Felsőbb matematika

354 Pages·2002·17.818 MB·Hungarian

by  Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltán

Obádovics J. Gyula - Szarka Zoltán
FELSŐBB MATEMATIKA
Második, javított kiadás
§
S C 0 L A R
K i a d ó
TISZTELT OLVASÓ!
A sokféle matematika könyv közül Ön jól választott, amikor a Dr. Obádovics J. Gyula,
Dr. Szarka Zoltán szerzőpáros által írt könyvet vásárolta meg. Mindkét szerzőt sok­
évtizedes oktatási tapasztalat köti a matematikához. Egyetemi oktatóként hallgatók
ezreit vezették be a matematikába és segítették át vizsgákon, szigorlatokon. Számos
tudományos cikkükön, konferenciákon elhangzott előadásukon túlmenően jelzi ezt
a mintegy 50 könyv és egyetemi jegyzet, amit pályafutásuk során írtak. Jól ismert
például az Obádovics féle matematika könyv, amely 15 kiadásban, kb. 500 000 pél­
dányban jelent meg. A szerzők tudják és érzik, hogy mit kell és mit lehet megírni és
azt milyen stílusban kell tálalni. Bízzunk bennük.
Dr. OBÁDOVICS J. GYULA, 1999 Dr. Obádovics J. Gyula a Gödöllői Agrártudományi Egyetemről tanszékvezető
© Dr. SZARKA ZOLTÁN, 1999 egyetemi tanárként ment nyugdíjba, ahol több évig mint intézeti igazgató dolgozott.
Dr. Szarka Zoltán a Miskolci Egyetemen volt egyetemi docens, ma már nyugdíjas.
© SCOLAR KIADÓ, 1999
Több évig volt tanszékvezető. Mindkettőjüket a hallgatók több alkalommal is arany­
gyűrűvel tüntették ki.
a Kiadó
Budapest, 1999. augusztus havában
ELŐSZÓ
ISBN: 963-9193-71-2
A matematika iránti érdeklődés, miként azt a tisztelt Olvasó is tapasztalhatta, az
utóbbi néhány évtizedben jelentősen nőtt. Ezt a fokozott érdeklődést valós szükség­
letek váltották ki. Gondoljunk például a számítástechnikára, amely már mindennap­
Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítást, a mű bővített, jaink részévé vált. Ennek az „új” tudományágnak a matematika az egyik szülőanyja.
illetve rövidített változatának kiadási jogát is.
Az alkalmazó is akarva-akaratlan használja a matematikát, az emberi agynak ezt a
csodálatosan szép és alapjaiban példamutatóan szilárd termékét. De ez a rendkívül
Kiadja a SCOLAR ű KIADÓ, 2002
fontos és hasznos „segédeszköz” a matematikát alkalmazó hagyományos tudomány-
1114 Budapest, Bartók B. út 7. Tel ./fax: [phone]
területeken kívül, mára már bevonult a biológiába, az irodalomba, a zenébe és más
E-mail: [email protected]
tudományokba is. Külön kiemeljük a fizikával és a műszaki tudományokkal való
Felelős kiadó és szerkesztő; Érsek Nándor
szoros kapcsolatát. Bátran kijelenthetjük, hogy matematika nélkül nem létezne a ma
A borítót tervezte: Máthé Hanga
tudománya, az emberiség szegényebb lenne szellemi és anyagi téren egyaránt.
A könyv ábráit készítette: Bocsi Katalin, Szabó Béla
Kérdezhetjük, hogy mi a titka ennek a szenzációs karriernek, hogyan válhatott a
matematika a tudományok királynőjévé és hogyan játszhat ennyire meghatározó
szerepet életünkben. A választ leegyszerűsíthetnénk arra, hogy a nagyfokú abszt­
rakció révén. Az ereje ebben van, ami egyúttal gyengéje is olyan értelemben, hogy
Készült a debreceni nyomdászat sok embert elriaszt attól, hogy közel kerüljön hozzá. Ez a tartózkodás, sok esetben
több mint négy évszázados hagyományait őrző félelem azonban alaptalan. Nem szükséges különleges érzék és tehetség ahhoz, hogy
ALFÖLDI NYOMDA Rt.-ben a matematikának azokat a területeit megismerjük, amelyek az alkalmazások túl­
Felelős vezető: György Géza vezérigazgató
_6_______________________ _________________ Előszó
nyomó többségében előfordulnak. Természetesen el kell érni egy szintet ahhoz,
hogy a felsőbb matematika egyes fejezeteibe betekintést nyerjünk, hogy olvasni tud­
junk egy ilyen témával foglalkozó könyvet. Ehhez azonban elegendő alapot ad a
TARTALOMJEGYZÉK
középiskola, sőt sok esetben az általános iskola is, ha az ottani ismereteket értve,
átgondoltan sajátítottuk el. Ne féljünk tehát kézbe venni egy ilyen könyvet, és tanul­
junk meg figyelmesen és értelmesen olvasni. ELŐSZÓ........................
A Felsőbb Matematika című könyv anyagának összeállításánál a praktikusságot
TARTALOMJEGYZÉK.
tartottuk szem előtt. Ez most azt jelenti, hogy az alkalmazások szempontjából lénye­
gesebbnek ítélt fejezeteket tárgyaljuk, nagyjából olyan mélységig és felépítésben,
ahogy általában a műszaki felsőoktatásban meghonosodott. Elsősorban összefoglaló I. FEJEZET 17
jellegű munkát szándékoztunk írni. Ennek következtében kevés szöveggel, lényegre
EGY- ÉS TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK......................................................17
törően, általában a bizonyítások mellőzésével igyekeztünk a tanulni akaró Olvasó
dolgát megkönnyíteni. Ezt a célt szolgálja az a sok kidolgozott példa, amely remél­ 1.1. ALAPFOGALMAK...................................................................................17
hetően elősegíti egy-egy anyagrész megértését. 1.1.1, Halmazok........................................................................................17
Minden új fogalmat definiáltunk (értelmeztünk). Ezért javasoljuk az Olvasónak, 1.L2. Kombinatorika................................................................................21
hogy egy téma tanulmányozását a definíció gondos és figyelmes elolvasásával 1.L3. A matematikai logika elemei..........................................................24
kezdje. Próbálja megérteni a leírtakat, egy-egy kikötés okát átgondolni. Ezután a 1.1.4. Relációk..........................................................................................27
tételt olvassa el, majd ismételje el ugyanazt saját szavaival is. Ne hagyja el a példák 1.1.5. Függvények.....................................................................................28
megoldását! Végül konstruáljon a kidolgozott példához hasonló feladatot és azt 1.1.6. Algebrai struktúrák.........................................................................32
oldja meg, használva a könyvet. (Bőséges gyakorló feladat és megoldás található 1.1.7. Valós számok..................................................................................33
Obádovics: Felsőbb matematikai feladatgyűjtemény c. könyvben.) Eredménynek 1.1.8. Az «-dimenziós tér..........................................................................37
számít, ha így (vagyis „puskázva”) meg tud oldani egy feladatot. Ez azt jelenti, hogy 1.1.9. Komplex számok............................................................................40
már van egy kis rálátása a témára. Ha vizsgára készül, akkor ne sajnálja az időt a 1.1.10. Polinomok.....................................................................................47
vizsgaanyag tartalomjegyzékének olvasgatására, hogy tájékozódni tudjon a könyv­ 1.1.11. Koordináta-rendszerek..................................................................53
ben. Használja továbbá a név- és tárgymutatót! Érdemes. 1.1.12. Koordinátatranszformációk...........................................................56
Az Obádovics: Matematika c. könyvet középiskolások többszázezren használták
1.2. AZ EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY..........................................................57
az elmúlt negyven év alatt ismereteik felfrissítésére vizsgákra való felkészülés so­
1.2.1, Az egyváltozós függvény fogalma.................................................57
rán. A Felsőbb Matematikát ehősoxhm egyetemi és főiskolai hallgatóknak ajánljuk.
1.2.2, Speciális tulajdonságú függvények................................................64
Meg vagyunk győződve, hogy ezt a könyvet is az előzőhöz hasonló sikerrel fogják
1.2.3, Az egyváltozós függvény határértéke és folytonossága..................67
használni. A vizsgákra való felkészüléshez ideális segédeszköznek tartjuk. A köny­
vet a főiskolai és egyetemi hallgatókon kívül haszonnal forgathatják mérnökök, 1.3. ALAPFÜGGVÉNYEK, NEVEZETES GÖRBÉK....................................71
közgazdászok, számítástechnikát alkalmazók, és mindazok, akik a felsőbb matema­ 1.3.1. Szakaszonként egyenes vonalú függvények...............!...................71
tika iránt érdeklődnek. 1.3.2. Algebrai függvények.......................................................................74
Jó tanulást és eredményes alkalmazást kívánnak 1.3.3. Elemi transzcendens függvények....................................................81
1.3.4. Interpolációs polinomok.................................................................89
a Szerzők. 1.3.5. Nevezetes síkgörbék paraméteres egyenletei.................................92
1.3.6. Nevezetes síkgörbék polárkoordinátás egyenletei..........................96
Balatonszárszó, Miskolc, 1999. június hava 1.3.7. Másodrendű görbék........................................................................98
1.4. A TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY........................................................100
1.4.1, A két- és többváltozós függvény fogalma....................................100
1.4.2, Határérték, folytonosság...............................................................103
1.5. FELÜLETEK, FELÜLETI GÖRBÉK......................................................104
1.5.1. Felületek megadása.......................................................................104
1.5.2. Nevezetesebb felületek.................................................................105
1.5.3. Másodrendű felületek...................................................................109
1.5.4. Felületi görbék..............................................................................116
Felsőbb matematilia Tartalomjegyzék 9
II. FEJEZET 123 3.3.3. Forgástest térfogatának kiszámítása.............................................211
3.3.4. Forgástest felszínének kiszámítása..............................................214
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS...............................................................................123 3.3.5. Mechanikai alkalmazások.............................................................215
2.1. EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA..............................123 3.4. IMPROPRIUS INTEGRÁLOK...............................................................223
2.1.1. A differenciálhányados és a derivált fogalma..............................123 3.4.1. Végtelen integrációs intervallum..................................................223
2.1.2. Differenciálási (deriválási) szabályok......................................... 126 3.4.2. Nem korlátos integrandus.............................................................225
2.1.3. Nevezetesebb függvények deriváltjai...........................................130
3.5. A HATÁROZOTT INTEGRÁL KÖZELÍTŐ KISZÁMÍTÁSA...............227
2.1.4. Jobb- és bal oldali derivált...........................................................133
3.5.1. A határozott integrál becslése......................................................227
2.1.5. Magasabbrendü deriváltak...........................................................134
3.5.2, Numerikus integrálás....................................................................229
2.2. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALAPTÉTELEI..................................136
3.6. A KETTŐS INTEGRÁL..........................................................................232
2.2.1. Középértéktételek.........................................................................136
3.6.1. A kettős integrál értelmezése........................................................232
2.2.2. A differenciál...............................................................................138
3.6.2. A kettős integrál kiszámítása........................................................234
2.2.3. L’Hospital szabályai.....................................................................141
2.3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA................ 144 3.7. A KETTŐS INTEGRÁL ALKALMAZÁSAI.........................................240
3.7.1. Területszámítás.............................................................................240
2.4. ÉRINTŐ, NORMÁLIS............................................................................149 3.7.2. Térfogatszámítás..........................................................................241
2.5. GÖRBÉK ÉRINTKEZÉSE ÉS GÖRBÜLETE......................................151 3.7.3. Felszínszámítás............................................................................243
3.7.4. Mechanikai alkalmazások.............................................................246
2.6. TAYLOR-POLINOM, TAYLOR-SOR................................................ 157
2.7. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA...........................161 3.8. A HÁRMAS INTEGRÁL.......................................................................247
2.7.1. Parciális differenciálhányados......................................................161 3.8.1. A hármas integrál értelmezése......................................................247
2.7.2. Magasabbrendü deriváltak...........................................................163 3.8.2. A hármas integrál kiszámítása......................................................249
2.7.3. Teljes differenciál, érintősík.........................................................164 3.8.3. A hármas integrál alkalmazásai....................................................252
2.7.4. Összetett függvény és implicit függvény deriválása....................167 3.9. VONALINTEGRÁL, FELÜLETI ÉS TÉRFOGATI INTEGRÁL..........255
2.7.5. Paraméteres alakban adott függvény deriválása..........................169 3.9.1. Vonalintegrál...............................................................................255
2.7.6. Az iránymenti derivált..................................................................171 3.9.2. Felületi integrál.............................................................................259
2.8. A KÉTVÁLTOZÓS TAYLOR-FORMULA...........................................172 3.9.3. Térfogati integrál.........................................................................263
2.9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY SZÉLSÖÉRTÉKE............................173
IV. FEJEZET 267
III. FEJEZET 185 VÉGTELEN SOROZATOK, SOROK ÉS SZORZATOK....................................267
INTEGRÁLSZÁMÍTÁS.........................................................................................185 4.1. SZÁMSOROZATOK..............................................................................267
4.1.1. A sorozat fogalma........................................................................267
3.1. A HATÁROZATLAN INTEGRÁL......................................................... 185
4.1.2. Konvergens sorozatok...................................................................270
3.1.1. A határozadan integrál fogalma...................................................185
3.1.2. Integrálási módszerek................................................................... 187 4.2. FÜGGVÉNYSOROZATOK....................................................................277
3.1.3. Néhány függvénytípus integrálása..............................................190 4.2.1 A függvénysorozat fogalma...........................................................277
4.2.2. Az egyenletes konvergencia.........................................................278
3.2. A HATÁROZOTT INTEGRÁL..............................................................195
3.2.1. A határozott integrál fogalma, tulajdonságai...............................195 4.3. NUMERIKUS SOROK...........................................................................280
3.2.2. Az integrálszámítás középértéktételei.........................................200 4.3.1. A végtelen sor és a konvergencia fogalma...................................280
3.2.3. A határozott integrál mint felső (alsó) határának függvénye.......202 4.3.2. Konvergenciakritériumok.............................................................283
3.2.4. Paraméteres integrál.....................................................................203 4.3.3. Abszolút és feltételes konvergencia.............................................288
4.3.4. Műveletek konvergens sorokkal...................................................290
3.3. A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALKALMAZÁSAI..............................205
3.3.1. A terület és a térfogat fogalma.....................................................205 4.4. FÜGGVÉNYSOROK..............................................................................293
3.3.2. Területszámítás............................................................................206 4.4.1. A függvénysor fogalma.................................................................293
3.3.2. Ívhossz-számítás..........................................................................209 4.4.2. A függvénysor egyenletes konvergenciája...................................294
10 Felsőbb matematika Tartalomjegyzék___________________________________ 11
4.5. HATVÁNYSOROK................................................................................296 5.6. TENZOROK.............................................................................................388
4.5.1. A hatványsor értelmezése és konvergenciája...............................296 5.6.1. A tenzor fogalma..........................................................................388
4.5.2. Függvények hatványsorba fejtése................................................303 5.6.2. Műveletek tenzorokkal.................................................................390
4.6. SOROK ÖSSZEGÉNEK SZÁMÍTÁSA, HIBABECSLÉS.....................308 5.6.3. A fötengelytétel.............................................................................392
4.6.1. Sorok összegének számítása.........................................................308 5.7. TÉRGÖRBÉK.........................................................................................395
4.6.2. Hibabecslés..................................................................................313 5.7.1. A vektor-skalár függvény..............................................................395
4.7. FOURIER-SOROK.................................................................................316 5.7.2. Térgörbék vizsgálata.....................................................................397
5.7.3. Felületi görbék vizsgálata.............................................................404
4.8. VÉGTELEN SZORZATOK....................................................................320
4.8.1. Numerikus (állandó elemű) szorzatok.........................................320 5.8. A SKALÁR-VEKTOR FÜGGVÉNY......................................................409
4.8.2. Függvényszorzatok.......................................................................323 5.8.1. Értelmezés, határérték, folytonosság............................................409
5.8.2. Differenciálás................................................................................410
4.9 PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK...................................................................325
5.8.3. Integrálás......................................................................................412
4.9.1. Kamatos kamat számítás..............................................................325
4.9.2. Nominális és effektív kamatláb....................................................326 5.9. A VEKTOR-VEKTOR FÜGGVÉNY......................................................415
4.9.3. Diszkontálás, jelenérték...............................................................327 5.9.1. Értelmezés, határérték, folytonosság............................................415
4.9.4. Az infláció figyelembevétele........................................................330 5.9.2. Differenciálás................................................................................417
4.9.5. Járadékszámítás............................................................................331 5.9.3. Integrálás......................................................................................420
4.9.6. Beruházások gazdaságossági mutatói.........................................334 5.9.4. Integrálátalakító tételek.................................................................426
5.9.5. A potenciálfüggvény.....................................................................433
V. FEJEZET 339
VI. FEJEZET 439
LINEÁRIS ALGEBRA, TÉRGÖRBÉK, VEKTORANALÍZIS...........................339
KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK...............................................439
5.1. VEKTORALGEBRA..............................................................................339
5.1.1. A vektor értelmezése....................................................................339 6.1. ALAPFOGALMAK.................................................................................439
5.1.2. Műveletek vektorokkal.................................................................340 6.1.1. A differenciálegyenlet fogalma.....................................................439
5.1.3. Vektorok lineáris függetlensége...................................................342 6.1.2. A differenciálegyenlet megoldása.................................................440
5.1.4. Vektorok megadása koordinátákkal............................................343
6.2. ELSŐRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK...................................442
5.1.5. Néhány geometriai alkalmazás.....................................................346
6.2.1. Az elsőrendű differenciálegyenlet megoldhatósága.....................442
5.1.6. Reciprok vektorhármas................................................................352
6.2.2. Iránymező.....................................................................................444
5.1.7. Az ^-dimenziós vektor.................................................................353
6.2.3. Görbesereg differenciálegyenlete.................................................445
5.2. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI........................................................355
6.3. SPECIÁLIS ELSŐRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK...............446
5.2.1. Lineáris tér, altér..........................................................................355
6.3.1. Szétválasztható változójú differenciálegyenlet............................446
5.2.2. A lineáris tér bázisa, dimenziója..................................................356
6.3.2. Szétválasztható változójúra visszavezethető diff.egyenletek...........448
5.2.3. Bázistranszformáció.....................................................................358
6.3.3. Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet...................................453
5.2.4. Az euklideszi tér...........................................................................361
6.3.4. A Bernoulli-féle differenciálegyenlet...........................................456
5.3. MÁTRIXOK...........................................................................................364 6.3.5. A Riccati-féle differenciálegyenlet..............................................458
5.3.1. A mátrix értelmezése, speciális mátrixok....................................364 6.3.6. Egzakt differenciálegyenlet...........................................................459
5.3.2. Műveletek mátrixokkal................................................................366 6.3.7. Burkológörbe és szinguláris megoldás.........................................464
5.3.4. Mátrix rangja................................................................................373 6.3.8. A Lagrange- és a Clairaut-féle differenciálegyenlet.....................467
5.4. DETERMINÁNSOK...............................................................................375 6.3.9. Trajektóriák..................................................................................470
5.4.1. A determináns értelmezése...........................................................375 6.4. MAGASABBRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK......................472
5.4.2. A determináns tulajdonságai........................................................377 6.4.1. «-edrendű lineáris differenciálegyenlet..................................473
5.5. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK...............................................379 6.4.2. Állandó együtthatójú differenciálegyenlet...................................478
5.5.1. A lineáris egyenletrendszer fogalma és megoldhatósága.............379 6.4.3. Az Euler-féle differenciálegyenlet...............................................488
5.5.2. Megoldási módszerek...................................................................381 6.4.4. Másodrendű differenciálegyenletek.............................................491
12 Felsőbb matematika Tartalomjegyzék _________________________________________13
6.5. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK MEGOLDÁSA VÉGTELEN 8.3.7. A függvény viselkedése a végtelenben.........................................570
SOROKKAL....................................................................................497 8.3.8. A reziduum-tétel...........................................................................571
6.5.1. Megoldás Taylor-sorral................................................................497
8.4 LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ...........................................................575
6.5.2. Megoldás a határozatlan együtthatók módszerével.....................498
8.4.1. A Laplace-transzformáció fogalma..............................................575
6.6. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLET-RENDSZEREK..........503 8.4.2. Függvény deriváltjának és integráljának transzformálása............577
6.6.1. Megoldhatóság és visszavezetés differenciálegyenletre..............503 8.4.3. Néhány elemi függvény Laplace-transzformáltja.........................578
6.6.2. Lineáris differenciálegyenlet-rendszer........................................506 8.4.4. A függvényre és transzformáltjára vonatkozó tételek..................580
8.4.5. Differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval....584
8.4.6. Laplace-transzformációs táblázat..................................................587
VII. FEJEZET S17
PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK....................................................517 IX. FEJEZET 593
7.1. ALAPFOGALMAK................................................................................517
NUMERIKUS MÓDSZEREK...............................................................................593
7.1.1. A parciális differenciálegyenlet fogalma.....................................517
7.1.2. A parciális differenciálegyenlet megoldása.................................518 9.1. BEVEZETÉS...........................................................................................593
9.1.1. Adat, kerekítés, műveletek és képletek hibái...............................594
7.2. AZ ELSŐRENDŰ PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLET............519
7.2.1. A kvázilineáris parciális differenciálegyenlet.............................519 9.2. NEMLINEÁRIS EGYENLETEK MEGOLDÁSA..................................599
7.2.2. Cauchy-féle feladat (kvázilineáris differenciálegyenletre)..........521 9.2.1. A gyökök elkülönítése..................................................................599
7.2.3. Az általános elsőrendű parciális differenciálegyenlet.................524 9.2.2. Intervallum-felezési eljárás...........................................................601
9.2.3. Az iterációs módszer.....................................................................603
7.3. NÉHÁNY NEVEZETES MAGASABBRENDŰ PARCIÁLIS
9.2.4. A Newton-Raphson-módszer........................................................607
DIFFERENCIÁLEGYENLET.........................................................529
9.2.5. Interpolációs módszerek...............................................................608
7.3.1. A hővezetés (és diffúzió) differenciálegyenlete...........................529
9.2.6. Nemlineáris egyenletrendszer megoldása....................................611
7.3.2. A rezgő húr és membrán differenciálegyenlete...........................533
7.3.3. A Laplace- és a Poisson-egyenlet.................................................537 9.3. ALGEBRAI EGYENLETEK MEGOLDÁSA........................................613
7.3.4. A biharmonikus egyenlet.............................................................541 9.3.1. Polinomokra vonatkozó alaptételek.............................................614
9.3.2. A Bairstow-módszer.....................................................................616
VIII. FEJEZET 547 9.4. A LINEÁRIS ALGEBRA NUMERIKUS MÓDSZEREI........................617
9.4.1. A Gauss-féle módszer...................................................................617
KOMPLEX FÜGGVÉNYEK................................................................................547
9.4.2. Az inverzmátrix elemeinek kiszámítása.......................................621
8.1. A KOMPLEX FÜGGVÉNY FOGALMA...............................................547 9.4.3. Az egyszerű és a Gauss-Seidel-féle iterációs módszer..,..............623
8.1.1. A komplex függvény értelmezése.................................................547 9.4.4. Konvergenciatételek és hibabecslés.............................................624
8.1.2. Differenciálás...............................................................................551 9.4.5. A Cholesky-Banachiewicz-féle módszer.....................................627
8.1.3. Elemi függvények........................................................................553 9.4.6. Gyengén meghatározott egyenletrendszerek................................630
8.2. KOMPLEX FÜGGVÉNY INTEGRÁLJA.............................................557 9.4.7. Mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározása..........632
8.2.1. A vonalintegrál.............................................................................557 9.5. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK NUMERIKUS MEGOLDÁSA.........637
8.2.2. A Cauchy-féle integráltétel..........................................................559 9.5.1. Taylor-féle módszer......................................................................638
8.2.3. A Cauchy-féle integrálformula.....................................................562 9.5.2. A Heun-módszer...........................................................................640
8.2.4. Reguláris függvények tulajdonságai...........................................563 9.5.3. A Runge-Kutta-féle módszer........................................................642
8.3. KOMPLEX FÜGGVÉNY SORBAFEJTÉSE........................................564 9.6. KERÜLETÉRTÉKFELADATOK...........................................................643
8.3.1. Komplex tagú sorok.....................................................................564 9.6.1. Differenciamódszer.......................................................................646
8.3.2. Hatványsorok...............................................................................564 9.6.2. A Galjorkin-féle eljárás.................................................................648
8.3.3. A Tayior-sor.................................................................................565 9.6.3. A kollokációs módszer..................................................................649
8.3.4. Reguláris függvény zérushelyei....................................................566
9.7. SAJÁTÉRTÉKFELADATOK.................................................................651
8.3.5. A Laurent-sor...............................................................................567
9.7.1. A sajátértékfeladatok osztályozása, megoldása............................652
8.3.6. Izolált szinguláris helyek..............................................................569
9.7.2. Megoldás a diffegyenlet általános megoldásának ismeretében....656
14 Felsőbb matematika
9.7.3. Sajátértékek közelítő meghatározása differenciamódszerre!.......657
9.7.4. A Ritz-Galjorkin-féle eljárás........................................................658
9.7.5. A kollokációs módszer alkalmazása sajátértékfeladatokra...........661
9.8. PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK MEGOLDÁSA.............662
9.8.1. Elliptikus típusú differenciálegyenlet megoldása rácsmódszerrel 662
9.8.2. A peremfeltételek közelítésének javítása.....................................666
9.8.3. A rácsmódszer hibájának becslése..............................................667
9.8.4. Parabolikus típusú differenciálegyenlet megoldása.....................668
9.8.5. Hiperbolikus típusú differenciálegyenlet megoldása...................672
9.9, INTEGRÁLEGYENLETEK...................................................................678
.Halmazok
9.9.1. Integrálegyenletek osztályozása, elnevezése................................678
9.9.2. Fokozatos közelítések módszere...................................................680 Kombinatorika
9.9.3. Véges összegek módszere............................................................684
9.9.4. A kollokációs módszer alkalmazása.............................................688 .Relációk, függvények
Komplex számok
IRODALOMJEGYZÉK.................................................................................691
F\)linomok
NÉV- ÉS TÁRGYMUTATÓ.........................................................................693
Koordináta-rendszerek
Egyváltozós függvény, határérték, folytonosság
Aiapfüggvéiiyek, nevezetes görbék;
Szakaszonként egyenesvonalú függvények
Algebrai függvények
Elemi transzceiideiis függvények
IIIteipoiác!ós polinomok
,M ásodreiidű görbék
röbbváltozíSs függvén) .. ti t >1 ,tonos;:.ig
Nevezetes felületei ' 'm* ^ i'k
M a sodreiid íi fe I ü 1 eieii
I. FEJEZET
EGY- ÉS TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
1.1. ALAPFOGALMAK
1.1.1. Halmazok
a) A halmaz fogalma. A halmazt nem definiáljuk, hanem alapfogalomnak
tekintjük. Szokás azt mondani, hogy a halmaz bizonyos dolgok összessége.
Ez nem definíció, hanem a halmaz más szavakkal való körülírása. A hal­
mazjelölése; A, B, H,...
A halmazt alkotó dolgok a halmaz elemei. Azt a tényt, hogy x a H hal­
maz eleme, így jelöljük;
xeH.
A halmazt meghatározzák elemei. Ennek megfelelően megadhatjuk
elemeinek felsorolásával, kapcsos zárójelbe téve ezt a felsorolást. Például
így;
{1,3,4,6,10} vagy {a,b,c}.
Sok esetben ez a megadási mód már kényelmetlen, esetleg lehetetlen.
Ilyenkor a kapcsos zárójelen belül a halmaz általános elemét és az elemek­
re jellemző tulajdonságot vagy tulajdonságokat tüntetjük fel, rendszerint
így:
A = [x:T{x)] ill. A = [x\T{x)].
Ekkor az A halmaz azoknak az x elemeknek az összessége, amelyek T
tulajdonságúak. Például A = {jc;.x e R,|x| < l} jelenti az 1-nél kisebb ab­
szolút értékű valós számok halmazát.
Egy halmazban egy elem csak egyszer fordulhat elő.
Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, üres halmaznak nevez­
zük. Jele; 0.
Két halmaz akkor és csak akkor egyenlő, ha elemeik ugyanazok. Jelölé­
se; A = B.
Definíció. Az A halmazt a B halmaz részhalmazának (röviden részének)
nevezzük, ha^ minden eleme 5-nek is eleme. Jelölése: A ez B.
18 Egy- és többváltozós függvények 1.1.1. Halmazok 19
A definíció szerint minden halmaz részhalmaza önmagának. Az üres
halmaz minden halmaznak részhalmaza. b) Műveletek halmazokkal
Két halmaz egyenlőségét így is megfogalmazhatjuk: A = B akkor és Definíció. Az A és B halmazok AnB metszetén (közös részén) azt a
csak akkor, ho. A ez B és B a A.
halmazt értjük, amely A és B közös elemeit (és csak ezeket) tartalmazza
Ha a halmaz elemeinek száma véges, akkor a halmazt végesnek (ide
(1.3. ábra).
tartozik az üres halmaz is), ellenkező esetben pedig végtelennek mondjuk.
Ha két halmaz elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesít­ Ha két halmaznak nincs közös eleme, akkor metszetük az üres halmaz.
hető, akkor azt mondjuk, hogy a két halmaz számossága egyenlő (a két Ilyenkor azt mondjuk, hogy a két halmaz (egymásra nézve) idegen
halmaz ekvivalens). Véges halmaz számosságán elemeinek számát értjük. (diszjunkt halmazok).
A természetes számok halmazának (vagy a vele ekvivalens halmaznak)
Definíció. Az yí és B halmazok Akj B egyesítettjén (unióján) azt a halmazt
számosságát megszámlálhatóan végtelennek vagy röviden megszáinlál-
értjük, amelyés B minden elemét (és csak ezeket) tartalmazza (1.4. ábra).
hatónak mondjuk. A valós számok halmazának (vagy a vele ekvivalens
halmaznak) a számossága nem megszámlálható, más szóval kontinuum
számosságú.
A halmazt szemléltethetjük (ábrázolhatjuk) körlappal, téglalappal eset­
leg más síkidommal. Az ilyen ábrát Venn-diagramnak nevezzük. Az 1.1.
ábrán a //halmazt egy körlap ábrázolja. Az 1.2. ábra azt szemlélteti, hogy
A része 5-nek (AciB).
A halmazok egyesítésének és közös rész képzésének tulajdonságai a kö­
vetkezők:
1. Mindkét művelet kommutatív, azaz bármely/I, B halmazra
An B = B n A, Akj B = Bu A .
1.1. ábra. Halmaz
2. Mindkét művelet asszociatív, azaz bármely A, B, C halmazra
Definíció. Az A és B halmaz A x 5-vel jelölt Descartes-szorzatán az {AnB)nC= An{BnC), (A u B)u C = A kj(Bu C).
összes olyan rendezett (a,b) elempárok halmazát értjük, ahol a e A,
3. Mindkét művelet idempotens, azaz bármely A halmazra
beB.
An A = A, Au A - A.
Példa 4. Mindkét műveletre érvényes az elnyelési tulajdonság, azaz bármely
Legyen A = [a,b,c], B = {x,y]. Ekkor Aés,B halmaz Descartes-szorzata: A, B,C halmazra
An(Au B)= A, Au(AnB) = A.
AxB = [{a,x), {a,y), {b,x), {b,y), {c,x), {c, j)}.
5. Mindkét művelet disztributív a másikra nézve, azaz bármely A, B, C
halmazra
}l?i B= A, akkor az Ax A jelölés helyett használható A". Például, ha a
Au{Br^C)={AuB)n{AuC),
valós számok halmazát R jelöli, akkor R" a valós számokból alkotott
számpárok halmaza, amely geometriailag azonos a sík (számsík) pontjainak Ar)(BuC)-(A n B)u (A nC).
összességével. Ugyanígy az R xR xR =R “xR = R^ halmaz a tér pont­ Definíció. Az A és B halmaz A \ B különbségén A azon elemeinek összes­
jaival szemléltethető. ségét értjük, amelyek nem tartoznak 5-hez (1.5. ábra).
20 Egy- és többváltozós függvények 1.1.2. Kombinatorika 21
Definíció. Legyen A a H halmaznak részhalmaza. Ekkor A-nak a //-ra
vonatkozó komplementerén értjük a H\A halmazt (1.6. ábra). Jelölése: 1.1.2. Kombinatorika
Afj, vagy ha nem érthető félre, akkor A .
A kombinatorika a véges halmazokkal foglalkozik. Alapfeladata annak
H megállapítása, hogy egy véges halmaz elemeit hogyan és hányféleképpen
lehet csoportosítani.
a) Permutáció. Ha n különböző elemet valamilyen sorrendben helyezünk
el (írunk le), akkor egy-egy ilyen elhelyezést az n elem egy-egy permutá­
ciójának nevezünk. E permutációk száma:
P,r=n\
Tétel. A //halmaz tetszőlegest és B részhalmazaira (olv.: en faktoriális). A faktor iái is értelmezése:
A=A, ;i!=l-2-3-...'«, 1! = 1, 0!=1.
A nA = 0, Au A = H, Ha az elemek között k elem megegyezik (ismétlődik), akkor az ún.
ismétléses permutációk száma:
A n B -A u B , A u B -A n B .
n\
Az utolsó két azonosságot De Morgan-féle azonosságoknak nevezzük.
" k\ ■
A halmaz elemei lehetnek halmazok is. így egy H halmaz összes rész­
halmazai egy újabb halmazt alkotnak, melyet H hatvány halmazának Ha az elemek között r-féle különböző elem szerepel úgy, hogy az
nevezünk. Jelölése: P(H). Ha f/elemeinek száma n, akkor P{H) elemei­ egymással megegyező elemek száma rendre k^, k^, ..., k^., akkor az
nek száma 2”. n elemnek
Példák
1. Legyen R a valós számok halmaza, továbbá legyen k^\k2\...k,\
A - [x:x e R,|a'| < 2} , B = {x:xgR,x> O}. ismétléses permutációja van.
írjuk fel az A, B, AnB, Au B, A\B halmazokat. Fontos speciális eset, ha n elem között csak kétféle különböző elem van.
mégpedig az egyikféléből k, a másikféléből n- k darab. Ekkor az ismétlé­
Megoldás. A = {r x e R, |x-| > 2}, B = (x:x g R, x < 0}.
ses permutációk száma:
Mivel A és B közös elemei a kettőnél kisebb pozitív valós számok, ezért
^ n ő = {x:x e R, 0 < X < 2} . pk,n-k.._, n\
Mivel a két halmaz uniója e két halmaz valamennyi elemét tartalmazza, ezért ” k\{n-k)\
u = {x:x e R, X > -2}.
Az A\B halmaz A-nak azokat az elemeit tartalmazza, amelyek nem tartoznak Példák
ő-hez, így 1. 5 elem permutációinak száma: /5 = 5! = 1 ■2-3 -4-5 = 120.
^ \ ő = {x: X e R, - 2 < X < 0}. 2. Hány permutáció alkotható a MATEMATIKA szó betűiből?
Megoldás. Az elemek (betűk) száma n = 10. Ezek között megegyezők is vannak;
2. Igazoljuk, hogy A\{BuC) - A n B nC tetszőleges A, B, C halmazokra.
két M betű, három A betű, és két T betű. Tehát k^ =2, /c, = 3, k^ - 2, Az ismét­
Megoldás. Az A\B = An B és a De Morgan-féle második azonosságot felhasz­ léses permutációk száma:
nálva:
.2,3,2 10!
= 151200.
A\{BuC)= An{BuC) =- An{B nC)= AnBnC. 2!3!2