Faltungsgleichungen und Projektionsverfahren zu ihrer Lösung PDF
Preview Faltungsgleichungen und Projektionsverfahren zu ihrer Lösung
I. Z. GOCHBERG . 1. A. FELDMAN FALTUNGSGLEICHUNGEN UND PROJEKTIONSVERFAHREN ZU IHRER LÖSUNG MATHEMATISCHE REIHE BAND 49 LEHRBüCHER UND MONOGRAPHIEN AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN I. Z. GOCHBERG·I. A. FELDMAN FA LTUNGSGLEICHUNGEN UND PROJEKTIONSVERFAHREN ZU IHRER LOSUNG In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nato habil. SIEGFRIED PRÖSSDORF 1974 SPRINGER BASEL AG Dieses Buch erschien auch in der Reihe "Mathematische Lehrbücher und Monographien", II. Abteilung, Band 36, im Akademie-Verlag, Berlin M. Il. rox6epr, M.A. cI>eJIh)J;MaH YPABHEHMH B CBEPTHAX M IIPOEHIlMOHHbIE METO,[(bI MX PEIDEHHH Erschienen im Verlag "NAUKA", Moskau, 1971 Deutsche Übersetzung: Dr. rer. nato REINHARD LEHMANN Dr. rer. nato J1)RGEN LEITERER @ Springer Basel AG 1974 Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1974 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1974 Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten. ISBN 978-3-0348-5512-9 ISBN 978-3-0348-5511-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-5511-2 MARK GRIGOREVIC KREIN gewidmet VORWORT Die ersten grundlegenden Ergebnisse über Integralgleichungen auf der Halb achse mit Kernen, die nur von der Differenz der Argumente abhängen, wurden 1931 von N. WIENER und E. HOPF erhalten. Nach dem Erscheinen ihrer klassi schen Arbeit [1] erhielten diese Gleichungen die Bezeichnung WIENER-HoPF Gleichungen. Zum gegenwärtigen Zeitpunkt ist die Theorie der WIENER-HoPF-Gleichungen hinreichend vollständig entwickelt. An ihrer Ausarbeitung waren viele Mathe matiker (in der Hauptsache sowjetische) beteiligt. Wir führen hier nur die fundamentale Arbeit von M. G. KREIN [4] an. Ausgehend von dieser Arbeit kamen in den Untersuchungen der WIENER-HoPF-Gleichungen verstärkt funk tionalanalytische Ideen und Methoden zur Anwendung. Die Darlegung, wie sie im vorliegenden Buche verfolgt wird, beruht ebenfalls auf der Funktionalanalysis. Sie geht von einer speziellen Operatorenrechnung aus. Dieser Weg führt in natürlicher Weise zu einer bestimmten Klasse von Fal tungsgleichungen, die insbesondere die eingangs erwähnten WIENER-HoPF Gleichungen enthält. Darüber hinaus fallen hierunter auch die diskreten Analoga dieser Gleichungen, gewisse Differenzengleichungen, die sog. paarigen Gleichun gen, die singulären Integralgleichungen auf dem Kreis u. a. Einen bedeutenden Raum nehmen im Buch die verschiedenen Projektions verfahren zur Lösung von Faltungsgleichungen ein. Die Begründung dieser Verfahren erfolgt ebenfalls im Rahmen des allgemeinen Schemas. Die Darlegung beruht hauptsächlich auf den in den Jahren 1963-1967 ver öffentlichten Arbeiten der Autoren. Der Gedanke, ein solches Buch zu schreiben, entstand im Jahre 1964. Zu dieser Zeit begannen die Autoren, Spezialvorlesungen an der Universität Kisinev zu halten. Die vorangegangene Herausgabe der Rotaprint-Broschüre "Pro jektionsverfahren zur Lösung von WIENER-HoPF-Gleichungen" (Verlags abteilung der Akademie der Wissenschaften der Moldauischen Sozialistischen Sowjetrepublik, Kisinev 1967) half uns wesentlich bei der Arbeit an diesem Buch. Wir setzen voraus, daß der Leser vertraut ist mit den Elementen der Theorie der Operatoren im HILBERT- und im BANAcH-Raum sowie mit der Theorie der BANAcH-Algebren. Die Autoren danken M. G. KREIN für seine Unterstützung und für das be ständige Interesse, das er dem Buche entgegenbrachte, sowie N. J. KRUPNIK VI Vorwort A. S. MARKUS, A. A. SEMENCUL und 1. B. SIMONENKO für die Diskussionen über verschiedene Fragen und für ihre wertvollen Bemerkungen. Die Autoren bringen ihre Dankbarkeit dem Redakteur des Buches, F. V. SIROKOV, zum Ausdruck. Seine Hilfe trug maßgeblich zur einfachen und exakten Darlegung bei. Kisinev, am 18. Februar 1970 VORWORT ZUR DEUTSCHEN AUSGABE Die vorliegende Ausgabe dieses Buches unterscheidet sich nur in einem Teil wesentlich von dem russischen Original. Es handelt sich dabei um den Schluß des dritten Kapitels, wo Verfahren zur Umkehrung endlicher TOEPLITz-Matrizen und ihrer stetigen Analoga dargelegt werden. Die beiden letzten Paragraphen von KapitelIII (§ 6 und § 7) der russischen Ausgabe sind durch drei neue Paragraphen (§ 6, § 7, § 8) ersetzt worden. Die neue Darlegung ist vollständiger und zeichnet sich auch durch größere Allgemeinheit und Einfachheit aus. Darüber hinaus sind die Literaturhinweise sowie das Literaturverzeichnis er weitert worden. Es wurden einige unbedeutende Druckfehler berichtigt. Die Autoren danken aufrichtig Herrn Prof. Dr. S. PRÖSSDORF, der der Initiator dieser übersetzung ist, sowie dem Akademie-Verlag und den beiden übersetzern, Herrn Dr. J. LEITERER und Herrn Dr. R. LEHMANN. Kisinev Die Autoren 1. Mai 1972 INHALTSVERZEICHNIS Einführung ................................................................ 1 Kapitel I. Allgemeine Sätze über WIENER-HoPF-Gleichungen ...................... 9 § 1. Polynome von einseitig umkehrbaren Operatoren ......................... 9 1. Einige Hilfssätze. ................................................. 9 2. Einseitig umkehrbare Operatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 11 3. Umkehrung von Polynomen von einseitig umkehrbaren Operatoren. ...... 16 § 2. Stetige Funktionen von einseitig umkehrbaren Operatoren. . . . . .. . . . . . . . . . 18 § 3. Die Umkehrung stetiger Funktionen von einseitig umkehrbaren Operatoren.. 21 1. Erste Variante. ................................................... 22 2. Zweite Variante. .................................................. 25 § 4. Allgemeine Sätze über die Umkehrbarkeit von Funktionen von einseitig um- kehrbaren Operatoren .......................................... 27 § 5. Die Faktorisierung von Funktionen und ihre Anwendung zur Umkehrung von Operatoren ................................................ 30 § 6. Lösung von Gleichungen mit einseitig umkehrbaren Operatoren aus ffi(V) 35 § 7. Diskrete WIENER-HoPF-Gleichungen ................................... 38 § 8. WIENER-HoPFsche Integralgleichungen. .. . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . .. . . .... 41 § 9. Funktionen von erzeugenden Operatoren... .... . . ... . ... . . . . . . . . . . . . . . .. 49 § 10. Gleichungen in endlichen Differenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55 § 11. Allgemeine Sätze über normal auflösbare Operatoren und deren Indizes. . . .. 56 Kapitel11. Das GALERKINSche Verfahren und Projektionsverfahren zur Lösung linearer Gleichungen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59 § 1. Das GALERKINSche Verfahren und seine Verallgemeinerung. .. . . ... . .. . . . .. 59 § 2. Projektionsverfahren ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 § 3. Stabilität der Projektionsverfahren .................................... 64 § 4. Ein Existenzsatz .................................................... 65 § 5. Operatoren, die eine Reduktion bezüglich einer beliebigen orthonormierten Basis gestatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 § 6. Operatoren, die eine Reduktion bezüglich einer beliebigen Basis gestatten, die einer orthonormierten äquivalent ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70 Kapitel111. Projektionsverfahren zur Lösung der WIENER-HoPF-Gleichung und ihres diskreten Analogons ............................................. 78 § 1. Projektionsverfahren für Funktionen von einseitig umkehrbaren Operatoren. 78 § 2. Lösung der diskreten Gleichungen mit dem Reduktionsverfahren . . . . . . . . . . . 80 § 3. Projektionsverfahren zur Lösung von Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .. 85 § 4. Mehrdimensionale diskrete Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89 § 5. Ein iteratives Verfahren zur Berechnung des Index einer Funktion. . ... . . .. 91 § 6. Umkehrung endlicher TOEPLITz-Matrizen ........................•...... 94 § 7. Eine weitere Formel zur Umkehrung TOEPLITzscher Matrizen .............. 100 § 8. Die Umkehrung abgeschnittener 'VIENER-HoPFscher Integraloperatoren .... 108 x Inhaltsverzeichnis Kapitel IV. WIENER-HoPF-Gleichungen mit un8tetigen Funktionen ................ 117 § 1. Unstetige Funktionen von isometrischen Operatoren .................... " 117 § 2. Anwendungen auf diskrete und Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 120 § 3. Projektionsverfahren für stückweise stetige Funktionen von einseitig umkehr- baren Operatoren .................................................... 122 § 4. Das Reduktionsverfahren für TOEPLITzsche Matrizen und ihre stetigen Analoga 123 § 5. TOEPLITzsche Matrizen, deren Elemente FOURIER-Koeffizienten meßbarer Funktionen sind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 126 § 6. Gleichungen in endlichen Differenzen .................................. 128 Kapitel V. Paarige Gleichungen ...................... '" ...•................ 133 § 1. Allgemeine Sätze .................................................... 133 § 2. Kriterien für die einseitige Umkehrbarkeit einer Klasse von paarigen Opera- toren .............................................................. 136 § 3. Allgemeine Sätze über diskrete Systeme ................................. 141 § 4. Paarige Integralgleichungen .......................................... 144 § 5. Ein allgemeines Kriterium für die einseitige Umkehrbarkeit paariger Opera- toren (der Fall unstetiger Funktionen) .................................. 146 § 6. Singuläre Integralgleichungen und Randwertaufgaben .................... 147 § 7. Paarige Differenzengleichungen ....................................... 149 Kapitel VI. ProjektionBverfahren zur LÖ8ung paariger Gleichungen ............... 151 § 1. Ein Projektionsverfahren zur näherungsweisen Umkehrung für eine Klasse paariger Operatoren ................................................. 151 § 2. Diskrete Gleichungen ................................................ 155 § 3. Integralgleichungen.................................................. 158 § 4. Singuläre Integralgleichungen ........................................ 161 § 5. Differenzengleichungen ............................................... 163 § 6. Das GALERKIN-Verfahren für den Operator der Multiplikation mit einer Funk- tion ............................•................................... 164 Kapitel VII. WIENER-HoPF8che Integro-Differenzengleichungen ................... 169 § 1. Ein Faktorisierungssatz .............................................. 170 § 2. Integro-Differenzengleichungen mit absolut konvergenten Symbolen ....... 173 1. Integro-Differenzenoperatoren und ihre Symbole. ..................... 173 2. Zurückführung des allgemeinen Falles auf den einfachsten. ............. 173 > 3. Der Fall v O. ................................................... 175 < 4. Der Fall v O. ................................................... 177 5. Der Fall v = O• ..•..••..••..•.•.......••.••...•..••..•••••••.••.•. 178 6. Die Notwendigkeit der Nichtausartungsbedingung. .................... 179 § 3. Integro-Differenzenoperatoren mit stetigen Symbolen .................... 180 1. Eine Abschätzung für die Norm von Integro-Differenzenoperatoren. ..... 180 2. Operatoren mit stetigen Symbolen. ................................. 183 3. Maximale Ideale der Algebra &. .................................... 184 4. Die Algebra &p und ihre maximalen Ideale. .......................... 185 5. Das Haupttheorem. ............................................... 187 § 4. Fastperiodische Funktionen und Halbgruppen ........................... 189 § 5. Projektionsverfahren zur Lösung von Integro-Differenzengleichungen ....... 190 § 6. Paarige Integro-Differenzengleichungen ................................ 193 1. Die Operatorenalgebra Gsp • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 194 2. Das Haupttheorem. ............................................... 195 3. Zusammenhang mit einer Randwertaufgabe. .......................... 197
The list of books you might like
