Finite Elemente: Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie PDF
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Finite Elemente Dietrich Braess Finite Elemente Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie 5., überarbeitete Aufl age Dietrich Braess Fakultät für Mathematik Universität Bochum Bochum, Deutschland ISBN 978-3-642-34796-2 ISBN 978-3-642-34797-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-34797-9 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografi e; detaillierte bibliografi sche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufb ar. Mathematics Subject Classification (2010): 65N30, 65F10, 65N22, 65N55 Springer Spektrum © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1992, 1997, 2003, 2007, 2013 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht aus- drücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfi lmungen und die Ein- speicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk be- rechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürft en. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.springer-spektrum.de Vorwort Für die fünfte Auflage wurde das Lehrbuch über Finite Elemente kräftig überarbeitet. Neben vielen kleinen Änderungen zur Abrundung der Theorie und zur Verdeutlichung vonQuerverbindungenfindensichgrößereÄnderungenvoralleminzweiBereichen. Die größten Änderungen hat es im Kapitel über Finite Elemente in der Struk- turmechanik gegeben. Eine Berechnung von Platten erfolgt üblicherweise über zwei- dimensionaleModelle. Diese Dimensionsreduktionwird nun – auf50 Jahre altenÜber- legungenaufbauend–aufeinesolideBasisgestellt.Vondortausverstehtmandannauch Korrekturfaktoren,diebeiIngenieur-Anwendungenvielfachverwandtwerden.Auchhier zeigtsichwieder:obwohlseitensderIngenieureausgutenGründenmeistnichtkonforme Elementeimplementiertwerden,erscheintdieAnalysemittelsSattelpunktmethodenuni- versellerunddamitzufriededenstellender. Das Kapitel über nichtkonforme Elemente und Sattelpunktmethoden bildete von AnfanganeinenSchwerpunktdiesesBuches.BeiletzterendenktmanzunächstanVaria- tionsproblememit(expliziten)NebenbedingungenwiebeimStokes-Problem,aberheute ist ebenso bedeutsam, dass man über äquivalente gemischte Methoden manche Finite- Element-Methodenversteht,beidenendieMotivationderAnwendereinemMathematiker nichtsoforteinleuchtet. In diese Kapitel gehören auch a posteriori Fehlerschätzer. Sie werden im Prinzip zügig abgehandelt, aber die charakteristischen Unterschiede zu den a priori Fehlerab- schätzungen werden wir deutlicher als sonst üblich herausstellen. Dazu dient ein Ver- gleichssatz mit einer a priori Aussage, die mittels Techniken für a posteriori Aussagen hergeleitetwird.DiesunterstreichtaußerdemdiewachsendeBeliebtheitdessogenannten Zwei-Energien-Prinzips. In der dritten Auflage dieses Buches war es noch rein formal ohneBeispielgenanntundistjetztmitzweinicht-elementarenBeispielenvertreten. DieAufgabenamEndederAbschnittesindvonunterschiedlichemSchwierigkeits- grad. Aufgaben mit einer witzigen Komponente mögen dem Leser zeigen, wie sich Aussagen bei unterschiedlichen Gesichtspunkten verändern können. Lösungen zu den schwierigenAufgabenfindetderLeserimInternet(http://hompage.rub.de/Dietrich.Braess). DortsollenauchwiederHinweiseaufausgewählteaktuelleLiteraturundeineListestören- derDruckfehlerbereitgestelltwerden. NatürlichsindindieserAuflagealldiekleinenFehlerbeseitigtworden,diedemAutor vonzahlreichenLesernmitgeteiltwurden.Allen,diedazubeigetragenhaben,möchteich andieserStelleherzlichdanken.MeinDankgiltauchdemSpringer-Verlag,derdasBuch mitdenÄnderungenneuauflegt. Bochum,imAugust2012 DietrichBraess vi VorwortzurerstenAuflage Vorwort zur erstenAuflage BeidernumerischenBehandlungvonelliptischenundparabolischenDifferentialgleichun- genwirdheutesehrvieldieMethodederFinitenElementeeingesetzt.DieMethodeerlaubt wegen ihrer Flexibilität auch die Behandlung schwieriger Probleme, weil sie — anders alsDifferenzenverfahrenoderRechnungenmitFinitenVolumen—aufdieVariationsfor- mulierungderDifferentialgleichungzugeschnittenist.DieEntwicklungvonFinitenEle- mentenverlieflangebeiMathematikernundIngenieurenparallel,ohnedaßdieszunächst wahrgenommen wurde. Ende der 60er undAnfang der 70er Jahre erfolgte die Entwick- lungdesBegriffsapparatsmiteinerStandardisierung,dieesdannermöglichte,denStoff auchdenStudentenvorzustellen.AuseinerReihevonVorlesungenistdiesesBuchauch hervorgegangen. Im Gegensatz zu der Situation bei gewöhnlichen Differentialgleichungen gibt es beielliptischenpartiellenDifferentialgleichungennichtimmerklassischeLösungenund oft nur sogenannte schwache Lösungen. Das hat nicht nurAuswirkungen auf dieTheo- rie, sondern auch auf die numerische Behandlung. Zwar existieren klassische Lösungen unter Regularitätsvoraussetzungen, wegen der mit numerischen Rechnungen verbunde- nenApproximationkönnenwirunsjedochnichtaufeinenRahmenfestlegen,indemnur klassischeLösungenvorkommen. FürdieBehandlungelliptischerRandwertaufgabendurchFiniteElementeliefertdie Variationsrechnung einen passenden Rahmen. Es ist das Ziel von Kapitel II, hier einen möglichst einfachen Einstieg zu geben. In den Paragraphen 1–3 wird die Existenz von schwachen Lösungen in Sobolev-Räumen hergeleitet und dargestellt, wie in der Varia- tionsrechnung die Randbedingungen erfaßt werden. Um dem Leser ein Gefühl für den UmgangmitderTheoriezuvermitteln,werdeneinigeEigenschaftenderSobolev-Räume hergeleitet oder wenigstens illustriert. Die Paragraphen 4–8 sind dann den eigentlichen GrundlagenderFinitenElementegewidmet.DenschwierigstenTeilmachendieApprox- imationssätze in §6 aus. Deshalb wird dort vorab der Spezialfall regelmäßiger Gitter behandelt;aufdiesenFallmögesichderLeserbeimerstenLesenbeschränken. InKapitelIIIkommenwirzudemTeilderTheoriederFinitenElemente,dertiefer- liegendeMethodenderFunktionalanalysisbenötigt.Letzterewerdenin§3bereitgestellt. DerLeserlerntdieberühmteLadyshenskaja-Babuška-Brezzi-Bedingungkennen,diefür diesachgemäßeBehandlungvonProblemenderStrömungsmechanikunddergemischten MethodeninderStrukturmechanikwichtigist.WennmansichohnedieseKenntnisseauf dengesundenMenschenverstandverläßt,wirdmaninderStrömungsmechanikleiderdazu verleitet,ElementemitinstabilemVerhaltenzubenutzen. Es war unser Bestreben, möglichst wenig an Kenntnissen in der reellen Analysis und der Funktionalanalysis vorauszusetzen. Andererseits ist ein gewisses Hintergrund- wissen nützlich. Darum wird in Kapitel I der Unterschied zwischen den verschiedenen TypenvonpartiellenDifferentialgleichungenkurzerläutert.WerzumerstenMalemitder VorwortzurerstenAuflage vii numerischenLösungelliptischerDifferentialgleichungenkonfrontiertist,empfindetden Zugang über die Differenzenverfahren meistens als leichter. Die Grenzen sieht man erst später.EinesolcheersteBegegnungistmitKapitelIbeabsichtigt,undaufVollständigkeit derTheoriewirdsobewußtverzichtet. Die Finite-Element-Methode führt bei feiner werdender Diskretisierung auf große Gleichungssysteme.BeiderLösungmitdirektenVerfahrensteigtderAufwandwien2an. IndenletztenzweiJahrzehntenwurdennunmitderMethodederkonjugiertenGradienten undmitdenMehrgitterverfahrensehreffizienteLöserentwickelt,dieindenKapitelnIV undVausgiebigvorgestelltwerden. Ein wichtiger Anwendungsbereich für Finite Elemente ist die Strukturmechanik. Weil hier Systeme von Differentialgleichungen zu lösen sind, kommt man oft nicht mit denelementarenMethodenausKap.IIausundmußvonderFreiheitGebrauchmachen, die einem die tieferliegenden Ergebnisse aus Kap. III ermöglichen. Es waren die ver- schiedensten Bausteine zusammenzubringen, um eine mathematisch tragfähige Theorie fürdieBehandlungderProblemeinderlinearenElastizitätstheoriemitFinitenElementen zuerhalten. Fast jeder Paragraph endet mit einigen Aufgaben, die nun nicht nur Übungen im strengen Sinne sind. MancheAufgabe besteht darin, eine Formel oder ein Resultat aus einem anderen Blickwinkel zu betrachten oder liefert einen Hinweis, der imText selber denFlußgestörthätte.BekanntlichkannmanbeiderBehandlungpartiellerDifferential- gleichungen über manche Fallen stolpern, wenn man — sei es auch nur unbewußt — klassischeLösungenvorAugenhat.DenBlickfürsolcheFallenzuschärfen,istdasZiel mancherAufgabe. Das Buch baut auf Vorlesungen auf, die den Studenten im 5.–8. Semester an der Ruhr-UniversitätinregelmäßigenAbständenangebotenwerden.DieVorlesungenbehan- delten die Kapitel I und II sowie Teile der Kapitel III undV, während die Methode der konjugiertenGradienteninandereVorlesungeneingegliedertist.DasKapitelVIentstand aufgrund von Verbindungen, die an der Ruhr-Universität zwischen Mathematikern und Ingenieurenbestehen. EinsolcherTextkannnurdankderMithilfevielerzustandekommen,undandieser StellemöchteichinsbesondereF.-J.Barthold,C.Blömer,H.Blum,H.Cramer,W.Hack- busch,A. Kirmse, U. Langer, P. Peisker, E. Stein, R.Verfürt, G. Wittum und B. Worat fürihreKorrekturenundVerbesserungsvorschlägedanken.FrauL.Mischke,diedenText inTeXgesetzthat,dankeichfürihreunermüdlicheArbeitundHerrnSchwarzfürseine HilfebeiderBewältigungvonTeX-Problemen.SchließlichgiltmeinDankdemSpringer- VerlagfürdiePublikationdesBuchesunddiestetsangenehmeZusammenarbeit. Bochum,imHerbst2031 DietrichBraess Inhaltsverzeichnis VorwortzurviertenAuflage x VorwortzurerstenAuflage xi Bezeichnungen xiii KapitelI Einführung 1 §1. BeispieleundTypeneinteilung 2 Beispiele 2 — Typeneinteilung 7 — Sachgemäß gestellte Probleme 8 — Aufgaben10 §2. Maximumprinzip 11 Beispiele12—Folgerungen13—Aufgaben14 §3. Differenzenverfahren 15 Diskretisierung15—DiskretesMaximumprinzip18 §4. EineKonvergenztheoriefürDifferenzenverfahren 21 Konsistenz 21 — Lokaler und globaler Fehler 21 — Grenzen der Konver- genztheorie24—Aufgaben25 KapitelII KonformeFiniteElemente 26 §1. Sobolev-Räume 27 EinführungderSobolev-Räume27—DieFriedrichsscheUngleichung29 —Singularitätenvon H1-Funktionen30—KompakteEinbettungen31— Aufgaben31 §2. VariationsformulierungelliptischerRandwertaufgaben 33 Variationsformulierung 34 — Reduktion auf homogene Randbedingungen 35—ExistenzvonLösungen37—InhomogeneRandbedingungen40— Aufgaben41 §3. DieNeumannscheRandwertaufgabe.EinSpursatz 42 Elliptizitätin H1 42—RandwertaufgabenmitnatürlichenRandbedingun- gen 43 — Neumannsche Randbedingungen 44 — Gemischte Randbedin- gungen 45 — Beweis des Spursatzes 45 — Praktische Konsequenzen aus demSpursatz48—Aufgaben49 §4. Ritz–Galerkin–VerfahrenundeinfacheFiniteElemente 51 Modellproblem54—Aufgaben56 Inhaltsverzeichnis ix §5. EinigegebräuchlicheFiniteElemente 57 ForderungenandieTriangulierung58—BedeutungderDifferenzierbarkeit- seigenschaften59—DreieckelementemitvollständigenPolynomen61— BemerkungzuC1-Elementen62—BilineareElemente64—Quadratische Viereckelemente66—AffineFamilien67—ZurAuswahlvonElementen 70—Aufgaben70 §6. Approximationssätze 72 Der Fragenkreis um das Bramble–Hilbert–Lemma 73 — Dreieckelemente mitvollständigenPolynomen74—BilineareViereckelemente78—Inverse Abschätzungen 79 — Cléments Operator 80 — Anhang: Zur Optimalität derAbschätzungen82—Aufgaben83 §7. FehlerabschätzungenfürelliptischeProblemezweiterOrdnung 85 BemerkungenzuRegularitätssätzen85—FehlerabschätzungeninderEn- ergienorm86— L2-Abschätzungen87—Eineeinfache L∞-Abschätzung 89—Der L -Projektor90—Aufgaben91 2 §8. RechentechnischeBetrachtungen 92 Das Aufstellen der Steifigkeitsmatrix 92 — Innere Kondensation 94 — Aufwand für dasAufstellen der Matrix 95 — Rückwirkung auf die Wahl des Netzes 95 — Teilweise Netzverfeinerungen 95 — Zur Lösung des Neumann-Problems97—Aufgaben97 KapitelIII NichtkonformeundandereMethoden 99 §1. AbstrakteHilfssätzeundeineeinfacheRandapproximation 100 Die Lemmas von Strang 100 — Dualitätstechnik 102 — Das Crouzeix– Raviart–Element 103 — Eine einfacheApproximation krummliniger Rän- der106—ModifikationenbeimDualitätsargument108—Aufgaben110 §2. IsoparametrischeElemente 111 Isoparametrische Dreieckelemente 111 — Isoparametrische Viereckele- mente113—Aufgaben115 §3. WeiterefunktionalanalytischeHilfsmittel 116 Negative Normen 116 — Adjungierte Operatoren 118 — Ein abstrakter Existenzsatz118—EinabstrakterKonvergenzsatz120—BeweisvonSatz 3.4121—Aufgaben122 §4. Sattelpunktprobleme 123 SattelpunkteundMinima123—Dieinf-sup-Bedingung124—Gemischte Finite-Element-Methoden 128 — Fortin-Interpolation 130 — Sattelpunkt- probleme mit Strafterm 131 — TypischeAnwendungen 135 —Aufgaben 136 x Inhaltsverzeichnis §5. GemischteMethodenfürdiePoisson-Gleichung 138 DiePoisson-GleichungalsgemischtesProblem138 — DasZwei-Energien- Prinzip — DasRaviart–Thomas–Element142—InterpolationmitRaviart– Thomas–Elementen 143 — Implementierung und nachträglicheVerbesse- rung146—GitterabhängigeNormenfürdasRaviart–Thomas–Element147 —DerAufweichungs-EffektgemischterMethoden148—Aufgaben150 §6. DieStokesscheGleichung 152 Variationsformulierung153—Dieinf-sup-Bedingung154—Fastinkom- pressibleStrömungen156—Aufgaben157 §7. FiniteElementefürdasStokes-Problem 158 EininstabilesElement158—DasTaylor–Hood–Element163—DasMINI- Element164—Dasdivergenzfreienichtkonforme P -Element166—Auf- 1 gaben167 §8. AposterioriAbschätzungen 168 Residuale Schätzer 170 — Untere Abschätzungen 172 — Bemerkungen zuanderenSchätzern175—LokaleGitterverfeinerungenundKonvergenz 175 §9. APosterioriSchätzerüberdasZwei-Energien-Prinzip 177 Aufgaben183 KapitelIV DieMethodederkonjugiertenGradienten 185 §1. KlassischeIterationsverfahrenzurLösunglinearerGleichungssysteme 186 StationärelineareProzesse186—Gesamt-undEinzelschrittverfahren188 —DasModellproblem191—Overrelaxation191—Aufgaben194 §2. Gradientenverfahren 195 DasallgemeineGradientenverfahren195—Gradientenverfahrenundqua- dratischeFunktionen196—KonvergenzverhaltenbeiMatrizenmitgroßer Kondition198—Aufgaben199 §3. VerfahrenmitkonjugiertenGradientenundkonjugiertenResiduen 200 DerAlgorithmus202—Analysedescg-VerfahrensalsoptimalesVerfahren 204—VerfahrenderkonjugiertenResiduen206—Indefiniteundunsym- metrischeMatrizen207—Aufgaben208 §4. Vorkonditionierung 209 VorkonditionierungdurchSSOR212—VorkonditionierungdurchILU213 —BemerkungenzurParallelisierung215—NichtlineareProbleme216— Aufgaben217 §5. Sattelpunktprobleme 220 Der Uzawa-Algorithmus und seineVarianten 220 — EineAlternative 222 —Aufgaben223 Inhaltsverzeichnis xi KapitelV Mehrgitterverfahren 224 §1. MehrgitterverfahrenfürVariationsaufgaben 225 Glättungseigenschaften klassischer Iterationsverfahren 225 — Die Mehr- gitter-Idee 226 — Der Algorithmus 227 — Der Übergang zwischen den Gittern230—Aufgaben234 §2. KonvergenzvonMehrgitterverfahren 235 Diskrete Normen 236 — Verknüpfung mit den Sobolev-Normen 238 — Approximationseigenschaft 240 — Konvergenzbeweis für das Zweigitter- verfahren241—AndereKonzepte242—Aufgaben244 §3. KonvergenzbeimehrerenEbenen 245 EineRekursionsformelfürdenW-Zyklus245—DieVerschärfungfürdie Energienorm246—DerKonvergenzbeweisfürdenV-Zyklus248—Auf- gaben251 §4. BerechnungvonStartwerten 252 Bestimmung von Startwerten 253 — Komplexität 254 — Mehrgitterver- fahren mit wenigen Ebenen 255 — Das cascadische Mehrgitterverfahren 256—Aufgaben257 §5. AnalysevonMehrgitterverfahren 258 Das Schwarzsche alternierende Verfahren 259 — Algorithmen mit Teil- raumzerlegungen aus algebraischer Sicht 261 — Hypothesen 262 — Di- rekteFolgerungen263—KonvergenzdermultiplikativenMethode264— Nachweis der HypotheseA.1 266 — Lokale Gitterverfeinerungen 267 — Aufgaben268 §6. NichtlineareProbleme 269 Mehrgitter-Newton-Verfahren270—DasnichtlineareMehrgitterverfahren 271—Startwerte273—Aufgaben274 KapitelVI FiniteElementeinderMechanikelastischerKörper 275 §1. EinführungindieElastizitätstheorie 276 Kinematik 276 — Gleichgewichtsbedingungen 278 — Die Piola-Trans- formation280—Materialgesetze281—LineareMaterialgesetze285 §2. HyperelastischeMaterialien 287 Aufgaben289 §3. LineareElastizitätstheorie 290 DasVariationsproblem290—DiereineVerschiebungsmethode294—Die gemischte Methode nach Hellinger und Reissner 297 — Die gemischte MethodenachHu–Washizu299—Aufgaben301
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