FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau

419 Pages·2005·14.42 MB·German

by  Bernd Klein (auth.)

Bernd Klein
FEM
Man sollte alles so einfach wie möglich
machen aber nichts einfacher.
A. Einstein
Aus dem Programm Maschinenelemente und
Konstruktion
Pro/ENGINEER Wildfire V 2.0-kurz und bündig
von S. Clement und K. Kittel, herausgegeben von S. Vajna
AutoCAD Zeichenkurs
von H.-G. Harnisch
Leichtbau-Konstruktion
von B. Klein
CATIA V5-Praktikum
herausgegeben von P. Köhler
ProjENGINEER-Praktikum
herausgegeben von P. Köhler
Technisches Zeichnen
von S. Labisch und C. Weber
Konstruieren, Gestalten, Entwerfen
von U. Kurz, H. Hintzen und H. Laufenberg
Lehrwerk RoloffjMatek Maschinenelemente
D. Muhs, H. Wittel, M. Becker, D. Jannasch und J. Voßiek
CATIA V5 - kurz und bündig
von S. Vajna und R. Ledderbogen
vieweg _________________ ____./
Bernd Klein
FEM
Grundlagen und Anwendungen der
Finite-Element-Methode
im Maschinen- und Fahrzeugbau
6., verbesserte und erweiterte Auflage
Mit 229 Abbildungen
12 Fallstudien und
19 Übungsaufgaben
I I
Studium Technik v1eweg
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
1. Auflage 1990
2., neu bearbeitete Auflage 1997
3., überarbeitet Auflage 1999
4., verbesserte und erweiterte Auflage Dezember 2000
5., verbesserte und erweiterte Auflage Oktober 2003
6., verbesserte und erweiterte Auflage Juli 2005
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2005
Ursprünglich erschienen beiFriedr. Vieweg & Sohn Verlag!GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2005
Lektorat: Thomas Zipsner 1 Imke Zander
www.vieweg.de
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt.
Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes
ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt
insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen
und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN 978-3-8348-0025-1 ISBN 978-3-8348-9100-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-8348-9100-6
V
Vorwort zur 1. Auflage
Das Buch gibt den Umfang meiner Vorlesung über die Finite-Elemente-Methode wieder, die
ich seit 1987 an der Universität Kassel für Studenten des Maschinenbaus halte.
Mein Anliegen ist es hierbei, nicht nur Theorie zu vermitteln, sondern auch die Handhabung
der Methode im Ablauf und die Anwendung an einigen typischen Problemstellungen in der
Elastostatik, Elastodynamik und Wärmeleitung zu zeigen. Das realisierte Konzept dürfte da
mit auch für viele Praktiker (Berechnungsingenieure, CAE-Konstrukteure und CAD-System
beauftragte) in der Industrie von Interesse sein, da sowohl ein Gesamtüberblick gegeben
wird als auch die für das Verständnis benötigten mathematisch-physikalischen Zusam
menhänge dargestellt werden.
Um damit auch direkt umsetzbare Erfahrungen vermitteln zu können, stützt sich der Anwen
dungsteil auf das verbreitete kommerzielle Programmsystem ASKA, das mir seit 1987 zur
Verfügung steht. Bei der Lösung der mit ASKA bearbeiteten Beispiele haben mich die
Mitarbeiter des Bereiches CAE der Firma IKOSS, Stuttgart, stets gut beraten.
Die Erstellung des Manuskriptes hat Frau. M. Winter übernommen, der an dieser Stelle
ebenfalls herzlich gedankt sei.
Kassel, im September 1990 B. Klein
Vorwort zur 6. Auflage
Mit der Neuauflage des Buches konnten einige Ergänzungen zur praktischen Anwendung
von CAD-FEM, zur Multiphysik und MKS eingearbeitet werden. Damit deckt das Buch
inhaltlich ein breites Feld ab bzw. zeigt die Vielfalt der Möglichkeiten. Lehrende können
somit FEM in einem breiten Kontext vermitteln, während es Lernenden viele Perspektiven
zur Problemlösung zeigt.
Meine Intention war es stets, die Theorie einfach zu vermitteln, ohne einen gewissen
Anspruch aufzugeben. Bei der Erstellung des Manuskriptes haben mich meine Mitarbeiter in
vielfaltiger Weise unterstützt. Die Texterstellung hat Frau M. Winter vorbildlich besorgt.
Calden bei Kassel, im Mai 2005 B. Klein
VI
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung .................................................................................................................... 1
1.1 Historischer Überblick ................................................................................................ 1
1.2 Generelle Vorgehensweise ......................................................................................... .4
1.3 Aussagesicherheit ........................................................................................................ 8
1.4 Qualitätsstandards .................................................................................................... 10
2 Anwendnngsfelder nnd Software ...........••................................................................. 11
2.1 Problernklassen .......................................................................................................... 11
2.2 Kommerzielle Software ............................................................................................ 12
3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode ...................•................ 16
3.1 Matrizenrechnung ........................................................................................................ 16
3.2 Gleichungen der Elastostatik ....................................................................................... 19
3.3 Grundgleichungen der Elastodynamik ........................................................................ 26
3.4 Finites Grundgleichungssystem .................................................................................. 27
3.4.1 Variationsprinzip ............................................................................................... 27
3.4.2 Methode von Galerkin ....................................................................................... 31
4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode ................................................................................ 34
5 Das Konzept der Finite-Element-Methode .............................................................. 41
5.1 Allgemeine Vorgehensweise ..................................................................................... 41
5.2 FE-Programmsystem ................................................................................................ .44
5.3 Mathematische Formulierung .................................................................................. .45
5.3.1 Ebenes Stab-Element. ........................................................................................ 45
5.3.2 Ebenes Dreh-Stab-Element ............................................................................... 50
5.3.3 Ebenes Balkenelement ...................................................................................... 53
5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf .................................................................................. 62
5.4.1 Steifigkeitstransformation ................................................................................. 62
5.4.2 Äquivalente Knotenkräfte ................................................................................. 65
5.4.3 Zusammenbau und Randbedingungen .............................................................. 68
5.4 .4 Sonderrandbedingungen .................................................................................... 72
5.4.5 Lösung des Gleichungssystems ......................................................................... 74
5.4.6 Berechnung der Spannungen ............................................................................. 81
5.4. 7 Systematische Problembehandlung ................................................................... 83
6 Wahl der Ansatzfunktionen ...............••............................•................................•....... 89
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme .................•................•....................... 93
7.1 3-D-Balken-Element ................................................................................................. 93
7.2 Scheiben-Elemente .................................................................................................... 97
7.2.1 Belastungs-und Beanspruchungszustand ......................................................... 97
7.2.2 Dreieck-Element. ............................................................................................... 98
7.2.3 Flächenkoordinaten ......................................................................................... 105
7 .2.4 Erweiterungen des Dreieck-Elements ............................................................. 11 0
7.2.5 Rechteck-Element ........................................................................................... 111
Inhaltsverzeichnis VII
7.2.6 Konvergenz Balken-Scheiben-Elemente .......................................................... 119
7.2.7 Exkurs Schubverformung ................................................................................. 120
7.2.8 Viereck-Element. .............................................................................................. 125
7.2.9 Isoparametrische Elemente .............................................................................. 129
7.2.10 Numerische Integration .................................................................................... 134
7.3 Platten-Elemente ...................................................................................................... 139
7.3.1 Belastungs-und Beanspruchungszustand ........................................................ 139
7.3.2 Problematik der Plattenelemente ...................................................................... 143
7.3.3 Rechteck-Platten-Element ................................................................................ 146
7 .3.4 Dreieck-Platten-Element .................................................................................. 152
7.3.5 Konvergenz ...................................................................................................... 153
7 .3.6 Schubverformung arn Plattenstreifen ............................................................... 155
7.3.7 Beulproblematik ............................................................................................... 156
7.4 Schalen-Elemente ..................................................................................................... 165
7.5 Volumen-Elemente ................................................................................................... 170
7.6 Kreisring-Element ...................................................................................................... 175
8 Kontaktprobleme ....................................................................................................... 182
8.1 Problembeschreibung ............................................................................................... 182
8.2 Einfache Lösungsmethode für Kontaktprobleme ..................................................... 184
8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme .......................................................... 188
8.3.1 Iterative Lösung nichtlinearer Probleme ohne Kontakt ................................... 188
8.3.2 Iterative Lösung mit Kontakt ........................................................................... 189
9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme ................................................................... 202
9.1 Virtuelle Arbeit in der DYNAMIK .......................................................................... 202
9.2 Elementmassenmatrizen ........................................................................................... 204
9.2.1 3-D-Balken-Element ........................................................................................ 205
9.2.2 Endmassenwirkung .......................................................................................... 207
9.2.3 Dreieck-Scheibenelement ................................................................................. 209
9.3 Dämpfungsmatrizen ................................................................................................. 212
9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter System .............................................................. 213
9.4.1 Gleichungssystem ............................................................................................. 213
9.4.2 Numerische Ermittlung der Eigenwerte ........................................................... 221
9.4.3 Statische Reduktion nach Guyan ...................................................................... 222
9.5 Freie Schwingungen ................................................................................................. 226
9.6 Erzwungene Schwingungen ..................................................................................... 228
9.7 Beliebige Anregungsfunktion .................................................................................. 237
9.8 Lösung der Bewegungsgleichung ............................................................................ 238
10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode ............................ 247
10.1 Lösungsprinzipien für nichtlineare Aufgaben .......................................................... 247
10.2 Nichtlineares Elastizitätsverhalten ........................................................................... 250
10.3 Plastizität .................................................................................................................. 253
10.4 Geometrische Nichtlinearität. ................................................................................... 257
10.5 Instabilitätsprobleme ................................................................................................ 259
VIII Inhaltsverzeichnis
11 Wärmeübertragungsprobleme .................................................................................. 266
11.1 Physikalische Grundlagen ........................................................................................ 266
11.2 Diskretisierte Wärmeleitungsgleichung ................................................................... 271
11.3 Lösungsverfahren ..................................................................................................... 273
11.4 Thermisch-stationäre strukturmechanische Berechnung ......................................... 27S
11.S Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung ......................................... 276
12 Mehrkörpersysteme .••...•.•...••.........••..•••••.••••••.•••••.•••..•••••••••.....•••••..•••.•..•••..•......•••.•... 279
12.1 Merkmale eines MKS ............................................................................................... 279
12.2 Kinematik von MKS ................................................................................................ 281
12.2.1 Drehmatrix ........................................................................................................ 283
12.2.2 Ebene Bewegung .............................................................................................. 28S
12.3 Kinetik von MKS ..................................................................................................... 287
12.3.1 Grundbeziehungen für den starren Körper ....................................................... 289
12.3.2 NEWTON-EDLER-Methode ........................................................................... 291
12.4 LAGRANGE'sche Methode .................................................................................... 293
12.S Mechanismenstrukturen ........................................................................................... 29S
13 Bauteiloptimierung• •••••••••••••••••••••••••••...••••••••••••••.•••••••••.........•••••.......................••••....• 297
13.1 Formulierung einer Optimierungsaufgabe ............................................................... 297
13.2 Parameteroptimierung .............................................................................................. 298
13.3 Bionische Strategie ................................................................................................... 300
13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung ............................................................................. 303
14 Grundregeln der FEM-Anwendung ..•..•....•.•.•.....••.••••••...••••••••••.•••...••••.••••••••••••••••••• 306
14.1 Fehlerquellen ............................................................................................................ 306
14.2 Elementierung und Vemetzung ................................................................................ 307
14.3 Netzaufbau ................................................................................................................ 311
14.4 Bandbreiten-Optimierung ......................................................................................... 314
14.S Genauigkeit der Ergebnisse ...................................................................................... 318
14.6 Qualitätssicherung .................................................................................................... 320
Fallstudie 1: zu Kapitel4 Matrix-Steifigkeitsmethode ......................................................... 323
Fallstudie 2: zu KapitelS Konzept der FEM I Allgemeine Vorgehensweise ........................ 32S
Fallstudie 3: zu KapitelS Konzept der FEM I Schiefe Randbedingungen ........................... 329
Fallstudie 4: zu Kapitel S Konzept der FEM I Durchdringung ............................................ 330
Fallstudie S: zu Kapitel 7 Anwendung von Schalen-Elementen ........................................... 332
Fallstudie 6: zu Kapitel 7.S Anwendung von Volumen-Elementen I Mapped meshing ........ 33S
Fallstudie 7: zu Kapitel 7.S Anwendung der Volumen-Elemente I Free meshing ................ 337
Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme ................................................................ 340
Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen ..................................................... 343
Fallstudie 10: zu KapitellO Materialnichtlinearität ........................................................... 347
Fallstudie 11: zu Kapitel 10.4 Geometrische Nichtlinearität ............................................... 3SO
Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme ......................................................... 353
Übungsaufgabe 4.1 ............................................................................................................. 3S7
Übungsaufgabe S.1 ............................................................................................................. 3S8
Übungsaufgabe S.2 ............................................................................................................. 3S9
Übungsaufgabe S.3 ............................................................................................................. 361
Inhaltsverzeichnis IX
Übungsaufgabe 5.4 ............................................................................................................. 363
Übungsaufgabe 5.5 ............................................................................................................. 365
Übungsaufgabe 5.6 ............................................................................................................. 368
Übungsaufgabe 5.7 ............................................................................................................. 369
Übungsaufgabe 5.8 ............................................................................................................. 372
Übungsaufgabe 6.1 ............................................................................................................. 373
Übungsaufgabe 7.1 ............................................................................................................. 374
Übungsaufgabe 7.2 ............................................................................................................. 375
Übungsaufgabe 9.1 ............................................................................................................. 376
Übungsaufgabe 9.2 ............................................................................................................. 377
Übungsaufgabe 9.3 ............................................................................................................. 378
Übungsaufgabe 9.5 ............................................................................................................. 379
Übungsaufgabe 10.4 ............................................................................................................. 380
Übungsaufgabe 11.1 ............................................................................................................. 381
Übungsaufgabe 11.2 ............................................................................................................. 382
Mathematischer Anhang ..................................................................................................... 383
Checkliste einer FE-Berechnung .......................................................................................... 393
Literaturverzeichnis .............................................................................................................. 395
Sachwortverzeichnis ............................................................................................................. 400
X
Formelzeichensammlung
D Differenzialopera-
-A-
torenmatrix
ai Multiplikatoren
A (mm2) Querschnittsfläche
-E-
A (mm) Koordinatenmatrix; E (N/mm2) Elastizitätsmodul
Koeffizientenmatrix; E (N/mm2) Elastizitätsmatrix
Iterationsmatrix
ET Tangenten-Elastizi-
A Boole'sche Matrix
tätsmatrix
A- Koeffizient
l
-F-
-B- f (N) bezogene (verteilte)
B Lösungsbereich Kraft
B differenzierte An- F(x) Funktion allgemein
satzfunktionsmatrix; F (N). Vektor der äußeren
Koeffizientenmatrix Einzelkräfte
BN nichtlinearer Anteil Fa äußere Kräfte
der Matrix B
Fb Reaktionskräfte
-c- Fe Resultierende der
Schwingungs-DGL
c (N/mm) Federkonstante
c Elementdämpfungs- Fi Einzelkraft
matrix Fia äquivalente Einzel-
Cj' Ci Integrationskonstante kräfte
Cj (mm; Koeffizient Fs unbekannte
grd) Reaktionskräfte
C·· (Nimm; Drehsteifigkeitskoef-
lJ grd) fizient -G-
c Systemdämpfungs- g Zeilenvektoren
matrix; gi,gj Formfunktionen
Wärmekapazitäts- G (N/mm2) Gleitmodul
matrix G Formfunktions-
matrix;
-D- Matrix der Knoten-
d (mm) Knotenverschie- ansatzfunktionen
bungen Gi Formfunktionsmatrix
d (rnrnls2) Knotenbeschleuni- GK (N) Gravitationskraft
gung
Gkub kubischer Anteil der
ci (rnrnls) Knotengeschwindig-
Formfunktionsmatrix
keit
Gun linearer Anteil der
dp Plattenanteil der
Formfunktionsmatrix
Knotenverschiebung
Gr rotatorischer Anteil
ds Scheibenanteil der
der Formfunktions-
Knotenverschiebung
matrix
D(u) Differenzialoperator