Finite Elemente: Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie

335 Pages·1997·6.52 MB·German

by  Prof. Dr. Dietrich Braess (auth.)

Springer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Dietrich Braess
Finite
Elemente
Theorie, schnelle Loser
und Anwendungen
in der Elastizitatstheorie
Zweite, iiberarbeitete Auflage
Mit 57 Abbildungen
i
Springer
Prof. Dr. Dietrich Braess
Ruhr-Universitat Bochum
Institut fur Mathematik
0-44780 Bochum
Mathematics Subject Classification (1991): 65N30, 65FI0, 65N22, 65N55
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Braess, Dietrich:
Finite Elemente : Theorie. schnelle LOser und Anwendungen in
der Elastizititstheorie I Dietrich Braess. - 2., ilberarb. Aufi. -
Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Budapest;
Hongkong ; London ; Mailand ; Paris ; Santa Clara ; Singapur ;
Tokio: Springer, 1997
(Spri nger-Lehrbuch)
ISBN 978-3-540-61905-5 ISBN 978-3-662-07233-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-07233-2
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Vorwort
Ftir die Neuauflage wurde das Lehrbuch tiber Finite Elemente kraftig tiberarbeitet. Neben
vielen kleinen Anderungen finden sich groBere Anderungen vor allem in zwei Bereichen.
Die groBten Anderungen hat es im Kapitel tiber Finite Elemente in der Struktur
mechanik gegeben. Durch die Entwicklung in den letzten Jahren ist die Plattentheorie
vollstandiger und tibersichtlicher geworden, so daB auch in diesem Buch eine bessere
Basis geliefert werden konnte. In der Strukturmechanik ergab sich eine Synthese zwi
schen den Ergebnissen der Ingenieurwissenschaften und den mathematischen Methoden
insbesondere, weil bei einigen einfachen und nattirlich erscheinenden Elementen der
Locking-Effekt auftritt. Deshalb wird eine mathematisch prazise Formulierung ftir den
Locking-Effekt eingebracht und am Beispiel des Timoschenko-Balkens mit Elementen
niedriger Ordnung verdeutlicht.
Wegen der starkeren Bedeutung von adaptiven Methoden werden a posteriori Feh
lerabschatzungen am Beispiel der residualen Schatzer behandelt. Dies hatte auch Auswir
kungen auf andere Teile. So wurde der ApproximationsprozeB von Clement einbezogen,
urn auch weniger uniforme Finite-Element-Netze zu erfassen.
Nattirlich sind in dieser Auflage all die kleinen Fehler beseitigt worden, die dem
Autor von vielen Lesem mitgeteilt wurden. Allen, die dazu beigetragen haben, mochte
ich an dieser Stelle herzlich danken. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag, der das
Buch mit einer neuen Aufmachung herausbringt.
Bochum, im November 1996 Dietrich Braess
Vorwort zur ersten Auflage
Bei der numerischen Behandlung von elliptischen und parabolischen Differentialglei
chungen wird heute sehr viel die Methode der Finiten Elemente eingesetzt. Die Methode
erlaubt wegen ihrer Flexibilitat auch die Behandlung schwieriger Probleme, weil sie -
anders als Differenzenverfahren oder Rechnungen mit Finiten Volumen - auf die Va
riationsformulierung der Differentialgleichung zugeschnitten ist. Die Entwieklung von
Finiten Elementen verlief lange bei Mathematikem und Ingenieuren parallel, ohne daB
dies zunachst wahrgenommen wurde. Ende der 60er und Anfang der 70er Jahre erfolgte
die Entwicklung des Begriffsapparats mit einer Standardisierung, die es dann erm6glichte,
den Stoff auch den Studenten vorzustellen. Aus einer Reihe von Vorlesungen ist dieses
Buch auch hervorgegangen.
1m Gegensatz zu der Situation bei gew6hnlichen Differentialgleiehungen gibt es bei
elliptischen partiellen Differentialgleiehungen nieht immer klassische L6sungen und oft
nur sogenannte schwache L6sungen. Das hat nicht nur Auswirkungen auf die Theorie,
sondern auch auf die numerische Behandlung. Zwar existieren klassische L6sungen un
ter Regularitatsvoraussetzungen, wegen der mit numerischen Rechnungen verbundenen
Approximation k6nnen wir uns jedoch nieht auf einen Rahmen festiegen, in dem nur
klassische L6sungen vorkommen.
Fur die Behandlung elliptischer Randwertaufgaben durch Finite Elemente liefert die
Variationsrechnung einen passenden Rahmen. Es ist das Ziel von Kapitel II, hier einen
m6glichst einfachen Einstieg zu geben. In den Paragraphen 1-3 wird die Existenz von
schwachen L6sungen in Sobolev-Raumen hergeleitet und dargestellt, wie in der Varia
tionsrechnung die Randbedingungen erfaBt werden. Urn dem Leser ein Gefuhl fUr den
Umgang mit der Theorie zu vermitteln, werden einige Eigenschaften der Sobolev-Raume
hergeleitet oder wenigstens illustriert. Die Paragraphen 4-8 sind dann den eigentiichen
Grundlagen der Finiten Elemente gewidmet. Den schwierigsten Teil machen die Appro
ximationssatze in §6 aus. Deshalb wird dort vorab der Spezialfall regelmiiBiger Gitter
behandelt; auf diesen Fall m6ge sieh der Leser beim ersten Lesen beschranken.
In Kapitel ill kommen wir zu dem Teil der Theorie der Finiten Elemente, der tiefer
liegende Methoden der Funktionalanalysis ben6tigt. Letztere werden in §3 bereitgestellt.
Der Leser lernt die bertihmte Ladyshenskaja-Babuska-Brezzi-Bedingung kennen, die fUr
die sachgemiiBe Behandlung von Problemen der Str6mungsmechanik und der gemischten
Methoden in der Strukturmechanik wiehtig ist. Wenn man sich ohne diese Kenntnisse
auf den gesunden Menschenverstand verliiBt, wird man in der Str6mungsmechanik leider
dazu verleitet, Elemente mit instabilem Verhalten zu benutzen.
Es war unser Bestreben, m6glichst wenig an Kenntnissen in der reellen Analysis
und der Funktionalanalysis vorauszusetzen. Andererseits ist ein gewisses Hintergrund
wissen nutzlich. Darum wird in Kapitel I der Unterschied zwischen den verschiedenen
Typen von partiellen Differentialgleiehungen kurz erlautert. Wer zum ersten Male mit der
Vorwort zur ersten Auflage vii
numerischen Losung elliptischer Differentialgleichungen konfrontiert ist, empfindet den
Zugang tiber die Differenzenverfahren meistens als leichter. Die Grenzen sieht man erst
spater. Eine solche erste Begegnung ist mit Kapitel I beabsichtigt, und auf Vollstandigkeit
der Theorie wird so bewuBt verzichtet.
Die Finite-Element-Methode fUhrt bei feiner werdender Diskretisierung auf groBe
Gleiehungssysteme. Bei der Losung mit direkten Verfahren steigt der Aufwand wie n2 an.
In den letzten zwei lahrzehnten wurden nun mit der Methode der konjugierten Gradienten
und mit den Mehrgitterverfahren sehr effiziente Loser entwickelt, die in den Kapiteln IV
und V ausgiebig vorgestellt werden.
Ein wichtiger Anwendungsbereieh ftir Finite Elemente ist die Strukturmechanik.
Weil hier Systeme von Differentialgleiehungen zu IOsen sind, kommt man oft nieht mit
den elementaren Methoden aus Kap. II aus und muB von der Freiheit Gebrauch machen,
die einem die tieferliegenden Ergebnisse aus Kap. III ermoglichen. Es waren die ver
schiedensten Bausteine zusammenzubringen, urn eine mathematisch tragfahige Theorie
fUr die Behandlung der Probleme in der linearen Elastizitatstheorie mit Finiten Elementen
zu erhalten.
Fast jeder Paragraph endet mit einigen Aufgaben, die nun nicht nur Ubungen im
strengen Sinne sind. Manche Aufgabe besteht darin, eine Formel oder ein Resultat aus
einem anderen Blickwinkel zu betrachten oder liefert einen Hinweis, der im Text seIber
den FluB gestort hatte. Bekanntlich kann man bei der Behandlung partieller Differenti
algleichungen tiber manche Fallen stolpem, wenn man - sei es auch nur unbewuBt -
klassische Losungen vor Augen hat. Den Blick fUr solche Fallen Zl,l scharfen, ist das Ziel
mancher Aufgabe.
Das Buch baut auf Vorlesungen auf, die den Studenten im 5.-8. Semester an der
Ruhr-Universitat in regelmaBigen Abstanden angeboten werden. Die Vorlesungen behan
del ten die Kapitel I und IT sowie Teile der Kapitel III und V, wahrend die Methode der
konjugierten Gradienten in andere Vorlesungen eingegliedert ist. Das Kapitel VI entstand
aufgrund von Verbindungen, die an der Ruhr-Universitat zwischen Mathematikem und
Ingenieuren bestehen.
Ein solcher Text kann nur dank der Mithilfe vieler zustande kommen, und an die
ser Stelle mochte ich insbesondere F.-J. Barthold, C. Biomer, H. Blum, H. Cramer, W.
Hackbusch, A. Kirmse, U. Langer, P. Peisker, E. Stein, R. Verftirt, G. Wittum und B.
Worat fUr ihre Korrekturen und Verbesserungsvorschlage danken. Frau L. Mischke, die
den Text in TeX gesetzt hat, danke ich fUr ihre unermtidliche Arbeit und Herrn Schwarz
fUr seine Hilfe bei der Bewaltigung von TeX-Problemen. SchlieBlich gilt mein Dank dem
Springer-Verlag fUr die Publikation des Buches und die stets angenehme Zusammenar
beit.
Bochum, im Herbst 1991 Dietrich Braess
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
Vorwort zur ersten Auftage ............................................. vi
Bezeichnungen
Xlll
Kapitel I
Einfiihrung
§ 1. Beispiele und Typeneinteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Beispiele 2 - Typeneinteilung 7 - SachgemaB gestellte Probleme 8
§ 2. Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Beispiele 12 - Folgerungen 13
§ 3. Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Diskretisierung 15 - Diskretes Maximumprinzip 18
§ 4. Eine Konvergenztheorie flir Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Konsistenz 21 - Lokaler und globaler Fehler 21 - Grenzen der Konver
genztheorie 24
Kapitel II
Konfonne Finite Elemente 26
§ 1. Sobolev-Raume 27
Einfiihrung der Sobolev-Raume 27 - Die Friedrichssche Ungleichung 29 -
Singularitaten von HI-Funktionen 30 - Kompakte Einbettungen 31
§ 2. Variationsformulierung elliptischer Randwertaufgaben 2. Ordnung . . . . . . . . 33
Variationsformulierung 34 - Reduktion auf homogene Randbedingungen 35
- Existenz von L6sungen 37 - Inhomogene Randbedingungen 40
§ 3. Die Neumannsche Randwertaufgabe. Ein Spursatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Elliptizitat in HI 42 - Randwertaufgaben mit natiirlichen Randbedingungen
43 - Neumannsche Randbedingungen 44 - Gemischte Randbedingungen 45
- Beweis des Spursatzes 45 - Praktische Konsequenzen aus dem Spursatz
48
§ 4. Ritz-Galerkin-Verfahren und einfache Finite Elemente 51
Modellproblem 54
§ 5. Einige gebrauchliche Finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Forderungen an die Triangulierung 58 - Bedeutung der Differenzierbarkeits
eigenschaften 59 - Dreieckelemente mit vollstandigen Polynomen 61 -
Bemerkung zu Cl-Elementen 62 - Bilineare Elemente 64 - Quadratische
x Inhaltsverzeichnis
Viereckelemente 66 - Affine Familien 66 - Zur Auswahl von Elementen
69
§ 6. Approximationssiitze .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Der Fragenkreis urn das Bramble-Hilbert-Lemma 72 - Dreieckelemente
mit vollstandigen Polynomen 73 - Bilineare Viereckelemente 77 - Inverse
Abschiitzungen 78 - C16ments Operator 79 - Anhang: Zur Optimalitiit der
Abschiitzungen 80
§ 7. Fehlerabschiitzungen fur elliptische Probleme zweiter Ordnung 83
Bemerkungen zu Regularitiitssiitzen 83 - Fehlerabschiitzungen in der Ener
gienorm 84 - L2-Abschiitzungen 85 - Eine einfache Loo-Abschiitzung 87
- Der L2-Projektor 88
§ 8. Rechentechnische Betrachtungen . . . . .. . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Das Aufstellen der Steifigkeitsmatrix 90 - Innere Kondensation 92 - Auf-
wand fur das Aufstellen der Matrix 93 - Ruckwirkung auf die Wahl des
Netzes 93 - Teilweise Netzverfeinerungen 93
KapitellII
Nichtkonforme und andere Methoden 97
§ 1. Abstrakte Hilfssiitze und eine einfache Randapproximation . . . . . . . . . . . . . . . 98
Die Lemmas von Strang 98 - Dualitiitstechnik 100 - Das Crouzeix-Raviart
Element 101 - Eine einfache Approximation krummliniger Rander 104-
Modifikationen beim Dualitiitsargument 106
§ 2. Isoparametrische Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Isoparametrische Dreieckelemente 109 - Isoparametrische Viereckelemente
111
§ 3. Weitere funktionalanalytische Hilfsmittel . . . .. . . . . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . 114
Negative Normen 114 - Adjungierte Operatoren 116 - Ein abstrakter Exi
stenzsatz 116 - Ein abstrakter Konvergenzsatz 118 - Beweis von Satz 3.4
119
§ 4. Sattelpunktprobleme .. . . . ... . . . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 121
Sattelpunkte und Minima 121 - Die inf-sup-Bedingung 122 - Gemischte
Finite-Element-Methoden 126 - Die Laplace-Gleichung als gemischtes Pro-
blem 128 - Das Raviart-Thomas-Element 130 - Sattelpunktprobleme mit
Strafterm 132
§ 5. Die Stokessche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Variationsformulierung 139 - Die inf-sup-Bedingung 140 - Bemerkungen
zur Brezzi-Bedingung 141 - Fast inkompressible Stromungen 142
§ 6. Finite Elemente fur das Stokes-Problem 143
Ein instabiles Element 143 - Das Taylor-Hood-Element 148 - Das MINI
Element 149 - Das divergenzfreie nichtkonforme PI-Element 150