facultad de ciencias departamento de matemática aplicada tesis doctoral

206 Pages·2015·2.43 MB·English

FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
TESIS DOCTORAL:
CUATRO ENSAYOS SOBRE VALORACIÓN DE DERIVADOS Y
ESTRATEGIAS DE INVERSIÓN.
Presentada por Víctor Gatón Bustillo para optar al grado de doctor por la
Universidad de Valladolid
Dirigida por:
Javier de Frutos Baraja

Agradecimientos
Quiero agradecer a Javier de Frutos la oportunidad de haber podido realizar esta tesis
doctoral con él. Han sido unos años muy estimulantes, no sólo por el reto que este trabajo
supone, sino también por las informales (y divertidas) charlas y reflexiones sobre economía y
mercados. Le agradezco su dirección y guía durante mis primeros pasos en la investigación
matemática.
A la profesora María Cruz Valsero le agradezco su ayuda cuando comencé a trabajar por
primera vez con series históricas de datos. A la profesora Michèle Breton le agradezco todos
los comentarios y sugerencias durante el desarrollo del Capítulo 1.
Al profesor Peter Christoffersen le agradezco que amablemente me proporcionara los datos
reales de mercado que han sido empleados en los análisis de esta tesis.
Al Departamento de Matemática Aplicada, y en particular a la Sección de Ciencias, le
agradezco su acogida y la oportunidad de haber podido colaborar en la docencia y en ac-
tividades como la organización del SciCADE. Muchas gracias a todos los profesores por los
consejos y apoyo, tanto en el desarrollo de la tesis, como cuando me tocó estar al otro lado
de la barrera al impartir mis primeras clases.
Por último, un cariñoso recuerdo a todos los profesores que me dieron clase a lo largo de
la carrera y el Máster. Esta tesis ha sido posible gracias a ellos.

A mi Padre, aunque me saliera de letras
A Elena, matemática, compañera y amiga que siempre estuvo ahí
A Carmen y Pablo, los amigos de verdad lo son para siempre
A Sol-Leks, por la compañía en las noches de trabajo

“Doubt always of yourself until the data do not allow you to doubt anymore”
Louis Pasteur

Contents
List of Figures 4
Resumen 5
Preface 9
1 Reduced Bases Function Approach to Option Valuation 13
1.1 Introduction to Option Valuation 13
1.2 GARCH Models. 15
1.2.1 In The Sample / Out The Sample analysis 18
1.3 Polynomial Interpolation 22
1.3.1 Computation of the interpolating polynomial. 26
1.3.2 Tensorial Evaluation and Differentiation of the interpolation polynomial. 29
1.3.3 Interpolation Error 32
1.4 Reduced Bases Approach 36
1.4.1 Hierarchical orthonormalization 36
1.4.2 Tensorial valuation for Reduced Bases 41
1.4.3 Comments about the Reduced Bases method. 42
1.5 Numerical Results 43
2 Option Pricing with Variable Interest Rates. 49
2.1 Introduction 49
2.2 GARCH with variable deterministic interest rates 51
2.3 Stochastic Volatility and Stochastic Interest Rates 56
2.3.1 Heston SV model 57
2.3.2 The extended model 59
2.3.3 The stochastic bond. 61
2.3.4 Valuation Formula 66
2.4 Numerical Results 70
2.4.1 Analysis with the SV model 70
2.4.2 Analysis with the SVSIR model 73
3 Optimal Investment with Transaction Costs under Potential Utility. 77
3.1 Introduction 77
3.2 The Optimal Investment Problem 78
1
2 CONTENTS
3.3 Parabolic double obstacle problem. 83
3.3.1 Explicit formulas and properties 85
3.4 Alternative approach: Polar coordinates 87
3.4.1 Explicit formulas and properties 90
3.5 Central Finite Differences Method 92
3.5.1 Fixed spatial mesh 94
3.5.2 The Central Finite Differences method 94
3.5.3 Location of the Buying/Selling frontiers 96
3.5.4 Numerical Algorithm 102
3.5.5 Numerical Example 103
3.6 Mesh-adapted Chebyshev-collocation method 105
3.6.1 The adaptive mesh 105
3.6.2 Chebyshev collocation. 108
3.6.3 Comments about the boundary condition in the Chebyshev collocation
method 112
3.6.4 Location of the Buying/Selling frontiers 112
3.6.5 Numerical Algorithm 113
3.7 Numerical Results 115
3.7.1 Value of the function in v(0,t) 117
3.7.2 Location of the Buying Region frontier at time tˆ 122
1
3.7.3 First instant when is optimal to have a positive amount of the stock. 123
3.7.4 Performance Analysis 126
3.7.5 Stationary state 128
4 Option Pricing with Transaction Costs under Exponential Utility 131
4.1 Introduction 131
4.2 The original model 132
4.2.1 Pricing options via utility maximization. 132
4.2.2 The Bellman equation. 138
4.2.3 Existence and uniqueness of the solution. Comments about constraint E 144
E
4.2.4 Restatement of the problem: Bankruptcy state 149
4.3 Numerical Method 151
4.3.1 Change of variables. 152
4.3.2 Localization of the problem 153
4.3.3 A Pseudospectral method. 155
4.3.4 Numerical algorithm 158
4.3.5 Stability, consistency and convergence. Localization error. 161
4.4 Numerical results 176
4.4.1 Implementation of the method. Remarks 176
4.4.2 Error convergence, localization error and computational cost 180
4.4.3 Numerical examples with transaction costs 189
Bibliography 195