (5) Vl + V2 = Ux + (1)
|Ar| “ V5 “ ^ -U*+ 2Uy;
Ar, ____2_ (ii) Il prodotto scalare è dato da
cos 7 =
|Ar| ” V5
v/2
Osservazione: Vi • V2 = VixV2X + VlyV2y + VizV2z = — (-A) + (2)
E5 utile ricordare che i coseni direttori sono i coseni degli angoli individuati dal vettore
in esame con i tre assi cartesiani e sono quindi dati dal rapporto tra le proiezioni del
(iii) Il prodotto vettoriale è dato da
vettore sui tre assi (le sue componenti) ed il suo modulo. I coseni direttori permettono
di individuare univocamente direzione e verso di un vettore. Si può inoltre verificare una
proprietà generale dei coseni direttori:
Vi X V2 = UVlxx VU1y y VUlzz = Ux 2- i2 0O + Uy ^-y2/ 2 OO + Uz -+2v2 /2 221
cos2 a + cos2 /3 + cos2 7 = - + 7 = 1. (6) Vo r V0.1, Vo 7.
5 5
+ + +
=
1.2 Soluzioni 7 8 Calcolo vettoriale ed analisi dimensionale
(iv) La componente del vettore w nella direzione e verso del vettore somma ricavato al si ricava
punto (i) può essere ottenuta mediante prodotto scalare tra il vettore w ed il versore u
che individua direzione e verso del vettore somma. Si ricavi quindi il versore u con lo
cos d = -= -0.552 -& = 123° (4)
stesso procedimento visto nell’esercizio R 1.2: V82
Vi +V2
(4)
IvI + V2 I ’
S.1.5.
dove Come già visto nella soluzione del problema R 1.3, il prodotto vettoriale tra due vettori si
calcola mediante il seguente determinante:
yn
|vi + V2 2 (5) ux uV U2
1 Vi X V2 3 4 -5 = ux(24+10)-uy(18-5)+u,(6+4) = 34ux-13uy + 10u, (1)
e quindi -1 2 6
(6) S.1.6.
Si ricavi innanzitutto la relazione fornita nel testo del problema. Sapendo che il modulo
La componente di w sarà quindi pari a quadro di un vettore può essere visto anche come il prodotto scalare del vettore con se
stesso, si può scrivere:
Wu --+=(^2 + 2) = 3.09. (7)
|vi + V2I2 = (vi + V2) • (vi + V2) (1)
Osservazioni:
E’ importante ricordare che il prodotto scalare è commutativo, mentre il prodotto vetto­ e sviluppando il prodotto tra binomi si ottiene:
riale è anticommutativo. Questo significa che se anche si inverte l’ordine dei due vettori
moltiplicati scalarmente il risultato non cambia, mentre nel prodotto vettoriale un’inver­
|vi + v2|2 = Iv1I2 + |v2|2 + 2vi • v2 = Iv1I2 + |v2|2 + 2|V11|v21 cosi?. (2)
sione dell’ordine dei vettori produce un risultato di segno opposto. Si lascia al lettore di
verificare le proprietà appena ricordate a partire dalle definizioni applicate nei punti (ii)
e (iii). Si calcoli ora il modulo quadro del vettore somma dei due vettori del problema P.l.4:
S.1.4. |vi + v2|2 = 12¾ + 6uy + uz|2 = 41. (3)
Per determinare l’angolo tra i due vettori è possibile utilizzare la definizione di prodotto
scalare, infatti:
I moduli dei due vettori ed il coseno dell’angolo tra di essi compreso sono già stati calcolati
vi • v2 = |vi||v2| cosi? cos d = Vl • V2 (1) nella soluzione del problema R 1.4 e quindi, calcolando il secondo membro della relazione,
IvI 11V21 ’ si ottiene:
dove d è l’angolo compreso tra i due vettori. Si calcoli il prodotto scalare tra i due vettori
|vi + v2|2 = 50 + 41 — 50 = 41, (4)
mediante la formula fornita nella soluzione del problema R 1.3:
vi • v2 = -3 + 8 - 30 = -25 . (2) il che verifica la suddetta relazione.
Calcolando quindi i moduli dei due vettori: S.1.7.
Un’importante proprietà del prodotto vettoriale tra due vettori è che il vettore risultante
|vi| = V9 + 16 + 25 = VEo (3) è sempre ortogonale al piano individuato dai due vettori iniziali. Quindi, un qualsiasi
j v2 j = Vl + 4 + 36 = V vettore ortogonale a vi e v2 sarà esprimibile come il prodotto tra uno scalare k ed il
1.2 Soluzioni 9 10 Calcolo vettoriale ed analisi dimensionale
vettore w risultante dal prodotto vettoriale tra Vi e v2 Il vettore derivata è pari a
Ux Uy Uz
v3 = kw = k(vi x v2) = k 2 1 -3 —bk(ux + Uy + uz) (1) -j^- = Ux + \/3u , (2)
1 -2 1
che è un vettore costante e diretto come il vettore vi.
Il testo però richiede che il modulo di V3 sia pari a 5. Quindi (ii) Nel caso del vettore V2 = costux + sint uy, il modulo è costante:
|v3| = 5|fc|>/3 = 5 (2) I v21 = V cos2t + sin2t — 1, (3)
Il vettore cercato avrà quindi la seguente espressione ciò non implica tuttavia che la derivata sia nulla, infatti il vettore v2 cambia direzione al
variare di t. La pendenza del vettore rispetto all’asse x è in questo caso pari a
V3 = T^=(Ux +Uy +U2) . (3)
m = — — tan t. (4)
V2x
S.1.8. La derivata del vettore sarà quindi data da
Come visto nella soluzione dell’esercizio precedente, il vettore risultante dal prodotto vet­
toriale tra due vettori è ortogonale al piano individuato dai vettori stessi. La condizione dw2
= — sin t ux 4- cos t Uy . (5)
che si può imporre al terzo vettore affinché sia complanare ai primi due è che il prodotto dt
scalare tra il terzo vettore ed il risultante dal prodotto vettoriale tra i primi due sia pari
a zero. Infatti, il prodotto scalare tra due vettori non nulli è pari a zero solo quando i Il vettore derivata è anch’esso di modulo costante ed unitario, ma ha direzione ortogonale
due vettori sono tra loro ortogonali e l’ortogonalità tra il terzo vettore ed il risultante del al vettore v2. Infatti, la sua pendenza è data da
prodotto vettoriale implica la complanarità ai due vettori iniziali.
Si inizi quindi calcolando il prodotto vettoriale tra i primi due vettori: _ _ Vy _ 1 3_
vx tant m 5
Ux U V Uz a)
W = (vi X V2) = 4 2 -7 — 19ux — 25u y — 18uz che è la condizione di ortogonalità tra due rette.
3 -3 1 Generalizzando i risultati ottenuti nei due casi si può dire che la derivata di un vettore è
diversa da zero quando varia il suo modulo oppure la sua direzione o entrambe. Inoltre, la
Il vettore v3, per essere complanare ai primi due, deve quindi fornire un prodotto scalare direzione del vettore derivata sarà la stessa del vettore iniziale quando questo varia solo in
nullo con il vettore w: modulo, sarà ortogonale a quella del vettore iniziale quando questo varia solo in direzione,
sarà generica nel caso in cui il vettore iniziale vari sia in modulo che in direzione.
Passiamo ora al calcolo dell’integrale:
v3 • w = —38 + 25 — I82 = 0 (2)
J
[vi(£) —v2(£)] dt = ^t ux + Vst Uyj — [cos t ux + sin t Uy] dt. (7)
S.1.9.
Incominciamo col calcolare le derivate dei due vettori. La derivata di un vettore rispetto
Si noti che l’integrale (definito od indefinito che sia) di un vettore rispetto ad una variabile,
ad una variabile, è un vettore che ha come componenti le derivate delle componenti del
è ancora un vettore. Si osservi che i versori degli assi non dipendono dalla variabile t, per
vettore iniziale; analizziamo ora i due casi:
cui possiamo riscrivere la precedente espressione nella forma:
(i) Il vettore Vi = t ux+\/3t uy è un vettore che varia solo in modulo, mentre la sua direzio­ J
ne e verso rimangono costanti. Infatti la sua inclinazione rispetto all’asse delle x è data da
I = Ux (t — cos t) dt + Uy (^/3t — sin ^ dt, (8)
Jo
atan^— ^ = atan(v^3) = 60° . (1)
da cui si ottiene:
1.2 Soluzioni 11 12 Calcolo vettoriale ed analisi dimensionale
. 1a Vài2 , Anche in questo caso il modulo di w è pari ad 1 in qualunque punto del piano, ad eccezione
Ux --S 'n t + Uy —---------h COS t (9) dell’origine in cui il vettore non è definito. Il disegno del campo nei punti assegnati rivela
0
che il vettore descrive un vortice diretto in verso orario attorno all’origine delle coordinate.
ed infine
S.l.ll.
Per calcolare il campo E in funzione delle coordinate x ed y e dei corrispondenti versori
(10) degli assi, dobbiamo anzitutto riesprimere il versore radiale ur. Come si evince dal disegno
in figura , il triangolo PDC formato dal versore ur e dalle sue proiezioni lungo le direzioni
Si noti che I è un integrale definito, calcolato tra estremi costanti; pertanto il risultato è orizzontale e verticale, é simile al triangolo OHP (infatti hanno gli stessi angoli interni).
un vettore costante. Dunque possiamo scrivere una proporzione fra i lati corrispondenti dei due triangoli, nella
S.1.10.
Nei punti considerati dal problema il campo vettoriale v vale: v(A) = (ux + uy)/>/2;
v(B) = (-ux + uy)/\/2; v(C) = (-ux - uy)/\/2; v(D) = (ux - uy)/V2. Si noti che
in qualunque punto del piano (ad eccezione dell’origine, in cui il campo non è definito) il
modulo di v è sempre pari ad 1. Come si evince dalla figura successiva, il campo ha in
genere un andamento radiale; ciò significa che, considerato un punto P del piano, il campo
risulta diretto lungo la retta congiungente P con l’origine delle coordinate. Un campo di
questo tipo è detto "centrale”, in quanto diretto verso il centro del sistema.
forma OH : OP = PC : PD e HP : OP = CD : PD. Tuttavia OH = x; HP = y; OP = ^x2 + y2
ed infine PD = 1 essendo il versore radiale di modulo unitario. Risulta (si veda la figura
successiva) che:
ur = PCux + CDuy; (1)
utilizzando le precedenti proporzioni tra i lati dei due triangoli, si arriva all’espressione:
Il campo vettoriale w, nei punti assegnati dal problema, è invece pari a: w(A) = (ux — Ur Ux + (2)
uy)/A ; w (B) = (ux + uy)/ \/2;w(C) = (-ux + uy)/A ; w = (-ux - uy)/\/2. \A2 + y2 x \A2 + y
Ricordando poi che la distanza radiale può essere riscritta come r = yj x2 + y2, otteniamo
finalmente l’espressione del campo E:
E(p) = = 7 2 U '3 [*ux + . (3)
r (x2-\-y2) 2
Si lascia al lettore il compito di disegnare le linee di flusso del campo.
S.1.12.
La somma dei campi vettoriali a e b è pari a
a)
c = a + b = (x2 + 2x + l)ux + (y2 — 2y)uy,
1.2 Soluzioni 13 14 Calcolo vettoriale ed analisi dimensionale
di conseguenza il modulo di c è pari a dove il numeratore può anche essere visto come il generico vettore posizione rispetto al­
l’origine ed il denominatore è il suo modulo, quindi
|c| = y / Jx2 + 2x + I)2 + (y2 - 2y)2 = ^/(a; + l)4 + y2(y - 2)2. (2)
Per stabilire in quali punti il modulo del vettore somma c si annulla, basta osservare grad / = 3 = Sur . (2)
che se in un punto |c| = 0 allora anche c = 0. Affinché c sia nullo, dobbiamo imporre
che entrambe le componenti del vettore siano a loro volta nulle. Quindi basta imporre il
Le superfici di livello in questo caso sono date da
sistema
(;X2 + 2x + 1) = + I)2 = 0 / — yj x2 + y2 + z2 = costante — k (3)
(:V2 - 2 y) = y - 2) = 0
che corrisponde alle due soluzioni e rappresentano delle superfici sferiche di raggio k. Si può quindi concludere che il gra­
diente, essendo diretto come il raggio, è ortogonale in ogni punto alle superfici di livello,
x = —l
proprietà questa di carattere generale.
y = 0
e
S.1.15.
x = —l Per determinare l’espressione della divergenza del campo vettoriale w = 2xyux — z2uy +
5sin(zy)uz, calcoliamo dapprima le derivate parziali delle sue componenti rispetto agli
V = 2
assi corrispondenti:
che definiscono i due punti del piano in cui c = 0 (e dunque |c| = 0).
dwx d (2 xy)o
S.1.13. dx dx ~ V' (l)
La superficie di livello
k a) dwv d [-Z2)
— costante (2)
x2 + y2 dy dy
equivale ad una superficie di equazione (x2+y2) =
=S9cosf*,). (3)
costante. Si consideri ora un piano II perpendi­
colare all’asse z del sistema di coordinate. Per il j risulterà:
teorema di Pitagora, la quantità rxy = y/x2 + y2
rappresenta la distanza rxy dall’asse z di un pun­ dwx dwv dwz n ,
(4)
to P di coordinate (x, y, z) giacente su II. Dun­ = i * + ^ r+ - = 2v+hy-cos(zy)-
que la nostra superficie di livello può anche essere
S.1.16.
rappresentata dall’equazione
Per determinare l’espressione del rotore del campo vettoriale w = 4z2yux — 3(x/y)uy +
2xzuz procediamo calcolando le derivate parziali delle sue componenti rispetto a tutti gli
rxy = costante.
assi:
Si osservi che tale espressione non dipende da z\ con riferimento alla figura, possiamo
pertanto concludere che essa rappresenta un cilindro indefinito il cui asse coincide con z. Ow1 _ d(4z2y)
(1)
dx dx
S.1.14.
Si applichi la definizione di gradiente al campo scalare fornito nel testo dwx __ d (4z2y) _
(2)
dy dy
2x 2 y 2z
grad / : =Xlx + Uy + ' dwx _ d (4 z2
2y/x2 -Vy2 + . 2yjx2 + y2 + z2 2 yjx2 + y2 + (3)
dz dz
(1)
0 x\ix + yuy + ZUz dwy d [-3 [x/y
(4)
y/X2 + y2 + Z2 dx dx