Exercices sur les cercles & la cocyclicité

2.8 MB·French

by  Dany-Jack Mercier

Conclo

Géométrie du cercle et similitudes.
ans le plan affine euclidien orienté, on considére un cercle C et une corde [AB] de ce cercle. On
‘note O le milieu de [AB] et Ion trace deux autres cordes [CD] et [BF] du cercle € passant par O.
‘Soit G (vesp. H) Vintersection de (CE) (resp. (FD)) et (AB). Le but du probleme est de prouver
‘de deux manires différentes que O est le milieu de |G).
1) Premitre méthode : Soit A la médiatrice de [AB] et # la réflexion par rapport & A. On note
a(F) =F’ et 9(D) =D.

's) Faire une figure,

1) Démontrer Végalité d'angles orientés de droites : (0G, OF’) = (CG, CF") (x). Que peuton
dire des points O, G, C, F'?

) Démontrer l'sgalité : (F/O, F'G) = (F/O, FD’) (x).

4) Concture.
2) Deuxiéme méthode : La paralile a (CE) passant par H coupe les drcites (CD) et (EF)
respectivement en K et L.

‘) Faire une nouvelle figure.

»b) Démontrer les tgalites:

HDHF (1);

Balation

“fucer0003) Dany Tack Mercer
(spit de Monch acntuate ot al loka du Vater ex. orl du cape, n°53p 120)

1
Ab)

(OG, oF’) = (OF,0A) =(FE,FF’) = (CE,CF’)=(C6, CF’)

ayn coe,
AZ, pith 0,6,0,F! aiirank por abignes als nenoe eaeyelngats
dg

(F'0,F'G) = (C0,CG) = (CB, CE) = (FD, FE)

(FO, Fo>

= (F/o,F’D')
ayn

dene CIE) CRD). Ruhemert dit for ph Fi G,D’aembk alignio

did) Wek oy, GECFIDIIN(AB), Comme ”(H) E a(FD)NAlAG)

, = Cris) O18
st comme (FSD X (AB), om dédib : acHy=G _
nn .

Ce ame bye bh ge Be meee say te pe of
re On ee Dee Loe ee ne os
2 A Romibatis B dacenhe © eb rappak SH Ramfeame

we LB) K Doe

aa

y

fnph EG,
OG

oH Lh Hie @)
oe EG Ge
Ted 2) erro
Ou. LHe HK HDL F (3)
os £6.60 6C.GE
° to purvone da H ay crcl © err

He

Gn.Ge
oH _ OH
es og

= (040A). (O48 = CH - OA™

= OG*- on*
Corcfes

Vier cradle 0,0, 6 dendina nuyonn a da cers rsopecify ©,,0,, Op
porsek par um mame peitk A. Cy naempe EL on B oY anc

U, rene Cm D

Haq A eb foiPocenbe du tans BoD,

(Ad$ : extrair dane wchiihé de 2ade nha ve "Mele eaptitnihe encode”, of Ragas IREM A220
le jute 95)

+ Tabatin : Cn utilire fe ntowltab oursan +
Dor Ce fegue A, M,C sot allgnca
(nat (BM) ork paap, & CAM) AE COMD ...)

Gn eompltti Le Bes. 2 on agonal fan pinks Ai MA, deamétrakemewt oppncs
FRom TOE neop, LniLbal sagpshi mg ABA, sont aliyés , AUC My attra
Ar ADA, aumi. Be play CAB LCA) ob AAa 2. AR menbenk que CAB)
wor Ge eridiatitee de AA, Un poukieubin Bea milion ce AAJ.
Aemine serromntmink pre qa © wr Ce rmuticn de CALA ob cade: 4 TA)
La nkcipnogs Le Thaks monke ales pe COO) YAY.

on a J 0) 1 cco) > ant egos 6
Artommensosr 3foo , Aust tiathecenbe ole 800 .
= Tacdubi

Vecknielle [incetite)

Gn whines Bo 3 Leranyts
APPLE ORO,C et OAQD
apponasnack avs Ce lenin

OP, B erin mange con pentde 4 Stes
Esaux . Seo diagonals (0,,) u (AA) acak
puprdieaces ,

Wevbresionk at montis que (ABYL (CI) . Ga a:

Bakubion: Comperition 'RomadRibier Styrali dan article

Five lave pes
PENTAGRAMME DE MIQUEL

‘Soit ABCDE wn pentagone conveze prolongé en un pentagramme FGHIJ ( = (AB) \(BC),G = (AB)
(CD).,...). Soit (resp. Ly M,N, O) le second point dintrsection des cerclesciconscrts aux triangles ABF
et BCG (resp. BCG et CDH, CDH et DEI, DEI et EFJ, EFJ et ABE).

Tes points KL, M,N et 0 sont cocycliques.

‘Démonstration
‘Montrons que les points K,L,N et O sont cocydiques, te. que ORL + ONL = x.
Or

OKB = x -OAB = OA} = ONT

Done :
ORL + ONL = ORB + BRL + ONL = ONJ + IGL+ONL = JGL + EN}
1 faut done montret Ia cocyliciv des points G,L,NV et J. Or sion trace le cele passant par ces points, on
constate qu'il passe également parle point D. Oa a, d'une part:
‘JG = BGL BCL = HCL = HDL =» - ID)
de sorte que les points G,J,L et D sont cocycliques, et autre part
GIN = AIN = x ~ AEN = NBT = NDI
de sorte que les points GJ, et D sont cocyeliques
Ainsi les points G,L,D.N et J sont cocycliqus.
Done OKL + ONE.

‘On prouve de meme la cocylicive des points KL, M et 0.
Finalement, les points K,L,.M,.N et O sont cocyciques,

GDR

Baptiste GORIN, aallou€ -& 471/05 ou ;
Alip : I wnw. naunton .cufin p/nacBerche Wien / EDaRarses! Jour ) Ren kayramme _ Micyinl’ pdf