Festkörper-Kontinuumsmechanik: Von den Grundgleichungen zur Lösung mit Finiten Elementen

383 Pages·2003·8.378 MB·German

by  Priv. Doz. Dr.-Ing. Horst Parisch (auth.)

Horst Parisch
Festkorper-Kontinuumsmechanik
Von den Grundgleichungen zur Losung mit Finiten Elementen
Horst Parisch
Festkorper
Kontinuumsmechanik
Von den Grundgleichungen zur
Losung mit Finiten Elementen
Mit 37 Abbildungen und 9 Tabellen
lrn
Teubner
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig' Wiesbaden
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Priv. Doz. Dr.-Ing. Horst Parisch, Institut fOr Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkon
struktionen der Universitat Stuttgart
1. Auflage 2003
Aile Rechte vorbehalten
© B. G. Teubner Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden, 2003
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ISBN-13:978-3-519-00434-9 e-ISBN-13:978-3-322-80052-7
001: 10.1007/978-3-322-80052-7
Fur rneine Farnilie
Vorwort
Das vorliegende Buch wendet sich an praktizierende Ingenieure und an Ingenieur
studenten hoheren Semesters, die sich in das Gebiet der nichtlinearen Festigkeits
berechnung der FEM (Methode der Finiten Elemente) einarbeiten, oder aber be
reits vorhandene Kenntnisse vertiefen wollen. Dazu werden sowohl die notwen
dige Kontinuumsmechanik, als auch die sich daraus ergebende Formulierung der
FEM dargestellt.
Die FEM hat sich in der Praxis bewlihrt und kommt heute in allen Bereichen des
Ingenieurwesens zum Einsatz. Aufgrund steigender Rechnerleistung und vorhan
dener Software werden zunehmend nichtlineare Aufgabenstellungen behandelt.
Aus langjahriger Lehrerfahrung und Anwendung der FEM weiB ich, dass die Be
handlung nichtlinearer Aufgabenstellungen gewisse Anforderungen an den An
wender stellt, die dieser nur in den seltensten Fallen erfullen kann. Fur die richtige
und effiziente Anwendung der Rechenprogramme sollte er neben den pro gramm
bezogenen Kenntnissen auch Kenntnisse in der zugrundeliegenden Kontinuums
mechanik, in den daraus abgeleiteten Finiten Elementen und in den Losungsalgo
rithmen des Rechenprogrammes besitzen. Jedes dieser Teilgebiete ware es wert,
in einem eigenen Buch behandelt zu werden. Insbesondere fUr die Kontinuums
mechanik gibt es eine Vielzahl guter Bucher, von denen wir die deutschsprachigen
Bucher von 1. und H. Altenbach [1] und das Buch von E. Becker und W. Burger [6]
herausgreifen wollen, die die Kontinuumsmechanik fur den Ingenieur in verstiind
licher Form vorstellen. Das hier oft zitierte Buch von Marsden und Hughes [55]
prasentiert die Kontinuumsmechanik in modemer, mathematisch exakter Darstel
lung, die aber fUr den praktizierenden Ingenieur oft schwer verstandlich ist.
In neuerer Zeit sind einige Bucher erschienen, die neben der Darstellung der
Kontinuumsmechanik, auch die sich daraus ergebende Formulierung der Finiten
Elemente-Matrizen beinhalten. Aus diesem Angebot seien die folgenden Bucher
herausgegriffen, die sich zur Vertiefung und Erganzung des dargestellten Stoffes
anbieten: Crisfield [20], Bonet und Wood [13], Holzapfel [38], Wriggers [115]
Belytschko, Wing Kam Liu und Brian Moran [7].
VIII
1m vorliegenden Buch wird die Kontinuumsmechanik, die grundsatzliche Vor
gehensweise zur Erstellung der Finiten-Elemente-Matrizen zur Naherungs16sung
samt Losungsalgorithmen und Anwendungsbeispielen prasentiert.
Das Lesen des Buches setzt mathematische Kenntnisse voraus. Dies sind Kennt
nisse in der Tensorrechnung, die fUr die Darstellung der Kontinuumsmechanik
verwendet wird und Kenntnisse in der Matrizenrechnung, die in dem Teil, der die
Finiten Elemente behandelt, ihre Anwendung findet. Da nicht jeder Leser glei
chermaBen mit der Tensorrechnung vertraut ist, gebe ich im ersten Kapitei eine
kurze EinfUhrung in die Tensorrechnung. Der Leser, der schon dieses Teilgebiet
der Mathematik beherrscht, kann diesen Teil iiberspringen und, nachdem er sich
mit der im folgenden Abschnitt festgelegten Nomenklatur vertraut gemacht hat,
mit dem zweiten Kapitei fortfahren. Dort werden die Begriffe Kontinuum und phy
sikalisches Feld definiert und eine ganzheitliche Darstellung der physikalischen
Felder iiber dem Kontinuum gegeben.
1m anschlieBenden dritten Kapitei wird die mathematische Beschreibung der Be
wegung und der Deformation des Kontinuums behandelt. Neben der Herleitung
der zur Messung der Deformation benotigten Deformations- und Verzerrungsten
soren werden die wichtigen Transformationen zwischen der undeformierten Kon
figuration und der deformierten Konfiguration aufgestellt. 1m Hinblick auf die
numerischen Losungsverfahren werden die Ableitungen der tensoriellen GroBen
nach der Zeit und nach der Deformation angegeben. Besondere Aufmerksamkeit
gilt der Lie-Ableitung, die mit Hilfe eines Skalars gerechtfertigt und anschaulich
gemacht wird.
1m vierten Kapitei werden die unterschiedlichen Spannungstensoren eingefiihrt
und ihre Bedeutung fUr die Formulierung der sich anschlieBenden Bilanzgleichun
gen aufgezeigt. 1m Hinblick auf die Einbeziehung der Thermodynamik in die nu
merischen Berechnungsverfahren, werden die mechanischen Bilanzgleichungen
durch den ersten und zweiten Hauptsatz der Thermodynamik erganzt.
Imftinften Kapitei werden die konstitutiven Gleichungen fUr ein hyperelastisches
Stoffmodell zusammengestellt. Diese Gleichungen basieren auf einem elastischen
Potential, das als Funktion der Invarianten des Deformationstensors formuliert
wird. Zur Beschreibung inkompressiblen Materialverhaltens, sowie fUr die Ver
wendung der Stoffgesetze in der, im nachsten Kapitel behandelten Formulierung
der Plastizitatstheorie, wird eine Aufteilung des elastischen Potentials in den de
viatorischen und den dilatatorischen Anteil vorgenommen.
Das sechste Kapitei beschreibt das elastoplastische Materialverhalten und seine
numerische Behandlung im Rahmen der FlieBtheorie nach von Mises mit isotroper
IX
Verfestigung. Ausgehend yom Prinzip yom Maximum der plastischen Dissipati
onsleistung, werden die Evolutionsgleichungen der Plastizitatstheorie entwickelt
und der Unterschied zwischen der Theorie kleiner und der Theorie endlicher Ver
zerrungen aufgezeigt. Den elastischen Zustandsanderungen des Materials wird
ein hyperelastischer Potentialansatz zugrunde gelegt. Dieser erlaubt die Behand
lung von Werkstoffen, bei denen neben den plastischen Verzerrungen auch elasti
sche Verzerrungen beliebiger GroBe auftreten konnen. Die Berechnung des ela
stoplastischen Materialverhaltens im Rahmen eines numerischen Verfahrens wird
ausftihrlich dargestellt. Dabei steht die Integration der Evolutionsgleichungen im
Vordergrund der Betrachtungen. Vorgeschlagen wird ein Produktalgorithmus, der
die Integration in zwei Integrationsschritten fiir das elastische und das plastische
Teilproblem ausfiihrt. Besondere Effizienz gewinnt die Formulierung im Haupt
achsensystem des elastischen Deformationstensors. Die nichtlineare Evolutions
gleichung des plastischen FlieBens wird mit dem Newtonschen Verfahren ge16st.
Dazu wird eine konsistente Materialtangente bereitgestellt. 1m letzten Abschnitt
des Kapitels wird die Plastizitatstheorie ftir thermomechanische Aufgabenstellun
gen erweitert. Die Kopplung des mechanischen Feldes mit dem thermischen Feld
wird durch das Einbeziehen der plastischen Dissipationsarbeit als Warmequelle
in die thermische Evolutionsgleichung hergestellt.
1m siebten Kapitei werden, ausgehend yom Gleichgewicht in schwacher Form, die
fiir die Naherungs16sung der Randwertaufgabe mit Finiten Elementen benotigten,
Matrizen hergeleitet. Betrachtet werden isoparametrische Verschiebungsmodelle
fiir die Losung des gekoppelten mechanisch-thermischen Feldproblems.
1m achten Kapitel werden Losungsalgorithmen diskutiert, wie sie bei der Berech
nung mit Finiten Elementen zur Anwendung kommen. Neben dem Standardal
gorithmus, basierend auf dem Newtonschen Verfahren, wird auch das selbststeu
ernde Bogenlangenverfahren vorgestellt. Das Bogenlangenverfahren wird in einer
allgemeinen Formulierung entwickelt, die als Grundlage fiir unterschiedliche Va
rianten des Verfahrens dient. Besonderer Wert wird dabei auf eine anschauliche
Darstellung gelegt.
1m abschlieBenden neunten Kapitel werden spezielle Elementformulierungen zur
Behandlung der gekoppelten thermo-mechanischen Aufgabenstellung vorgestellt
und deren numerisches Verhalten diskutiert. Die Formulierung stiitzt sich auf den
von Simo [95] vorgeschlagenen Drei-Feldansatz zur Berechnung endlicher plasti
scher Deformationen. Dokumentiert werden einfache Beispiele, die der Literatur
entnommen sind. Anhand dieser Beispiele wird die Effizienz der vorgestellten
Formulierung aufgezeigt, die groBe Rechenschritte erlaubt und deren Ergebnisse
in guter Ubereinstimmung mit den Vergleichslosungen sind.
x
Grundlage fUr dieses Buch war eine Habilitationsschrift, die ich unter dem Titel
-Hyperelastizitiit und Elastoplastizitiit unter allgemeiner Deformation-
an der Fakultiit fUr Luft- und Raumfahrttechnik der Universitiit Stuttgart einge
reicht habe und die 2002 erschienen ist. Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Kroplin und
Herrn Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing.E.h. Dr.h.c. Stein, die als Berichter das Habilitations
verfahren begleitet haben, sei an dieser Stelle nochmals gedankt.
Ermutigt durch Kollegen habe ich die Habilitationsschrift ergiinzt und insbesonde
re durch Hinzunahme des ersten Kapitels in die vorliegende Form gebracht. Dabei
war mir Herr Prof. em. H. Faiss wieder eine groBe Hilfe. Ihm gilt me in tiefemp
fundener Dank fUr seine zahlreichen Hinweise und fUr die miihevolle Arbeit des
Korrekturlesens.
Niirtingen, Dezember 2002 Horst Parisch
Inhalt
Nomenklatur und Formelzeichen xv
1 Mathematische Grundlagen 1
1.1 Einfiihrung in die Tensoralgebra 2
1.2 Summationsregel und Matrixschreibweise . 4
1.3 Duale Basissysteme ........... . 10
1.4 Vektorprodukt, Spatprodukt und Permutations tensor 15
1.5 Tensoralgebra. . . . . . . . . 19
1.6 Transformation von Tensoren 25
1.7 Tensordarstellung im Hauptachsensystem 31
1.8 Tensorfelder und Ableitung 38
1.8.1 Ubungsaufgaben . . . . . . 43
2 Das Kontinuum 49
2.1 Das mathematische Modell . 49
2.2 PhysikaIische Felder tiber dem Kontinuum 51
2.3 Diskrete Approximation des Kontinuums 56
3 Beschreibung der Kinematik 59
3.1 Konfiguration . . . . . . . . . . 59
3.2 Deformationsgradient und Verzerrung 62
3.2.1 Aufteilen der Verzerrung . . . . . . . 85
3.3 Beschreibung der Bewegung in der Zeit 87
3.4 Objektive Ableitung eines Tensorfeldes 97
XII Inhalt
3.5 Ableitung nach der Deformation . . . . . . 100
4 Bilanzgesetze der Kontinuumsmechanik 107
4.1 Spannungstensoren . . . . . . . . . . . . . 109
4.1.1 Objektive Zeitab1eitung des Spannungstensors 115
4.2 Mechanische Bilanzgleichungen . 119
4.2.1 Massenbilanz . . . 120
4.2.2 Impulsbilanz........... 121
4.2.3 Drehimpu1sbilanz......... 123
4.3 Bilanzgesetze der Thermodynamik . 125
4.3.1 Erster Hauptsatz der Thermodynamik 126
4.3.2 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik 129
4.3.3 Kalorische Zustandsgleichung und thermodynamische
Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 132
5 Konstitutive Gleichungen elastischer Werkstoffe 137
5.1 Hyperelastisches Material ....... . 137
5.1.1 Der dreiachsige Spannungszustand. . . . 140
5.1.2 Materialtensor bei gleichen Eigenwerten . 151
5.1.3 Dehnungsenergiefunktionen fUr hyperelastische Materialien 158
5.1.4 Der zweiachsige Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . 164
6 Plastizitiit 173
6.1 EinfUhrung in die Behandlung der Plastizitat 174
6.2 Bemerkungen zur FlieBtheorie, Beschrankung auf kleine Deh-
nungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 179
6.2.1 Das Prinzip yom Maximum der plastischen Dissipationsleistung 185
6.3 Plastizitat mit beliebig graBen Dehnungen . 189
6.3.1 Beschreibung der Kinematik . . . . . . . . 192
6.3.2 Aufstellen der Evolutionsgleichungen . . . 197
6.3.3 Zeitabhiingigkeit der Evolutionsgleichungen . 202
6.4 Integration der konstitutiven Gleichungen . . 204
6.4.1 Integration der Evolutionsgleichungen fur beliebige Deformationen211
6.4.2 Darstellung des Integrationsverfahrens im Hauptachsensystem .. 217
6.4.3 Lasung der Bestimmungsgleichung fur die elastischen Dehnun-
gen im Zeitschritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222