Exercices sur les anneaux

5.3 MB·French

by  Dany-Jack Mercier

y

Montrer qos (4, +,,) et un anneau commitatiY Goes sont les diviwars de
Odans A.
99) On note ont finch B = 7x Za Pon din los optrations interes

(6,2) (0,0) = (040,040) et (@,0).(00!) = (aa! — 0',a¥ + ba’)

Montrer que (E,+,,) est un anneau commutatif unitaire. Eat intogre 7
Déterminer les diviseurs de unite dans

8) Lianneau des enters de Gauss est Z[f] = {a + ib € C/a,b€ Z}. Veri-
fier que Z|] est un sous-anneau de C et qu'l st somorphe a B.

“Yomna008) Dany Jack Marder
A Amacaas x
wana 0009) —_
Secrcise : 9) Ennati A= ZAZ Gri munit’ A dey 2 Pio

(a,b) + lat, b') = (aval, b+b') at Ca,b).(a',b) = (oa',0)
Moulin qua A cota amnean commutubl et lrouues tous By dite deO .

bb) Gr peo cable frist «

(a,b) rCal,bi)= (asa! bre!) a (a,b).L0,¥) =(aa’-bb) abl+ba’)
Hodier qua A coum emmean commutely uniteine . Lori unbige ?
Ditriminnr Bio divigeums de unite .

vo EA dinamo nar da dvd» Ah ofr VE,EH
S£.1 a) also dnd bpd
bo) Nalin Halal) Plumitl de A .6n ama +
aatabblea ated
ie ay Ud,
toro benk Vab => { Ara EL °)
+ Avalege 7

oy jaciutee dnc
abltbalso => abb'+bialzo

GA) (0,4) 2 (0)

ata’s bia!so
allatb)so
det atso at a,b) 2 lo),

Hoss alas , (A) donne: J MEO
ablco

Arai ai Ca,Wlai boo at (a,d)x0,0) on a: Ca¥ olen) eA imbigne

» Dive de? aa'-bb's4 (a
triieece @y aw
-Stazeo, be -S'b dmc aaty bt'bid =|
, > b

Grea’ ©% jake enbaine |G”

Ammae [l4,0).64,0)= 1]
- ©, (2)ab (3) pitetivent : POE-A ep (oaylo-e4
Ha'=o ~
co,-4) 10, 4) 24

Concluotr : Reo cliwreuo da tf aunt de ba ferme (©, +4) ou (44,0).
Fononx

Soit a un élément d'un anneau principal A. Montrer que :
1) a eat iréductible «i, et seulement si, a est premier avec tout nombre
ui ne divise pas,
2) a est irréductible ei, et soulement si, il vérifie Passertion suivante :

alte = ald ou a|

jam019) Dany-Tack Mercer
Annraux

Sait Pam annean princcpal

Hq:

a inkduchible Gp aes pumitr avec tout bre quli® ne dinbe pao
by a vndductibhe od 3 alpq DP alpewslqy

2) (D) SeaYb skot daskam dive commun cack , dla deme
deau eu a (avec ue A*)

Asan edhimporilfe (oinm ald] b) donc d= 4 €A*

Gra mow + dlaukdlb a dea*

ce a Abed

(&) Sctbacpq.
Scalp , praa’ ek asaa'g @ d4=a'g @ qGEA*
Scakp , arpzd eb &h. de gam anbute alg . On moe
alae que PEAY comme co- domus

&) G) Sea Unéduchille , oitalpg . a est premin avec tout él.
geist ne clive pas, clone :
atatp ales arpsd et Ce TR de gauss embretine alg

> Se ozpq , ale alpg dene lp on aly
Suppoms alp. Grama prau et as

aug ds ug he ent
done p eh srriduclibee

qen™.
Anneaux de fractions 5-14.
Soit A un anneau commutatif et unitaire, mais non nécessairement intégre. Une partie $ de A est
ive multiplicative a elle vérifie

1eS,0¢SetVrCS WES ES.

1) Soit ® la relation dans "ensemble A x $ définie par
Y(@s),(e,s)EAXS (a8) R(as!) 3S (as!~s0!)t
la clase d’équivalence du couple (a, 8),

Montrer que ® est une relation déquivalence. On notera
et S1A Vensemble quotient A x $/R, Verifier que les
a, @ asta’ a
sty ae
<éfinissont sur une structure d’anneau, Verifier que "application ¢: A —+ S~4A définie par
‘est un morphisme d'anneaux. Est-ilinjectif ?
2) A partir de cette question et jusqu’a la fin du probléme, on suppose que anneau A est intdgre.
Quelle simplification cela entraine-t'l dans la définition de R ? Que devient l'application i ?
Peut-on considérer A comme un sous-anneau de S"1A ?
8) Si Rest un anneau, on note Py Tensemble des idéaux premiers de A n’interceptant pas S, et
Po-ia Vensemble des idéaux premiers de S~"A. Montrer que lapplication
oo Poa
To spe {ifier

ses}

‘est bijective croissante dinverse J ++ J A.
4) Anneau local. De fagon générale ets A est un anneau intAgre, monterIéquivalence entre leo
propriétes
1) A ne poostde qu'un seul ital maximal,
4i) ensemble A\A* des éléments non inversibles de A forme un ideal.
‘Lorsque I'une des propritésc-dessus est vérifée on dit que A est un anneau local, et 'on marque
gu'alors Punique ital maximal M de A est = A\A‘
5) Soit¢ un élément non nul d'un anneau intgre A et = {254.0% .-}
8) Montrer que S et une partie multiplicative de A, On pose

(S€ Frac(A) /ac AetmeN}

A= 5 3A=

0 Frac) désign le corps des fractions do A.

») Supposons malatenant que A = Z et que ¢ soit un nombre eatier premier. Expliciter le groupe
sultplicatif 23 et montrer que Manneau Ze et local. Quls sont les idéaux premiers de Ze ?

) Déerize la iddaux premiers do Zp
66) Soit ¢ un elément non nul de Vanneau intagre A.

1) Montrer qu’ a correspondance bijective entre le idéaux premier de Aye es idéaux premiers
4de‘A ne contenant pas

3) Montrer quil y a correspondance bijective entre les idéaux premiers de A/(@) et les idéaux
promiors de A contenant t

©) Quels sont les idéaux premiers de 2/422
17) Soit I un idl premier d'un anneau inthgro A

a) Moatrer que la partie Sy = A\/ eat multiplicative. On pose Ay

») Montrer que 'anneau Ay est local.

) Quele sont les idéaux premiers de 2 ? de 2/52?

(Gal Mila p12 par exemple)

uann0019) Dany Jack Mer
Juana0049] 2

AD Park Jase de vod que R ok Rflewia a Syritiq .
Mortem Ra traneilrale’ - OP faut jrouer que
Caer R lala’)

(alla'y Rea", a”) 5 OMB)

Suppo doe quit eval bya eS tq
(as'-raybzo

( ale" sata”) u

Oke antrainn
(ete - sate ew se

(a'se” —alaa”Jue=o

(aa"— aa") aut =e

or proure bole qe (a,0) Ra’, 0”)

3) Zi ew been dfdube om S71 T at a’ clad pion de SR de ge Toran,
Ge pappat sec qe CSTR ute Le mmanomaphiame © RSA. my
Se Tema def de SR, aber TOA wenn wn deal da A
ph rusts E monber gue :

~ S"r MA == ~Wre ey

@ s"(snAy= T wre bog

Came de (A): SUENA DT ab hctd, Ree,ae

eh or CeL baeS, Bee

ane = gern aed (pupa

2
Tar poanian) , Cone pre hypitlere a fx) om dda 0 OF
ne ETOR .LtnDustn

Prouse de (2); Se TECag eH MET, oben ne & ome
FES TSIA) tor done wade” RAs, ot 6 E SrCTMAD “eer ne S ame wETNAG AES

FOR) er op eda puhsina ET on BET (pusige Toor jramitn), Cnns AT (eon
J [uann oo43) 3

4) Se Ane pentda quis aul edial mrcocinal 17, Dar bier rin
on CANAM. May Jrrel Cine ve da AVA* cot tn eBun dein tim robb al
mortem el, lnc Lol EM, Ga a mene que M=AVA™ a que AVAM
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de Z, olborrmh So'T oS ZT cod tm ideal premier da Z na

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Anneaus

SALA un onntan nen nbdutl.

Io} deel A ek 0} amt io peude idivauy &

Na mus but EA, Le Kamlakion Edie Cs rome ech oitnalle,
eit bijechioe .

)b) Suppome qu'il ecusti a,@Aitq & ociknon null. Menken Qexistines
Alum unique Bement edeA tel que enya, Pauutt que Veh xere
pad qua esx (on pouma conot diner L'amsembrle ces Limants de ba forme
were pom dimonher ce dernita point)

©) Undicuite que Act avihum anmean de cami nul (ca YngEA xys0)

eth am coy .

» # Om bas }me sx € Fi) cobain, tdiad & gauche cle A putsque
Orda Boe nbs ,
a Wrage Onde 9 xa-gas G-yya © Om Oa

¥ VyeR Vea Im Sa g.mas (gna € dm Oy

Dewtnhs po} ee dm by 1% Baro om 8a ounjachive .

#Se8ax0, 8, rma done ousjechioe . Dy tok tm endemerphiime. da groupe addilif
(Ait) done Kon8, ost sin souo-gpoupe da (A,+). Im feat, Ke Suz) x/naso}
coh wncdal & gauche de A jdac Wer8gcfesenA . Comme d yo, kn dyzh,
done Kony fo} sh 8, sere inject

#CreDuntn: Breo ou b, biyechP.

by) Dla La) , ba, dent byedif , Recstra am chm oul cement a belgue ea,za,,
Pacouite: VRE A nemena, caqui enhatne [wenn] (pudque 8, dujeckip).
¥ Debnam (x ER} eran tdtaf egauche cory

» o-eozoe4
(Hy) elegy = mete (ge) CD dd que cena ytgel

Van @S (ween) a ge yer syne yer J
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SENHA, @eociteract xeER tO que m=O =a, D Ely-er)= ea,
> Oza, abode

Bow Asjo) 2 Wee x-exc0
Ch: SES, 20, Asdram annean unitaire , lamb e