FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Elemente-Methode

342 Pages·1990·9.46 MB·German

by  Bernd Klein (auth.)

Bemd Klein
FEM
Grundlagen und
Anwendungen
~ __ Aus dem Programm ________- -....
Konstruktion/M echan i k
Die Finite-Elemente-Methode auf dem PC
Fachwerke - Durchlauftrager - Rahmen
Von Wolfgang Oldenburg
Finite-Elemente-Methode
Lehrbuch
Grundbegriffe der Energiemethoden
und FEM in der linearen Elastostatik
Von Wilfried Gawehn
FORTRAN IV/77-Programm
zur Finite-Elemente-Methode
Ein FEM-Programm fOr die Elemente
Stab, Balken und Scheibendreieck
Von Wilfried Gawehn
FEM
Grundlagen und Anwendungen
der Finite-Elemente-Methode
Von Bernd Klein
Das Standardwerk:
Die Methode der Finiten Elemente
in der elementaren Strukturmechanik
Von J. Argyris und H.-P. Mlejnek
Band I: Verschiebungsmethode in der Statik
Band II: Kraft- und gemischte Methoden,
Nichtlinearitaten
Band III: EinfOhrung in die Dynamik
'-____ Vievveg _______________
~
Bernd Klein
FEM
Grundlagen und Anwendungen
der Finite-Elemente-Methode
Mit 156 Abbildungen
I I
Vleweg
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Klein, Bernd:
FEM: Grundlagen und Anwendungen der
Finite-Elemente-Methode / Bernd Klein. -
Braunschweig: Vieweg, 1990
Der Verlag Vieweg ist sin Untemehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann Intemational.
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1990
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede
Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne
Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fOr
Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeiche
rung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Umschlaggestaltung: Peter Neitzke, Koln
ISBN-13: 978-3-528-05125-9 e-ISBN-13: 978-3-322-85604-3
001: 10.1007/978-3-322-85604-3
Vorwort
Das Buch gibt den Umfang meiner Vorlesung Ober die Finite-Elemente
Methode wieder, die ich seit 1987 an der Gesamthochschule Kassel fOr
Studenten des Maschinenbaus halte.
Mein Anliegen ist es hierbei, nicht nur Theorien zu vermitteln, sondern auch
die Handhabung der Methode im Ablauf und die Anwendung an einigen
typischen Problemstellungen in der Elastostatik, Elastodynamik und Warme
leitung zu zeigen. Das realisierte Konzept dOrfte dam it auch fOr viele
Praktiker (Berechnungsingenieure, CAE-Konstrukteure und CAD-System
beauftragte) in der Industrie von Interesse sein, da sowohl ein Gesamt
Oberblick gegeben wird als auch die fOr das Verstandnis benetigten
mathematisch-physikalischen Zusammenhange dargestellt werden.
Urn damit auch direkt umsetzbare Erfahrungen vermitteln zu kennen, stOtzt
sich der Anwendungsteil auf das verbreitete kommerzielle Programmsystem
ASKA, das mir seit 1987 zur VerfOgung steht. Bei der Lesung der mit
ASKA bearbeiteten Beispiele haben mich die Mitarbeiter des Bereiches CAE
der Firma IKOSS, Stuttgart, stets gut beraten.
Die Erstellung des Manuskriptes hat Frio M. Winter Obernommen, der an
dieser Stelle ebenfalls herzlich gedankt seL
Kassel, im September 1990 B. Klein
Inhaltsverzeichnis
x
Forwelzeichen
1. Ei nfUhrung ......................................................•...
1.1 Historischer RUckblick ....................................... . 1
1.2 Generelle Vorgehensweise 4
2. Anwendungsgebi ete ....................................•......•.....•. 9
3. Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode ................ 11
3.1 Matrizenrechnung .•............................................ 11
3.2 Gleichungen der Elastostatik ...................•.............. 15
3.3 Grundgleichungen der Elastodynamik .....•...................... 23
3.4 Finites Grundgleichungssystem ...........................•••... 24
3.4.1 Variationsprinzip ..•.......................................... 24
3.4.2 Methode von Galerkin .......................................... 29
4. Die Matrix-Steifigkeitsmethode ....•............................•.... 33
5. Das Konzept der Finite-Element-Methode .............................. 42
5.1 Allgemeine Vorgehensweise ...................•....•............ 42
5.2 Mathematische Formulierung .................................... 48
5.2.1 Ebenes STAB-Element........................................... 48
5.2.2 Ebenes DREH-STAB-Element .........................•............ 53
5.2.3 Ebenes BALKEN-Element ......................................... 56
5.3 Prinzipieller Verfahrensablauf ................................ 64
5.3.1 Steifigkeitstransformation ..........................•...•.•... 64
5.3.2 Aquivalente Knotenkrafte ..•...........•...............•..•.... 69
5.3.3 Zusammenbau und Randbedingungen ............................... 71
5.3.4 Sonderrandbedingungen ............•............................ 76
5.3.5 Losung des Gleichungssystems ...............•............•..... 78
5.3.6 Berechnung der Spannungen ..................................... 81
5.3.7 Systematische Problembehandlung .•......................•.••... 84
- VIII -
6. Wahl der Ansatzfunktionen 90
7. Elementkatalog fUr elastostatische Probleme ..•.••.............•.•.. 94
7.1 3D-BALKEN-El ement •......•.•.•.......•....•••..••.•.•.•.....•. 94
7.2 SCHEIBEN-El emente .•..•.•..••.•.••.••....••.•..•..........•... 97
7.2.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand .•.••.•.•.••.......••... 97
7.2.2 DREIECK-Element .•......•....••..•.••.....•....••..•.....•••.. 99
7.2.3 Flachenkoordinaten •.•..••.....•.....••..•...•..•..••...••.•.. 108
6.2.4 Erweiterungen des DREIECK-Elementes •.....•.........•......•.. 113
7.2.5 RECHTECK-Element ..•..•..•..•••...•.•..•..••...••...••...•.•.. 115
7.2.6 VIERECK-Element.............................................. 125
7.2.7 Isoparametrisches Konzept ..•••.•.••••..•.•............•....•. 129
7.2.8 Numeri sche I ntegrat ion .•...••....•......••................... 135
7.3 PLATTEN-Elemente............................................. 141
7.3.1 Bel astungs- und Beanspruchungszustand ...............•.....•.. 141
7.3.2 Problematik der PLATTEN-Elemente ........••................... 144
7.3.3 RECHTECK-PLATTEN-Element ...•.....•.....•..•...•..•..•........ 148
7.3.4 DREIECK-PLATTEN-Element •.........••.....•.................... 151
7.3.5 Konvergenz •.•.•.•....•....•..•.•.......••...•.•.............. 154
7.3.6 Beu 1 prob 1 emat i k .•......................•.....•............... 156
7.4 SCHALEN-Elemente............................................. 162
7.5 VOLUMEN-Elemente............................................. 167
7.6 KREISRING-El ement ..•...............•.........••..........•... 173
8. Teilstrukturtechnik .••.............•......•.•.....•.........•.•.... 178
8.1 Teilstruktur und Hauptnetzkopplung ........................... 178
8.2 Elimination der inneren Freiheitsgrade •...•.••........••••... 181
8.3 Zusammenbau zum Hauptnetz ....•..............•••.............. 182
8.4 Programmtechnische DurchfUhrung 184
9. FEM-Ansatz fUr dynamische Probleme ................................. 188
9.1 Virtue11e Arbeit in der Dynamik .............................. 188
9.2 Elementmassenmatrizen ••....••..•.•••.••...........•...•.•..•. 191
9.2.1 3D-BALKEN-Element •...............•................•.......... 191
9.2.2 ENDMASSEN-Element ......•......................•.............. 192
9.2.3 DREIECK-Scheibenelement ..•.•.•......•..•..........••....•.•.. 195
- IX -
9.3 Dampfungsmatri zen ........................................... 198
9.4 Eigenschwingungen ungedampfter Systeme ...................... 200
9.4.1 G1eichungssystem ............................................ 200
9.4.2 Numeri sche U:isung ........................................... 207
9.4.3 Statische Reduktion nach Guyan .............................. 210
9.5 Frei e Schwi ngungen .......................................... 214
9.6 Erzwungene Schwingungen .................................... 216
9.7 Be1iebige Anregungsfunktion ................................. 223
10. Grund1agen der nicht1inearen Finite-E1ement-Methode ................ 226
10.1 Losungsprinzipien fUr nicht1 ineare Aufgaben .................. 226
10.2 Materia1nicht1inearitat ..................................... 229
10.3 Geometrische Nicht1inearitat ................................ 233
10.4 Instabil itatsprob1eme ....................................... 235
11. Finite-E1ement-Losung von Warme1eitungsprob1emen ................... 239
11.1 Physika1ische Grund1agen .................................... 239
11.2 Diskretisierte Warme1eitungsg1eichung ....................... 244
11.3 Losungsverfahren ............................................ 246
11.4 E1ementierung ............ , .................................. 248
12. Grundrege1n der FEM-Anwendung ...................................... 251
12.1 E1ementierung ............................................... 251
12.2 Netzaufbau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 254
12.3 Bandbreitenoptimierung ...................................... 257
12.4 Genauigkeit der Ergebnisse .................................. 260
13. Ausblick auf Optimierungsstrategien .•.•••••.......•......•.•...••.. 263
Mathematischer Anhang .•.....•.•.•...•••••....•..••.••.................. 269
A1 Matrixinversion •.••••.••••..•.•....•..........•.•......•.....•.•...• 270
A2 Matrizen-Eigenwertproblem •••........•....•.•.•.••..••••.......••.... 275
A3 Variationsrechnung •...••..•.•.•.••.••.•...•..•.••..•.....•....•..•.. 277
Fallbeispiele .•...............••••••......•..••••••••..•...........•... 279
Literaturverzeichnis •.•••.•..•.•.•.•.••.•.......................••..... 321
Sachwortverzeichnis •••••••••••.••...•••••......................•.•..... 325
- x -
Formelzeichen
Konstante
Querschnittsflache
Koordinatenmatrix
Boolsche Matrix
!<'onstante
differenzierte Ansatzfunktionsmatrix
BandbreitenmaB
(Nmm) Plattensteifigkeit
c (N/mm) Federkonstante
(mm; grd) Koeffizient
(N/mm"grd) Drehsteifigkeitskoeffizient
(N/mm"grd) Elementdrehsteifigkeitsmatrix
C (N/mm"grd) Systemdrehsteifigkeitsmatrix
C Koeffizient
i
c (J/kg"K) spezifische Warmekapazitat
c (J/mm3" K) Elementwarmekapazitatsmatrix
C (J/mm3" K) Systemwarmekapazitatsmatrix
C (Ns2/mm) Systemdampfungsmatrix
d (mm) Knotenverschiebungen
d (mm/s) Knotengeschwindigkeit
Ci" (mm/s2) Knotenbeschleunigung
D(u) Differentialoperator
D Differentialoperatorenmatrix
E Elastizitatsmodul
E Elastizitatsmatrix
F(x) Funktion, allgemein
F (N) partitionierter Vektor der auBeren Einzelkrafte
- XI -
gi Knotenansatzfunktionen
G Matrix der Knotenansatzfunktionen
G (N/mm2) Gleitmodul
hi (mm) Amplitudenhohe
H Hermitesche Ansatzfunktionsmatrix
Integral, allgemein
I Ei nheitsmatri x
Jp (mm4) pol ares Flachentragheitsmoment
Jy,Jz (mm4) Flachentragheitsmoment
J Jacobi Matrix
Ji (N's) Impulsstarke
kij (N/mm) Steifigkeitskoeffizienten
k (N/mm) Elementsteifigkeitsmatrix
K (N/mm) Systemsteifigkeitsmatrix
(N/mm) geometrische Steifigkeitsmatrix
~
(N/mm) Biegesteifigkeitsmatrix
~
(N/mm) Scheibenanteil der Steifigkeitsmatrix
!S
!p (N/mm) Plattenanteil der Steifigkeitsmatrix
K (N/mm) transformierte Elementsteifigkeitsmatrix
(N/mm) Systemsteifigkeitsmatrix des ungebundenen Systems
~
(N/mm) Tangentensteifigkeitsmatrix
!T
(N/mm) Initialverschiebungsmatrix
~
K (N/mm) Initialspannungsmatrix
-a
k (W/mm·K) Elementwarmeleitungsmatrix
K (W/mm'K) Systemwarmeleitungsmatrix
L (mm) Lange
l (N/mm) Dreiecksmatrix
mij (kg) Massenkoeffizient
mE (N·mm/mm) verteiltes Torsionsmoment
m (N) seitenbezogenes Moment
m StUtzste 11 en
m (kg) Elementmassenmatrix
M (kg) Systemmassenmatrix