Exploration sans limite : l’infini mathématique

140 Pages·2013·20.289 MB·French

by  Enrique Gracian

!. Le monde est
MATHÉMATIQUE
EXPLORATION
SANS LIMITE
L'INFINI MATHEMATIQUE
«
UNECOLLECTION PRÉSENTÉE PARCEDRIC VILLANI
MÉDAILLE FIELDS
DIRECTEUR DE L'INSTITUT HENRI POINCARÉ
j
EXPLORATION
SANS LIMITE
EXPLORATION
SANS LIMITE
L'INFINI MATHÉMATIQUE
Enrique Graciàn
Le monde estmatiEmatiqie
Une collection présentée par CÉDRIC VILLANI,
médaille Fields 2010, directeur de l'Institut Henri Poincaré,
enseignant-chercheur de l'Université de Lyon
Une édition réalisée avec le soutien del'IMP I1111 |
www.ihp.fr llip Henri
Poincaré
L'Institut Henri Poincaré (IHP) a été créé en 1928 à Paris, à l'initiative
de chercheurs français et américains, pour favoriser les échanges
intellectuelsliés aux mathématiques. Soutenue par leCNRS et ruPMC,
cette "MaisondesMathématiqueset delaPhysiquethéorique" estsituée
surleCampusPierreet MarieCurie, hautlieu historiquedelascience,qui
participaà lanaissance de laphysiqueatomique, à lacréation du CNRS
etàcelleduPalaisdelaDécouverte. Dirigédepuis2009 parCédricVillani
- enseignant-chercheur de l'Université de Lyon -, l'IHP se concentre
sur trois missions : l'accueil, chaque année, de centaines de chercheurs
de haut niveau, venus du monde entier pour des conférences, cours,
séjours de recherche et discussions informelles ; lesoutien logistique
de la recherche mathématique française ; et enfin, le développement
des contacts entre la recherche mathématique et la société : éléves, ;
enseignants, entrepreneurs, artistes, journalistes et tous les publics
intéressés par lafascinante aventure des sciences.
Images
et en collaboration avecImages des Maths des
http://images.math.cnrs.fr Maths
Images des Mathématiques veut contribuer à réduire le manque de
communicationentre leschercheursen mathématiques et lepublic.
Images des Mathématiques est une revue en ligne qui a pour but de
présenterlarecherchemathématique- enparticulierfrançaise- etlemétier
de mathématicien,à l'extérieurde lacommunauté scientifique. Tous les
articlessont écritspar deschercheurs en mathématiques et aucun article
n'estécritpourleschercheursen mathématiques. Onespèreainsimontrer
lesaspects mathématiquesde larecherchecontemporaine biensûr,mais
aussisesaspectshistoriques,culturelsetsociologiques. Lesiteesthébergé
parleCentre Nationalde laRechercheScientifique(CNRS).
Préface
Vers l'infini, et au-delà !
PûtJulien MelleTûy, maîtrede conférencesàVUniversité ClaudeBernardLyon 1
Imaginez:vousêtesl'heureuxpropriétaired'unhôtel,unpeuparticulierpuisqu'il
aune infinitédechambres,numérotéesparlesnombresentiers.Toutesvoschambres
sont occupées, maisun membre de votrefamiUe abesoind'un endroit où dormir.
Que faire? Une solutionconsiste àdemanderàl'occupant de chaque chambrede
déménagerdanslasuivante—l'occupantdelachambre1vadanslachambre2,celui
de la chambre 2 dans lachambre 3,etc.Cecifait,la chambre 1est maintenantlibre,
et vouspouvez loger une nouvelle personne.
Encore mieux : votre frère possède un hôtel similaire, complet également,
maisqui doit fermer pour travaux.Comment fairepour reloger sesoccupants?
C'est simple:demandezà tous voshôtes de déménagerdansleschambresavec
un numéro pair (l'occupant de la chambre 1 va dansla chambre 2,celui de la
chambre 2 dans la chambre 4,et ainsi de suite).Maintenant,toutes vos chambres
avec un numéro impairsont libres,ce qui vouslaisse assez deplacepour reloger
les occupants de l'immeuble de votre frère. L'hôtel imaginairedécrit ci-dessus
(appelé « hôtel de Hilbert » en l'honneur du mathématicienallemand David
Hilbert) illustre le fait que les ensemblesinfinis ont des propriétés qui peuvent
paraîtrecontradictoires,ou en tout castrèsdifférentesde ceàquoi noussommes
habitués.
Pourtant,nouspouvonstout àfaitimaginerdesensemblesinfinis.De plus,ilest
trèsdifficileenpratiquedemanipulerdesensemblesfinisavecuntrèsgrandnombre
d'éléments—parexemple,sil'on essaie decomprendrel'évolutiond'un gazaufildu
temps,ilestimpossiblededécrirecequiarriveàchaqueparticulecomposantcegaz;
maison peut essayer de décrirel'évolution de paramètres observables (lapression,
latempérature...) etpour celailestplusaisé deprétendrequelegazestfaitd'une
infinité de particules, infiniment petites,et respectantcertainesloisphysiques. De
même,ilestplussimpled'imaginer queletempsvariecontinûment plutôt quepar
incrémentsextrêmementpetits... En quelque sorte,on adonc besoindemanipuler
des ensembles infinis à cause de notre difficulté à nous représenter des ensembles
finis,maisdontlatailledépassenotre entendement.
PRÉFACE
Un problèmequiapparaîtalorsestd'essayerdecomprendrelespropriétésdeces
ensembles infinis ;on estparticulièrementintéressé paslespropriétésdel'ensemble
desentiersnaturels, et celles de l'ensemble desnombres réels (quipermettent de
modéliser desphénomènes «continus »).A lafin du xix^siècle,un mathématicien
allemand,GeorgCantor,aétéàl'origine d'avancéesfondamentales danslacompré
hensiondecesquestions.PourexpHquerunpeucela,essayonsdecomprendrequand
il estraisonnablede dire que deux ensembles(finis ou non) ont le même nombre
d'éléments.
Réahsonsune nouvelleexpériencedepensée:deuxgroupesd'enfantssetrou
ventdansunemêmesalle,etonvoudraitsavoirlequelestleplusnombreux.Biensûr,
onpourrait compter chaquegroupe,etcomparerlesrésultats,maisceseraittrèslong
s'ils'agitde grandsgroupes. On peut aussi demanderà chaqueenfantdu premier
groupedeprendreparlamainunenfantdusecondgroupe,auhasard.Une fois cela
fait,soitilresteradesenfantsd'un desgroupesquinetiennentpersonneparlamain
(auquel cas,leurgroupeétaitleplusnombreux),soitonsaura quelesdeuxgroupes
comportaientle même nombre d'enfants.
Lamême idée s'applique pour desensembles quelconques :on dit que deux
ensemblesX etY ontlemêmenombred'éléments s'ilestpossible deregrouperpar
paireslesélémentsdeX etY—àchaqueélémentdeX correspondunélémentdeY,
etàchaqueélémentdeYcorrespondunélémentdeX.Vusous cetangle,l'exemple
de l'hôtel de Hilbert présentéplushaut nous dit qu'il y a «autant »de nombres
entiers pairs que de nombres entiers ;Cantor montra que l'ensemble des entiers
naturels et celuides nombresréels n'ont pas le même nombre d'éléments (ily a
«strictementplus»depointssurunerèglegraduéeinfiniequ'il n'y adegraduations
surlarègle).Celan'estpastrèsétonnant;mais Cantormontraaussi qu'ilestpossible
de regrouper par paires,comme décrit ci-dessus,leséléments d'une droite et ceux
d'un plan:ilyauraitdonc«autant»depointssurlatabledevotrecuisinequesurle
bord decettetable... C'est pour lemoinssurprenant,àtelpoint que Cantor écrivit
àcesujet,dansune lettre àDedekind :«je levois, maisje nelecroispas».
Ce n'étaitque ledébutd'unelonguesériededécouvertes surlesensemblesinfi
nis,etilyauraitencorebeaucoup (uneinfinité ?) dechosesàdireàcesujet;maisil
esttempsde conclure cette préface,ce que nousferonsen reprenantl'exclamation
favorite du hérosd'un célèbrefilmd'animation,peut-être inconsciemmentinspiré
par Cantor:« Vers Vinfini,etau-delà!»
Sommaire
Introduction 9
Chapitre 1. Qu'est-ce que l'infini ? 11
L'infini au quotidien 11
La définition d'un dictionnaire 13
Trèsgrand et trèspetit 16
Apeiron 17
Infini potentiel et infini actuel 19
L'infini dansl'enseignement 23
Chapitre 2. Discret et continu 27
La densité 27
Discret et continu 28
Piéger le temps 30
Paradoxes de Zénon 33
La dichotomie 35
Achille etla tortue 36
La flèche en vol 36
Le stade 37
Une quadrature du cercle 41
Irrationnels 45
Lesautquantique 49
Chapitre 3. Rencontres à l'infini 53
Lapeinture tridimensionnelle 53
De laperspective àlagéométrie projective 55
Transformations continues 56
Quadratures 60
Eudoxe 62
Kepler 66
Galilée 68
Cavalieri 70
Descartes 72
SOMMAIRE
Chapitre 4. «Calculus » 75
L'analyseinfinitésimale 75
Newton 78
Leibniz 80
Epsilons 87
Chapitre 5. Le paradis de Cantor 93
Les séries de Fourier 93
Suitesfondamentales 95
La droite réelle 97
Les nombres cardinaux 98
Ensembles dénombrables 102
Plus qu'infini 105
Nombres transcendants 108
Nombres transfmis 112
L'hypothèse du continu 114
Chapitre 6. L'enfer de Cantor 119
Lespremières années 119
Lesrevuesscientifiques 123
La controverse de l'infini 126
Dedekind 126
Mittag-Leffler 128
Cantorl'excentrique 129
Lafolie 130
L'infini du xxf siècle 132
Annexe 135
BibHographie 139
Index analytique 141
Introduction
L'écrivainfrançaisAlphonseAllais (1854-1905)disait,avec un certainsensde
l'humour :«L'infini,c'est long, surtout verslafin », ce qui veut dire que notre
vision de l'infini est toujours empreinte d'une certaine proximité. En d'autres
termes, nous ne pouvons le voir que «d'ici », de l'endroit où nous nous trou
vons,hmités par notre finitude. Quand nous regardonsau loin, nous commen
çonsànousperdredans desconsidérationsphilosophiques,desélucubrations,des
conjectures qui nous conduisentfinalement, dansle meilleurdescas, àadopter
une position intellectuelle,voireune simpleattitude faceausujet.Iln'est donc
pasétonnant que l'infini ait été,soitet continue d'être un thème de réflexion
philosophique, religieux et scientifique, trois grands domaines delapensée hu
maine qui n'ont pastoujours été aussi nettement déUmités.
Pourbeaucoup,lapremièrechosequeproduit l'idée d'infini estune sensation
devertige,d'êtrefaceàquelquechosequi,quoiquenousfassions,finiraparnous
échapper.Et c'estvrai. Peut-êtreest-celàun deses plusgrands intérêts, en tant
quesource decréativité,évidemment,infinie.L'histoire del'infinienmathéma
tiques estsiintéressante etrichequel'on parledes«mathématiques del'infini»,
cequisignifie qu'un conceptaussiévasifapuseconvertirenunobjetmathéma
tique,comme ont pu l'être lesnombresou lesfigures géométriques.
Un objetmathématique est,essentiellement,un objetbiendéfini.Lemathé
maticien peut êtrevu comme un chasseur :il explore des terres inconnues, il
guette,il observe laproie,attend,lavisejusqu'à ce qu'ellesoitparfaitement en
ligne de mire, puis tire.
Voilà l'histoire de l'infini en mathématiques. Plus de trois mille ans ont été
nécessaires pour que cette proie soit enfin abattue.Elleafaitson chemin entre
dogmesetparadoxes,sepromenant danslesdomainesdelaphilosophiegrecque,
desspéculationsreligieuses etparmilesplusobscurssecretsdessectesinitiatiques.
Elle s'est aussi retrouvée parmi les objets de la géométrie et le labyrinthe des
nombres,terrains pluspropices àlachasse.
Nous pouvonssuivrelatracedel'infini dansl'esprit desplusgrandspenseurs
de toutes les cultures, qu'ils soient philosophes, théologiens, physiciens ou ma
thématiciens,au cœurd'une aventure nonexemptede dangers. Certainspaieront
cette aventureparlafohe,d'autresjouerontUttéralementleurvieetfinirontjugés
INTRODUCTION
par dessectesintolérantes ou jetés au bûcher par des religions intransigeantes.
Tout celapour cequi n'est,sommetoute,qu'une idée.Maisnoussavons qu'une
idée peut influencer de manière décisivenotre manière de percevoir le futur,
au-delà de notre propre existence,et,par conséquent,fairetrembler lesbasessur
lesquelless'appuientlescroyancesde toutes lescultures.
Quoi qu'il en soit,c'estunsujet qui, d'une certainemanière,affecte notre vi
siondu monde etintéresse donc nonseulementles mathématiciensmaisaussiles
philosophes.Cesdeux points devue doivent «dialoguer»entre eux car,comme
l'a dit un jour le mathématicien français Jean-Charles de Borda (1733-1799) :
«Sanslesmathématiques,on ne vapasaufond de laphilosophie ;sans laphilo
sophie,on ne vapasau fond desmathématiques ;et sanslesdeux, on ne voit le
fond de rien du tout. »
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