Finite Elemente: Theorie, schnelle Loser und Anwendungen in der Elastizitatstheorie, 4. Auflage PDF
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Braess FiniteElemente Dietrich Braess Finite Elemente Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie Vierte,überarbeiteteunderweiterteAuflage Mit63Abbildungen 123 Prof.Dr.DietrichBraess Ruhr-UniversitätBochum FakultätfürMathematik Universitätsstraße150 44780Bochum E-mail:[email protected] BibliografischeInformationderDeutschenNationalbibliothek DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. MathematicsSubjectClassification(2000):65N30,65F10,65N22,65N55 ISBN 978-3-540-72449-0 4.Aufl.SpringerBerlinHeidelbergNewYork ISBN978-3-540-00122-5 3.Aufl.Springer-VerlagBerlinHeidelbergNewYork DiesesWerkisturheberrechtlichgeschützt.DiedadurchbegründetenRechte,insbesonderedieder Übersetzung,desNachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenundTabellen,derFunk- sendung,derMikroverfilmungoderderVervielfältigungaufanderenWegenundderSpeicherungin Datenverarbeitungsanlagen,bleiben,auchbeinurauszugsweiserVerwertung,vorbehalten.EineVer- vielfältigungdiesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesistauchimEinzelfallnurindenGrenzen dergesetzlichenBestimmungendesUrheberrechtsgesetzesderBundesrepublikDeutschlandvom 9.September1965inderjeweilsgeltendenFassungzulässig.Sieistgrundsätzlichvergütungspflichtig. ZuwiderhandlungenunterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes. SpringeristeinUnternehmenvonSpringerScience+BusinessMedia springer.de ©Springer-VerlagBerlinHeidelberg1992,1997,2003,2007 DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerk berechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,daßsolcheNamenimSinne derWarenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervon jedermannbenutztwerdendürften.TextundAbbildungenwurdenmitgrößterSorgfalterarbeitet. VerlagundAutorkönnenjedochfüreventuellverbliebenefehlerhafteAngabenundderenFolgen wedereinejuristischeVerantwortungnochirgendeineHaftungübernehmen. Umschlaggestaltung:WMXDesignGmbH,Heidelberg Herstellung:LE-TEXJelonek,Schmidt&VöcklerGbR,Leipzig Satz:DatenerstellungdurchdenAutor GedrucktaufsäurefreiemPapier 175/3180YL-543210 Vorwort FürdiedritteundvierteAuflagewurdedasLehrbuchüberFiniteElementekräftigüberar- beitet.NebenvielenkleinenÄnderungenzurAbrundungundAktualisierungderTheorie findensichgrößereÄnderungenvorallemindreiBereichen. DiegrößtenÄnderungenhatesimKapitelüberFiniteElementeinderStrukturme- chanik gegeben. Eine Synthese von Ergebnissen der Ingenieurwissenschaften und ma- thematischenMethodenergabsichbeiPlattenundderBehandlungdesLocking-Effekts. Letzterer baut in einem neuenAbschnitt auf einer mathematisch präzisen Formulierung des Locking-Effekts auf. Obwohl seitens der Ingenieure meist nichtkonforme Elemente implementiert werden, erfolgt dieAnalyse über Nicht-StandardAnwendungen von Sat- telpunktmethoden,denenzudiesemZweckinKapitelIIImehrRaumgegebenwird. WegendergestiegenenBedeutungadaptiverMethodenwerdenzweierleiaposteriori Fehlerschätzer behandelt. Die residualen Schätzer vertreten mehrere äquivalente klassi- sche Schätzer. Neu ist eine Klasse von Schätzern ohne unbekannte Konstanten, die auf demVergleichprimalerunddualergemischterMethodenberuhen.Auchdiesunterstreicht dieAnwendungvonSattelpunktmethodeninBereichen,indenenmanesnichtvonvorn hereinerwartet.DieshatteauchAuswirkungenaufandereTeiledesBuches. BeidenMehrgitterverfahrenistdieAnalyseüberdieTeilraumzerlegungsmethoden schon in der vorigen Auflage hinzugekommen. Sie hat an Aktualität gewonnen, weil wenigerRegularitäterforderlichistundlokaleVerfeinerungeneinfacheinbezogenwerden können. Andererseits kann diese Theorie nicht die übliche ersetzen, weil die sonst so übersichtlicheAufspaltunginGlättungs-undApproximationseigenschaftenentfällt. DieAufgabenamEndederAbschnittesindvonunterschiedlichemSchwierigkeits- grad. Ein großer Anteil liefert Varianten der gewonnenen Aussagen, die für den Leser bei manchen Anwendungen nützlich sind. Aufgaben mit einer witzigen Komponente mögen dem Leser zeigen, wie sich Aussagen bei unterschiedlichen Gesichtspunkten verändern können. Lösungen zu den schwierigen Aufgaben findet der Leser im Inter- net (http://hompage.rub.de/Dietrich.Braess). Dort sollen auch wieder Hinweise auf aus- gewählteaktuelleLiteraturundeineListestörenderFehlerbereitgestelltwerden. NatürlichsindindieserAuflagealldiekleinenFehlerbeseitigtworden,diedemAutor vonzahlreichenLesernmitgeteiltwurden.Allen,diedazubeigetragenhaben,möchteich andieserStelleherzlichdanken.MeinDankgiltauchdemSpringer-Verlag,derdasBuch mitdenÄnderungenneuauflegt. Bochum,imMärz2007 DietrichBraess vi VorwortzurerstenAuflage Vorwort zur erstenAuflage Bei der numerischen Behandlung von elliptischen und parabolischen Differentialglei- chungenwirdheutesehrvieldieMethodederFinitenElementeeingesetzt.DieMethode erlaubt wegen ihrer Flexibilität auch die Behandlung schwieriger Probleme, weil sie — anders als Differenzenverfahren oder Rechnungen mit Finiten Volumen — auf die Va- riationsformulierung der Differentialgleichung zugeschnitten ist. Die Entwicklung von Finiten Elementen verlief lange bei Mathematikern und Ingenieuren parallel, ohne daß dieszunächstwahrgenommenwurde.Endeder60erundAnfangder70erJahreerfolgte dieEntwicklungdesBegriffsapparatsmiteinerStandardisierung,dieesdannermöglichte, den Stoff auch den Studenten vorzustellen.Aus einer Reihe vonVorlesungen ist dieses Buchauchhervorgegangen. ImGegensatzzuderSituationbeigewöhnlichenDifferentialgleichungengibtesbei elliptischenpartiellenDifferentialgleichungennichtimmerklassischeLösungenundoft nur sogenannte schwache Lösungen. Das hat nicht nurAuswirkungen auf die Theorie, sondernauchaufdienumerischeBehandlung.ZwarexistierenklassischeLösungenun- ter Regularitätsvoraussetzungen, wegen der mit numerischen Rechnungen verbundenen Approximation können wir uns jedoch nicht auf einen Rahmen festlegen, in dem nur klassischeLösungenvorkommen. FürdieBehandlungelliptischerRandwertaufgabendurchFiniteElementeliefertdie Variationsrechnung einen passenden Rahmen. Es ist das Ziel von Kapitel II, hier einen möglichst einfachen Einstieg zu geben. In den Paragraphen 1–3 wird die Existenz von schwachen Lösungen in Sobolev-Räumen hergeleitet und dargestellt, wie in derVaria- tionsrechnung die Randbedingungen erfaßt werden. Um dem Leser ein Gefühl für den UmgangmitderTheoriezuvermitteln,werdeneinigeEigenschaftenderSobolev-Räume hergeleitet oder wenigstens illustriert. Die Paragraphen 4–8 sind dann den eigentlichen GrundlagenderFinitenElementegewidmet.DenschwierigstenTeilmachendieAppro- ximationssätze in §6 aus. Deshalb wird dort vorab der Spezialfall regelmäßiger Gitter behandelt;aufdiesenFallmögesichderLeserbeimerstenLesenbeschränken. InKapitelIIIkommenwirzudemTeilderTheoriederFinitenElemente,dertiefer- liegendeMethodenderFunktionalanalysisbenötigt.Letzterewerdenin§3bereitgestellt. DerLeserlerntdieberühmteLadyshenskaja-Babuška-Brezzi-Bedingungkennen,diefür die sachgemäße Behandlung von Problemen der Strömungsmechanik und der gemisch- tenMethodeninderStrukturmechanikwichtigist.WennmansichohnedieseKenntnisse aufdengesundenMenschenverstandverläßt,wirdmaninderStrömungsmechanikleider dazuverleitet,ElementemitinstabilemVerhaltenzubenutzen. Es war unser Bestreben, möglichst wenig an Kenntnissen in der reellen Analysis und der Funktionalanalysis vorauszusetzen. Andererseits ist ein gewisses Hintergrund- wissen nützlich. Darum wird in Kapitel I der Unterschied zwischen den verschiedenen TypenvonpartiellenDifferentialgleichungenkurzerläutert.WerzumerstenMalemitder VorwortzurerstenAuflage vii numerischenLösungelliptischerDifferentialgleichungenkonfrontiertist,empfindetden ZugangüberdieDifferenzenverfahrenmeistensalsleichter.DieGrenzensiehtmanerst später.EinesolcheersteBegegnungistmitKapitelIbeabsichtigt,undaufVollständigkeit derTheoriewirdsobewußtverzichtet. Die Finite-Element-Methode führt bei feiner werdender Diskretisierung auf große Gleichungssysteme.BeiderLösungmitdirektenVerfahrensteigtderAufwandwien2an. IndenletztenzweiJahrzehntenwurdennunmitderMethodederkonjugiertenGradienten undmitdenMehrgitterverfahrensehreffizienteLöserentwickelt,dieindenKapitelnIV undVausgiebigvorgestelltwerden. Ein wichtiger Anwendungsbereich für Finite Elemente ist die Strukturmechanik. Weil hier Systeme von Differentialgleichungen zu lösen sind, kommt man oft nicht mit denelementarenMethodenausKap.IIausundmußvonderFreiheitGebrauchmachen, die einem die tieferliegenden Ergebnisse aus Kap. III ermöglichen. Es waren die ver- schiedensten Bausteine zusammenzubringen, um eine mathematisch tragfähige Theorie fürdieBehandlungderProblemeinderlinearenElastizitätstheoriemitFinitenElementen zuerhalten. Fast jeder Paragraph endet mit einigen Aufgaben, die nun nicht nur Übungen im strengen Sinne sind. MancheAufgabe besteht darin, eine Formel oder ein Resultat aus einemanderenBlickwinkelzubetrachtenoderlieferteinenHinweis,derimTextselber den Fluß gestört hätte. Bekanntlich kann man bei der Behandlung partieller Differenti- algleichungen über manche Fallen stolpern, wenn man — sei es auch nur unbewußt — klassischeLösungenvorAugenhat.DenBlickfürsolcheFallenzuschärfen,istdasZiel mancherAufgabe. Das Buch baut auf Vorlesungen auf, die den Studenten im 5.–8. Semester an der Ruhr-UniversitätinregelmäßigenAbständenangebotenwerden.DieVorlesungenbehan- delten die Kapitel I und II sowieTeile der Kapitel III undV, während die Methode der konjugiertenGradienteninandereVorlesungeneingegliedertist.DasKapitelVIentstand aufgrund vonVerbindungen, die an der Ruhr-Universität zwischen Mathematikern und Ingenieurenbestehen. Ein solcher Text kann nur dank der Mithilfe vieler zustande kommen, und an die- ser Stelle möchte ich insbesondere F.-J. Barthold, C. Blömer, H. Blum, H. Cramer, W. Hackbusch, A. Kirmse, U. Langer, P. Peisker, E. Stein, R. Verfürt, G. Wittum und B. Worat für ihre Korrekturen undVerbesserungsvorschläge danken. Frau L. Mischke, die denTextinTeXgesetzthat,dankeichfürihreunermüdlicheArbeitundHerrnSchwarz fürseineHilfebeiderBewältigungvonTeX-Problemen.SchließlichgiltmeinDankdem Springer-VerlagfürdiePublikationdesBuchesunddiestetsangenehmeZusammenarbeit. Bochum,imHerbst1991 DietrichBraess Inhaltsverzeichnis VorwortzurviertenAuflage v VorwortzurerstenAuflage vi Bezeichnungen xv KapitelI Einführung 1 §1. BeispieleundTypeneinteilung 2 Beispiele 2 — Typeneinteilung 7 — Sachgemäß gestellte Probleme 8 — Aufgaben10 §2. Maximumprinzip 11 Beispiele12—Folgerungen13—Aufgaben14 §3. Differenzenverfahren 15 Diskretisierung15—DiskretesMaximumprinzip18 §4. EineKonvergenztheoriefürDifferenzenverfahren 21 Konsistenz21—LokalerundglobalerFehler21—GrenzenderKonver- genztheorie24—Aufgaben25 KapitelII KonformeFiniteElemente 26 §1. Sobolev-Räume 27 EinführungderSobolev-Räume27—DieFriedrichsscheUngleichung29 —SingularitätenvonH1-Funktionen30—KompakteEinbettungen31— Aufgaben31 §2. VariationsformulierungelliptischerRandwertaufgaben 33 Variationsformulierung 34 — Reduktion auf homogene Randbedingungen 35—ExistenzvonLösungen37—InhomogeneRandbedingungen40— Aufgaben41 §3. DieNeumannscheRandwertaufgabe.EinSpursatz 42 ElliptizitätinH142—RandwertAufgabenmitnatürlichenRandbedingun- gen 43 — Neumannsche Randbedingungen 44 — Gemischte Randbedin- gungen 45 — Beweis des Spursatzes 45 — Praktische Konsequenzen aus demSpursatz48—Aufgaben49 §4. Ritz–Galerkin–VerfahrenundeinfacheFiniteElemente 51 Modellproblem54—Aufgaben56 x Inhaltsverzeichnis §5. EinigegebräuchlicheFiniteElemente 57 Forderungen an die Triangulierung 58 — Bedeutung der Differenzierbar- keitseigenschaften59—DreieckelementemitvollständigenPolynomen61 — Bemerkung zu C1-Elementen 62 — Bilineare Elemente 64 — Qua- dratischeViereckelemente 66 —Affine Familien 67 — ZurAuswahl von Elementen70—Aufgaben70 §6. Approximationssätze 72 DerFragenkreisumdasBramble–Hilbert–Lemma73—Dreieckelemente mitvollständigenPolynomen74—BilineareViereckelemente78—Inverse Abschätzungen 79 — Cléments Operator 80 —Anhang: Zur Optimalität derAbschätzungen82—Aufgaben83 §7. FehlerabschätzungenfürelliptischeProblemezweiterOrdnung 85 BemerkungenzuRegularitätssätzen85—FehlerabschätzungeninderEner- gienorm 86 — L2-Abschätzungen 87 — Eine einfache L∞-Abschätzung 89—DerL -Projektor90—Aufgaben91 2 §8. RechentechnischeBetrachtungen 92 Das Aufstellen der Steifigkeitsmatrix 92 — Innere Kondensation 94 — Aufwand für dasAufstellen der Matrix 95 — Rückwirkung auf die Wahl des Netzes 95 — Teilweise Netzverfeinerungen 95 — Zur Lösung des Neumann-Problems97—Aufgaben97 KapitelIII NichtkonformeundandereMethoden 99 §1. AbstrakteHilfssätzeundeineeinfacheRandapproximation 100 Die Lemmas von Strang 100 — Dualitätstechnik 102 — Das Crouzeix– Raviart–Element103—EineeinfacheApproximationkrummlinigerRänder 106—ModifikationenbeimDualitätsargument108—Aufgaben110 §2. IsoparametrischeElemente 111 Isoparametrische Dreieckelemente 111 — Isoparametrische Viereckele- mente113—Aufgaben115 §3. WeiterefunktionalanalytischeHilfsmittel 116 Negative Normen 116 — Adjungierte Operatoren 118 — Ein abstrakter Existenzsatz118—EinabstrakterKonvergenzsatz120—BeweisvonSatz 3.4121—Aufgaben122 §4. Sattelpunktprobleme 123 SattelpunkteundMinima123—Dieinf-sup-Bedingung124—Gemischte Finite-Element-Methoden 128 — Fortin-Interpolation 129 — Sattelpunkt- probleme mit Strafterm 131 — TypischeAnwendungen 135 —Aufgaben 136 Inhaltsverzeichnis xi §5. GemischteMethodenfürdiePoisson-Gleichung 138 Die Poisson-Gleichung als gemischtes Problem 138 — Das Raviart– Thomas–Element141—InterpolationmitRaviart–Thomas–Elementen142 —ImplementierungundnachträglicheVerbesserung145—Gitterabhängige NormenfürdasRaviart–Thomas–Element146—DerAufweichungs-Effekt gemischterMethoden147—Aufgaben149 §6. DieStokesscheGleichung 151 Variationsformulierung152—Dieinf-sup-Bedingung153—Fastinkom- pressibleStrömungen155—Aufgaben155 §7. FiniteElementefürdasStokes-Problem 156 EininstabilesElement156—DasTaylor–Hood–Element161—DasMINI- Element162—DasdivergenzfreienichtkonformeP -Element164—Auf- 1 gaben165 §8. AposterioriAbschätzungen 166 Residuale Schätzer 168 — Untere Abschätzungen 170 — Bemerkungen zuanderenSchätzern173—LokaleGitterverfeinerungenundKonvergenz 173 §9. APosterioriSchätzerüberdualeVariationsprobleme 175 Aufgaben180 KapitelIV DieMethodederkonjugiertenGradienten 181 §1. KlassischeIterationsverfahrenzurLösunglinearerStationärelineareProzesse 182 —Gesamt-undEinzelschrittverfahren184—DasModellproblem187— Overrelaxation187—Aufgaben190 §2. Gradientenverfahren 191 DasallgemeineGradientenverfahren191—Gradientenverfahrenundqua- dratischeFunktionen192—KonvergenzverhaltenbeiMatrizenmitgroßer Kondition194—Aufgaben195 §3. VerfahrenmitkonjugiertenGradientenundkonjugiertenResiduen 196 DerAlgorithmus198—Analysedescg-VerfahrensalsoptimalesVerfahren 200—VerfahrenderkonjugiertenResiduen202—Indefiniteundunsym- metrischeMatrizen203—Aufgaben204 §4. Vorkonditionierung 205 VorkonditionierungdurchSSOR208—VorkonditionierungdurchILU209 —BemerkungenzurParallelisierung211—NichtlineareProbleme212— Aufgaben213 §5. Sattelpunktprobleme 216 Der Uzawa-Algorithmus und seineVarianten 216 — EineAlternative 218 —Aufgaben219
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