Finite-Elemente-Methode: Lehrbuch Grundbegriffe der Energiemethoden und FEM in der linearen Elastostatik

209 Pages·1985·11.135 MB·German

by  Wilfried Gawehn

Wilfried Gawehn
Finite-Elemente-
Methode
Lehrbuch, Grundbegriffe der
Energiemethoden und FEM in
der linearen Elastostatik
Wilfried Gawehn
FINITE
ELEMENTE
METHODE
..-----Aus dem Programm
Maschinenbau /Informatik
FINITE-ELEMENTE-METHODE
Lehrbuch
Grundbegriffe der Energiemethoden und
FEM in der linearen Elastestatik
von Wilfried Gawehn
FINITE-ELEMENTE-METHODE
FORTRAN-Programm für die Elemente
Stab, Balken und Scheibendreieck,
von Wilfried Gawehn
Elemente der Mechanik,
Band 2: Elastostatik,
von Theodor Lehmann
Stabtragwerke
Matrizenmethoden der Statik und Dynamik,
Teil 1: Statik,
von Michael Lawo und Georg Thierauf
Einführung in die Methoden der
Numerischen Mathematik
von Wolfgang Böhm und Günther Gose
CAD-Systeme
Grundlagen und Anwendungen der
geometrischen Datenverarbeitung,
von Erwin Lacher
"'-------Vieweg ------------------"
Wilfried Gawehn
FINITE-ELEMENTE-METHODE
Lehrbuch
Grundbegriffe der Energiemethoden und
FEM in der linearen Elastostatik
Mit 105 Abbildungen
und 63 Beispielen
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
1985
Alle Rechte vorbehalten
©Springer Fachmedien Wiesbaden 1985
Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1985
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Umschlaggestaltung: Peter Neitzke, Köln
ISBN 978-3-528-03354-5 ISBN 978-3-663-14122-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-14122-8
VORWORT
Die Finite-Element-Methode hat sich in den letzten 2 Jahrzehnten zu
einem der wichtigsten Näherungsverfahren einer Reihe von Feldproblemen wie
der Festig~itslehre, Strömungslehre, Elektrotechnik usw. entwickelt. Die
Auswahl deutschsprachiger Literatur ist momentan relativ klein, während es
eine große Auswahl englischsprachiger Lehrbücher gibt. Der Verfasser formu
liert hier die FEM innerhalb der linearen Elastizitätstheorie. Mit diesem
Buch soll dem Interessierten ein erster Einstieg in die FEM ermöglicht wer
den. Es ist geeignet sowohl für Studenten der technischen Studiengänge, die
sich erstmalig mit der Methode beschäftigen als auch für praktisch tätige
Ingenieure, die sich zu ihrer Anwendung in der FEM ein gewisses Hinter
grundwissen aneignen wollen.
Das Buch ist aus einer Vorlesung entstanden, die der Verfasser seit
1981 an der FH Osnabrück für Studenten des Fachbereichs Maschinenbau hält.
Die FEM als Anwendung auf die Festigkeitslehre kann nur entwickelt werden,
wenn die mathematischen Grundlagen sowohl der linearen Elastizitätstheorie
als auch der FEM bekannt sind. Deshalb werden einerseits die notwendigen
Sachverhalte der Matrizenrechnung, linearer Gleichungssysteme, der Inte
gralsätze und der Variationsrechnung wie andererseits Grundlagen der line
aren Elastizitätstheorie, z.B. der Energiesatz und das Prinzip vom Minimum
der totalen potentiellen Energie, ausführlich vorgetragen. Dem Leser stehen
damit alle notwendigen Grundbegriffe zur Verfügung. Vorausgesetzt werden
nur Grundelemente der Analysis und Vektorrechnung.
Das Verfahren der FEM wird auf die Verschiebungsmethode beschränkt. Hat
der Anfänger das Prinzip der FEM verstanden, kann er leicht auf andere An
wendungsbereiche wechseln.
Zur linearen Elastizitätstheorie ist anzumerken, daß es sich um eine
zweifach lineare Theorie handelt. Erstens wird angenommen, daß bei der ge
ringen Größe der Verzerrungen ein linearisierter Zusammenhang zwischen
Verzerrungen und Verschiebungen ausreicht. Zweitens werden die physika
lischen Eigenschaften des Werkstoffs durch das Hooke'sche Gesetz beschrie
ben, das einen linearen Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen
herstellt.
In einem Folgeband wird ein in FORTRAN IV erstelltes FEM-Programm vor
gestellt, das die Elemente Stab (2D,3D), Balken (2D,3D) und Scheibendrei-
eck realisiert. Osnabrück, Sept. 1984
Wilfried Gawehn
V
INHALTSVERZEICHNIS
Seite
1.1 GRUNDBEGRIFFE DER MATRIZENRECHNUNG l
1.1.1 Matrizen l
1.1.2 Rechenoperationen 4
1.1.3 Koordinatentransformationen 13
1.2 LÖSUNGSVERFAHREN FüR LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 19
1.2.1 Der Gauß'sche Algorithmus 19
1.2.2 Berechnung der inversen Matrix 26
1.2.3 Der verkettete oder LR-Algorithmus 28
1.2.4 LR-Zerlegung für symmetrische Matrizen (Cholesky-Verfahren) 31
2 SPANNUNGEN 34
2.1 Der Spannungsbegriff 34
2.2 Der dreiachsige Spannungszustand 37
2.3 Der ebene Spannungszustand 44
3.1 DIE DEFORMATION DES BELASTETEN KÖRPERS 48
3.1.1 Die Taylorentwicklung 48
3.1.2 Die Bewegung eines Körpers unter Belastung 50
3.2 DIE STOFFGESETZE 55
3.3 DIE GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN AM BELASTETEN KÖRPER 60
3.4 DIE GLEICHUNGEN DES BELASTETEN DREIDIMENSIONALEN KÖRPERS 62
3.4.1 Der gelagerte Körper 62
3.4.2 Lösungsansätze 65
4.1 INTEGRALSÄTZE 73
4.1.1 Kurvenintegrale 73
4.1.2 Mehrfachintegrale 78
4.2 DER ENERGIESATZ DER LINEAREN ELASTIZITÄTSTHEORIE 84
4.2.1 Die innere Energie oder Formänderungsenergie 84
4.2.2 Der Energiesatz 89
4.2.3 Die Einheitslastmethode 92
4.2.4 Der erste Satz von Castigliano 93
4.2.5 Die Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix 97
VI
Seite
5 DIE MATRIXSTEIFIGKEITSMETHODE 100
5.1 Die Verschiebungsmethode für Stabwerke 101
5.2 Die Verschiebungsmethode für Balkensysteme 109
5.3 Allgemeine Beschreibung der FE-Methode 115
5.4 Ersatzlasten 126
6.1 VARIATIONSMETHODEN 132
6.1.1 Variationsprobleme für Funktionen einer Veränderlichen 132
6.1.2 Variationsprobleme für Funktionenzweier Veränderlicher 139
6.1.3 Variationsmethoden in der linearen Elastizitätstheorie 144
6.2 DIE FORMULIERUNG DER FEM OBER DAS PRINZIP VOM 151
MINIMUM DER TOTALEN POTENTIELLEN ENERGIE
6.2.1 Die Konstruktion am Beispiel des ebenen Stabelements 151
6.2.2 Ein Verschiebungsansatz für das ebene Scheibendreieck 163
6.2.3 Konstruktion der ES-Matrix und Aufbau der GS-Matrix 174
für den allgemeinen Fall
6.2.4 Darstellung von stetig verteilten Volumen- und Flächenlasten 184
6.2.5 Auswahlkriterien für Verschiebungsansätze 187
VERZEICHNIS DER BEISPIELE 190
VERWENDETE FORMELZEICHEN 193
LITERATURVERZEICHNIS 196
SACHVERZEICHNIS 198
VII
1.1 GRUNDBEGRIFFE DER MATRIZENREOINUNG
1.1.1 Matrizen
Ein lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen mit n Unbekannten hat fol
gendes Aussehen:
allxl + a12x2 + + alnxn bl
a21x1 + a22x2 + + a2nxn b2
ailxl + ai2x2 + ... + al. nx n bl.
amlxl + am2x2 + · • · + am nX n bm ( 1.1)
Dabei sind die Größen x1, x2, ... ,xn die Unbekannten, die in der 1. Potenz,
d.h. linear vorkommen. Sie werden mit den vorgegebenen Koeffizienten a .. ,
lJ
i = l, ... ,m j = l, ... ,n verknüpft und ergeben auf den rechten Seiten
der Gleichungen die bekannten Größen b1, b2, ... ,bm.
Die Koeffizienten dieses Gleichungssystems bilden ein Rechteckschema
von reellen Zahlen:
all al2 alj aln
a21 a22 a2j a2n
A
ail ai2 a l.J. al. n -i-te Zeile
aml am2 am j am n (1.2)
. t
J-te Spalte
Wir nennen ein solches Rechteckschema eine Matrix. Matrizen werdem mit gro
ßen Buchstaben bezeichnet. Man kann die obige Matrix A auch abkürzend
schreiben:
i = 1, ... ,m
A
j = 1, .. . ,n
Die Matrix A besteht aus m Zeilen und n Spalten. Wir sagen auch, Aisteine
(m,n)-Matrix. Wir haben es hier nur mit Matrizen über dem Körper der reellen
Zahlen zu tun, aijE R.
Zu linearen Gleichungssystemen aus n Gleichungen mit n Unbekannten ge
hört die Matrix
A i,j = 1, ... ,n ,
d.h. eine (n,n)-Matrix. Eine solche Matrix heißt eine quadratische Matrix.
Vektoren sind auch Matrizen, wenn wir sie komponentenweise in einem
Koordinatensystem erfassen. Der Vektor
-
a (1. 3)
a
n
kann daher als (n,l)-Matrix aufgefaßt werden. Einen so geschriebenen Vektor
nennen wir auch Spaltenvektor. Der Vektor
b = ( 1.4)
ist eine (l,m)-Matrix. Wir bezeichnen ihn auch als Zeilenvektor. Im folgenden
definieren wir spezielle Matrizen.
Bei quadratischen Matrizen sprechen wir von einer Einheitsmatrix I,
wenn die Diagonalelemente aii, i=l, ... ,n den Wert 1 haben und alle ande-
ren Elemente 0 annehmen:
l 0 0 0 0
0 l 0 0 0
0 0 1 0 0
I
0 0 0 ... 0 l
bzw. kurz I ( aij) , wobei a .. = { l für i=j} , i,j=l, ... ,n .
lJ 0 für i,ij
Die Einheitsmatrix ist ein spezieller Fall der Diagonalmatrix. die
außerhalb der Diagonalen nur Nullen, auf der Diagonalen beliebige Werte an-
nehmen kann:
all 0 0 0
0 a22 0 0
D 0 0 a33· · · 0
0 0 0 ... a
nn
oder kurz D = (aij) , aij 0 für i#j .
Nun treten speziell in der Finite-Element-Methode Matrizen auf, bei
denen nur in der HauptdiAgonalen und einigen benachbarten Nebendiagonalen
Zahlenwerte # 0 auftreten. Solche Matrizen heißen Bandmatrizen.
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