Finite Elemente in der Statik und Dynamik

363 Pages·2014·5.4 MB·German

by  Michael Link (auth.)

Finite Elemente in der Statik und Dynamik
Michael Link
Finite Elemente in
der Statik und Dynamik
4., korrigierte Aufl age
Michael Link
Vellmar, Deutschland
ISBN 978-3-658-03556-3 ISBN 978-3-658-03557-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-03557-0
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Lektorat: Ralf Harms, Annette Prenzer
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Vorwort zur vierten Auflage
Die vorliegende vierte Auflage stellt eine korrigierte Fassung der dritten Auflage dar,
bei der nicht nur eine Korrektur der Druckfehler vorgenommen wurde. Zusätzlich
erfolgte eine Überarbeitung der Formulierungen, insbesondere in den Kapiteln zur
Strukturdynamik, um die Verständlichkeit der theoretischen Zusammenhänge zu
verbessern. Außerdem wurden im Literaturverzeichnis einige zusätzliche Referenzen
aufgenommen. Die Inhalte sind unverändert beibehalten worden.

Kassel, April 2014 Michael Link

Vorwort zur dritten Auflage
Das vorliegende Buch entstand aus den Vorlesungsreihen „Finite Elemente“ und
„Tragwerksdynamik“, die der Verfasser an der Universität Gesamthochschule Kassel
für Bauingenieur- und Machinenbaustudenten im Haupt- und Vertiefungsstudium
hält. Es baut darauf auf, dass der Leser mit den Grundlagen der Matrizenrechnung und
der numerischen Mathematik (lineare Gleichungen) vertraut ist.
Das Buch zielt nicht so sehr auf die Darstellung der numerischen Methoden der
Mathematik, ohne die die Realisierung der Methode der Finiten Elemente (FEM) auf
dem Computer nicht denkbar ist, sondern mehr auf die Darstellung des
strukturmechanischen Hintergrunds. Dies begründet sich daraus, dass dem heute in
der Praxis tätigen Ingenieur FEM-Computersoftware als Werkzeug der
Konstruktionsanalyse und -optimierung schon zur Verfügung steht und nicht erst
entwickelt werden muss. Für den Anwender von FEM-Software ist es jedoch
unerlässlich, den strukturmechanischen Hintergrund der Methode zu kennen, da seine
Hauptaufgabe mehr darin besteht, die reale Konstruktion zu idealisieren, d.h. ein FE-
Modell zu erstellen und die Computerergebnisse zu interpretieren, als die
Computerprogramme selbst zu entwickeln. Modellbildung und Ergebnisinterpretation
sind jedoch nur durch das Verständnis der strukturmechanischen Grundlagen möglich.

Nach einer elementaren Einführung der FEM im Kap.2 an Hand einer einfachen
Fachwerkstruktur werden im Kap.3 die Grundlagen der linearen Elastizitätstheorie
dargestellt. Hierbei spielt das Prinzip der virtuellen Verschiebungen und das dazu
äquivalente Prinzip vom stationären Wert der Gesamtenergie eine besondere Rolle, da
das darauf basierende Ritzsche Verfahren anschließend im Kap.4 zur mathematischen
Begründung der FE-Methode dient. Zur Verdeutlichung dieser Äquivalenz wurden im
Vergleich zu den vorangegangenen Auflagen die diesbezüglichen Kap.3.6.2 und 3.6.4
V I Vorwort
ergänzt. Außerdem wurde ein Kapitel über erweiterte Variationsprinzipe
aufgenommen, die die Grundlage für die sog. gemischten oder hybriden Elemente
bilden.
Die Auswahl und die Darstellung der verschiedenen Elementtypen im Kap.5
erfolgte zum einen unter dem Gesichtspunkt, inwieweit die Elemente Eingang in die
Praxis gefunden haben, zum anderen aber auch unter dem didaktischen Gesichtspunkt
der Einfachheit der Formulierung. So werden beispielsweise, die Koeffizienten der
Elementmatrizen von Dreieck- und Rechteckelementen so weit wie möglich in
analytischer Form angegeben, um damit die Interpretation des Elementverhaltens zu
erleichtern. Im Vergleich zu den vorangegangenen Auflagen hat das Kap.5 die größte
Erweiterung erfahren. Im Einzelnen sind hinzugekommen:
Beim Balkenelement Erweiterungen zur Berücksichtigung der Einflüsse aus
Schubverformungen und großen Verschiebungen (Theorie II. Ordnung, Stabilitätsfälle
Knicken, Kippen und Biegedrillknicken), bei den Scheibenelementen die Aufnahme
der hierarchischen Elemente (p-Elemente), die der Reduktion der
Diskretisierungsfehler durch Erhöhung der Ordnung der Ansatzpolynome dienen. Bei
den schubstarren Plattenelementen (Kirchhoff- Theorie) wurde das DKT-
Dreieckelement detailliert in einer neuen Formulierung aufgenommen. Neu sind
außerdem zwei Kapitel mit der Beschreibung schubweicher Plattenelemente
(Reissner- Mindlin Theorie), die sich in der Anwendungspraxis bewährt haben. Zu
allen Elementen wurden zusätzliche Beispiele zur Demonstration ihrer
Konvergenzeigenschaften aufgenommen.
Der Dynamikteil des Buches beginnt im Kap.7 mit der Herleitung der diskreten
Bewegungsgleichungen auf der Grundlage des Prinzips der virtuellen Verschiebungen
und des Hamiltonschen Prinzips, wodurch eine konsequente Erweiterung der im
Kap.3 für statische Lasten benutzten Annahmen und Prinzipien erreicht wird.
Nach der Darstellung zweier Kondensierungsverfahren zur Reduktion der Ordnung
des FE-Modells im Kap.8 wird das Eigenschwingungsproblem im Kap.9 behandelt.
Zusätzlich zur Theorie des ungedämpften Eigenwertproblems (=> reelle
Eigenschwingungsgrößen) wurde im Kap.9.2.2 das Eigenwertproblem des gedämpften
Mehrfreiheitsgrad-Systems aufgenommen (=> komplexe Eigenschwingungsgrößen).
Numerische Lösungsverfahren zur Lösung des reellen oder des komplexen
Eigenwertproblems werden nicht behandelt, ihre „Black Box“ - Existenz in Form
entsprechender Computerprogramme wird jedoch bei der Anwendung auf Systeme
mit mehr als zwei oder drei Freiheitsgraden vorausgesetzt.
Das Kap.11 enthält die wichtigsten Verfahren zur Berechnung der Strukturantwort
bei freien Schwingungsvorgängen sowie bei periodischen und nicht - periodischen
Erregerfunktionen einschließlich der Methode der Antwortspektren zur Berechnung
der Strukturantwort bei Fußpunkterregung durch Erdbeben. Im Vergleich zu den
vorangegangenen Auflagen, wurde die allgemeine Theorie des proportional oder
nicht-proportional gedämpften Mehrfreiheitsgrad- Systems vervollständigt. Vor der
Behandlung des Mehrfreiheitsgrad- Systems erfolgt immer die Darstellung des
Schwingers mit einem Freiheitsgrad. Zur Behandlung von nicht-periodischen
Erregerkraftfunktionen wurde die Fouriertransformation zur Lösung der
Vorwort VII
Bewegungsgleichung im Frequenzbereich und das Übertragungsverfahren zur
direkten Integration der Bewegungsgleichung im Zeitbereich aufgenommen.
Vom Kap.8 ab dient ein einfaches aber typisches Standardbeispiel nicht nur dazu die
Anwendung der abgeleiteten Gleichungen zu zeigen, sondern auch um den Einfluss
der elastodynamischen Tragwerksparameter (Eigenfrequenzen, Eigenformen, modale
Massen, etc.) auf das Verhalten dynamisch beanspruchter Tragwerke zu
veranschaulichen. Anwendungsbeispiele aus der Praxis des Bauwesens und des
Maschinenbaus finden sich am Ende des Buches im Kap.12.
Mit Ausnahme des Balkenelementes, für das die Elementmatrizen nach Theorie II.
Ordnung aufgenommen wurden, ist die vorliegende Darstellung der FE-Methode auf
die lineare Theorie beschränkt. Das heißt, es wird vorausgesetzt, dass das
Werkstoffverhalten linear ist, und dass die Verschiebungen klein im Vergleich zu den
Abmessungen der Struktur sind. Diese Annahmen sind in der Praxis bei den weitaus
meisten technischen Anwendungen möglich. Sie stellen außerdem die Basis für alle
weitergehenden Formulierungen im nicht-linearen Bereich dar.
Das Buch basiert nicht nur auf den langjährigen Lehrerfahrungen sondern auch auf
den Erfahrungen des Verfassers und seiner Mitarbeiter aus gemeinsam mit der
Industrie durchgeführten Projekten. Der Verfasser hofft, dass er seinem Ziel gerecht
geworden ist, die wichtigsten Grundlagen nicht nur der Statik sondern insbesondere
auch der Dynamik der Tragwerke erfasst zu haben, auf denen heute alle großen FE
Softwareprodukte aufbauen. Da dieses Ziel mit einem nur einbändigen Werk erreicht
werden sollte, bestand die Aufgabe in der optimalen Auswahl aus der Vielfalt der
Verfahren, insbesondere bei der Auswahl der Elementformulierungen.
Praktisch alle der in dem Buch beschriebenen Verfahren wurden im Verlauf der
Jahre vom Verfasser und seinen Mitarbeitern in das Lehrprogramm MATFEM
implementiert. Das Programm, in der Programmiersprache MATLAB(cid:163) geschrieben,
dient als Softwarewerkzeug zur Entwicklung neuer Verfahren und wird von
Studierenden bei ihren Praktika zur Bearbeitung realistischer Anwendungsbeispiele
eingesetzt. Das Handbuch zum Programm kann unter der Internetadresse
http://www.uni-kassel.de/fb14/leichtbau heruntergeladen werden. Außerdem gibt es
dort Hinweise zum Erwerb des Programms.
Abschließend möchte sich der Verfasser bei den Mitarbeitern und Mitarbeiterinnen
des Fachgebietes Leichtbau an der Universität Kassel für die Mithilfe bei der
Entwicklung der Lehrprogramms MATFEM, für die Nachrechnung und
Ausarbeitung der Beispiele sowie für die Durchführung der Zeichen- und
Korrekturarbeiten bei der Herstellung der Druckvorlage bedanken. Mein Dank gilt
insbesondere Herrn Dr.-Ing. Mattias Weiland, Herrn Dipl.-Ing. Yves Govers und
Frau Fei Yu.

Kassel, Juli 2001 Michael Link
Inhalt
1 Einleitung 1
2 Der Grundgedanke der Methode der finiten Elemente 3
3 Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie 20
3.1 Gleichgewichtsbedingungen ..................................................................................... 20
3.2 Zusammenhang Verzerrung – Verschiebung ............................................................ 23
3.3 Das Transformationsverhalten von Spannungen und Verzerrungen ......................... 25
3.4 Das Werkstoffgesetz .................................................................................................. 30
3.4.1 Das Hookesche Gesetz .................................................................................. 30
3.4.2 Das Wärmedehnungsgesetz ........................................................................... 35
3.4.3 Transformation des Werkstoffgesetzes .......................................................... 36
3.5 Innere und äußere Energie ......................................................................................... 39
3.6 Prinzipe der Mechanik bei statischen Lasten ............................................................ 44
3.6.1 Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen ................................................... 44
3.6.2 Diskretisierung der Verschiebungsfelder mit Hilfe von
Einheitsverschiebungs-Funktionen ................................................................ 49
3.6.3 Variation, virtuelle Verschiebung und stationärer Wert eines
Funktionals .................................................................................................... 54
3.6.4 Das Prinzip vom stationären Wert der Gesamtenergie ................................. 57
3.6.4.1 Die Grundaufgabe der Variationsrechnung beim Zug/Druckstab .... 58
3.6.4.2 Das Verfahren von Ritz .................................................................... 60
3.6.4.3 Transformation des Ritzschen Gleichungssystems auf
Kraft-Verschiebungsbeziehungen .................................................... 64
3.6.4.4 Darstellung der Ritz-Ansätze durch Einheitsverschiebungs-
Funktionen ........................................................................................ 66
3.6.5 Erweiterte Variationsprinzipe ........................................................................ 67
4 Die Finite Elemente Methode als verallgemeinertes Verfahren von Ritz 72
4.1 Bereichsweise Diskretisierung der Verschiebungsfelder ......................................... 74
4.2 Konvergenzbedingungen ........................................................................................... 76
5 Elementsteifigkeitsmatrizen 80
5.1 Grundlegende Annahmen .......................................................................................... 80
5.2 Das Balkenelement .................................................................................................... 80
5.2.1 Elementmatrix für Normalkraft, Torsion und Biegung ................................. 80
5.2.2 Einfluß großer Verformungen (Theorie 2.Ordnung) ..................................... 97
5.2.3 Transformation auf globale Koordinaten ..................................................... 109
5.3 Scheiben- und Volumenelemente ............................................................................ 112
5.3.1 Das Dreieckselement mit konstanten Verzerrungen (CST) ......................... 112
5.3.2 Das rechteckige Scheibenelement ............................................................... 116
5.3.3 Die isoparametrische Elementfamilie .......................................................... 119
5.3.3.1 Transformation auf Einheitselemente ............................................ 119
X Inhalt
5.3.3.2 Elementsteifigkeitsmatrizen ........................................................... 124
5.3.3.3 Spannungen im Element ................................................................ 129
5.3.4 Hierarchische Elemente (p- Elemente) ........................................................ 137
5.4 Plattenelemente ....................................................................................................... 148
5.4.1 Schubstarre Plattenelemente nach der Theorie von Kirchhoff .................... 148
5.4.2 Schubweiche Plattenelemente nach der Theorie von Reissner-
Mindlin ........................................................................................................ 155
5.4.2.1 Das DKT Dreieckelement .............................................................. 158
5.4.2.2 Plattenelemente mit unabhängigen Ansätzen für die
Schubverzerrungen ......................................................................... 165
5.4.2.3 Ein schubweiches viereckiges Plattenelement ............................... 172
5.4.3 Schubweiche isoparametrische Plattenelemente ........................................ 179
5.5 Schalenelemente ..................................................................................................... 193
5.5.1 Ebene Schalenelemente ............................................................................... 198
5.5.2 Rotationssymmetrische Schalenelemente ................................................... 202
6 Äquivalente Lastvektoren für verteilte Lasten und
Temperaturänderungen 209
7 Das Prinzip de virtuellen Verschiebungen in der Dynamik,
Hamiltonsches Prinzip und Bewegungsgleichungen 213
7.1 Äquivalente Massenmatrizen ................................................................................. 220
7.2 Starre Massen ......................................................................................................... 225
7.3 Dämpfungseigenschaften der Elemente .................................................................. 229
7.4 Statische und dynamische Randbedingungen ......................................................... 230
8 Kondensierung der Bewegungsgleichungen 238
8.1 Geometrische Abhängigkeitstransformation ........................................................... 239
8.2 Statische Kondensation ........................................................................................... 241
8.3 Teilstruktur-Technik ................................................................................................ 244
9 Das Eigenschwingungsproblem 245
9.1 Das ungedämpfte Eigenschwingungsproblem ....................................................... 246
9.1.1 Der ungedämpfte Einfachschwinger ........................................................... 246
9.1.2 Der ungedämpfte Mehrfachschwinger ........................................................ 247
9.1.2.1 Eigenfrequenzen ............................................................................ 247
9.1.2.2 Eigenformen .................................................................................. 248
9.1.2.3 Eigenschaften der Eigenformen .................................................... 251
9.1.2.4 Zur numerischen Lösung des Eigenwertproblems ......................... 254
9.2 Das gedämpfte Eigenschwingungsproblem ............................................................ 254
9.2.1 Der gedämpfte Einfachschwinger ................................................................ 254
9.2.2 Der gedämpfte Mehrfachschwinger ............................................................ 257
10 Modale Transformation der Bewegungsgleichungen und Teilstruktur-
Kopplung 262
10.1 Spektralzerlegung der Systemmatrizen .................................................................. 267
10.2 Modale Kondensation der Bewegungsgleichungen und Teilstruktur-Kopplung ... 268
Inhalt XI

10.2.1 Die Hurty-Craig-Bampton (HCB) Transformation .................................... 268
10.2.2 Die Martinez-Craig-Chang (MCC) Transformation ................................... 273
10.2.3 Teilstruktur-Kopplung ................................................................................ 277
11 Berechnung der dynamischen Antwort 279
11.1 Freie Schwingungen ................................................................................................ 279
11.1.1 Der gedämpfte Einfachschwinger ................................................................ 280
11.1.2 Der gedämpfte Mehrfachschwinger ............................................................ 281
11.2 Periodische Erregerkraft- Funktionen ..................................................................... 287
11.2.1 Dynamische Antwort des gedämpften Einfachschwingers bei
harmonischer Erregung ................................................................................ 290
11.2.2 Dynamische Antwort des gedämpften Mehrfachschwingers bei
harmonischer Erregung ............................................................................... 295
11.3 Nicht-periodische Erregerkraft- Funktionen ........................................................... 309
11.3.1 Die Fourier- Transformation ........................................................................ 309
11.3.2 Das Duhamel-Integral ................................................................................. 313
11.3.3 Diskrete Erregerkraft- Funktionen .............................................................. 317
11.3.4 Antwortspektren .......................................................................................... 321
12 Anwendungsbeispiele aus der Praxis 326
12.1 Auslauftrichter eines Getreidesilos ......................................................................... 326
12.2 Hohlleiter-Antenne .................................................................................................. 328
12.3 Schwingungstilger .................................................................................................. 330
12.4 Tribünendachträger ................................................................................................ 333
12.5 Baugruppe eines Flugtriebwerks ............................................................................. 335
Literatur 341
Sachregister 349