Experimental Mathematics in Action

335 Pages·2007·5.54 MB·English

(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
Experimental Mathematics
in Action
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
Experimental Mathematics
in Action
David H. Bailey
Jonathan M. Borwein
Neil J. Calkin
Roland Girgensohn
D. Russell Luke
Victor H. Moll
AKPeters,Ltd.
Wellesley,Massachusetts
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
Editorial,Sales,andCustomerServiceOffice
AKPeters,Ltd.
888WorcesterStreet,Suite230
Wellesley,MA02482
www.akpeters.com
Copyright(cid:1)c 2007byAKPeters,Ltd.
Allrightsreserved. Nopartofthematerialprotectedbythiscopyrightnoticemay
bereproducedorutilizedinanyform,electronicormechanical,includingphoto-
copying, recording, or by any information storage and retrieval system, without
writtenpermissionfromthecopyrightowner.
LibraryofCongressCataloging-in-PublicationData
Experimentalmathematicsinaction/DavidH.Bailey...[etal.].
p.cm.
Includesbibliographicalreferencesandindex.
ISBN-13:978-1-56881-271-7(alk.paper)
ISBN-10:1-56881-271-X(alk.paper)
1.Experimentalmathematics.I.Bailey,DavidH.
QA8.7.E972007
510--dc22
2006048633
PrintedinIndia
1110090807 10987654321
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
Toourspouses,children,grandchildren, students,andallloversof
experimental mathematics
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
Contents
Preface xi
1 APhilosophicalIntroduction 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 MathematicalKnowledgeasWeViewIt . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 MathematicalReasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 PhilosophyofExperimentalMathematics . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 OurExperimentalMathodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 FindingThingsversusProvingThings . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 AlgorithmsforExperimentalMathematicsI 29
2.1 ThePoetryofComputation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 High-PrecisionArithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 IntegerRelationDetection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 IllustrationsandExamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 DefiniteIntegralsandInfiniteSeriesSummations . . . . . . . . . 43
2.6 ComputationofMultivariateZetaValues . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7 Ramanujan-TypeEllipticSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 AlgorithmsforExperimentalMathematicsII 53
3.1 TrueScientificValue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 PrimeNumberComputations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 RootsofPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 NumericalQuadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 InfiniteSeriesSummation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6 Ape´ry-LikeSummations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
vii
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
viii Contents
4 ExplorationandDiscoveryinInverseScattering 79
4.1 MetaphysicsandMechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 ThePhysicalExperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 TheModel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4 TheMathematicalExperiment: QualitativeInverseScattering. . . 90
4.5 CurrentResearch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 ExploringStrangeFunctionsontheComputer 113
5.1 WhatIs“Strange”? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2 NowhereDifferentiableFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3 BernoulliConvolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6 RandomVectorsandFactoringIntegers: ACaseStudy 139
6.1 LearningfromExperience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2 IntegerFactorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.3 RandomModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.4 TheMainQuestions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.5 Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.6 WhichModelIsBest? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.7 ExperimentalEvidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7 ASelectionofIntegralsfromaPopularTable 161
7.1 TheAllureoftheIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.2 TheProjectandItsExperimentalNature . . . . . . . . . . . . . . 163
7.3 FamiliesandIndividuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.4 AnExperimentalDerivationofWallis’Formula . . . . . . . . . . 167
7.5 AHyperbolicExample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.6 AFormulaHiddenintheList . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.7 SomeExperimentsonValuations. . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.8 AnErrorintheLatestEdition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.9 SomeExamplesInvolvingtheHurwitzZetaFunction . . . . . . . 185
8 ExperimentalMathematics: AComputationalConclusion 189
8.1 MathematiciansAreaKindofFrenchmen . . . . . . . . . . . . . 189
8.2 PuttingLessonsinAction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.3 VisualComputing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.4 APreliminaryExample: VisualizingDNAStrands . . . . . . . . 194
8.5 WhatIsaChaosGame?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.6 Hilbert’sInequalityandWitten’sZetaFunction . . . . . . . . . . 202
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
Contents ix
8.7 ComputationalChallengeProblems . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.8 LastWords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9 Exercises 225
ExercisesforChapter1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
ExercisesforChapter2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
ExercisesforChapter3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
ExercisesforChapter4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
ExercisesforChapter5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
ExercisesforChapter6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
ExercisesforChapter7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
ExercisesforChapter8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
AdditionalExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Bibliography 301
Index 317
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)