Exercices de Michel Quercia - Exo7

528 Pages·2016·2.93 MB·French

Exo7
Exercices de Michel Quercia
Lesexercicessuivantsontétérecueillisparmesétudiants(Maths-Sup,puisMaths-Spé)auxorauxdesconcours
d’entréeauxgrandesécoles.Ilssontclassésparthèmescorrespondantgrosso-modoauxdifférentschapitresdes
programmesdeMathsdesCPGE,maiscertainsexercicesancienssonttoutefoisdevenushorsprogramme.Pour
laplupart,lesexercicessontaccompagnésd’unesolutionplusoumoinssuccinteallantdelasimpleréponseau
calculdemandéàunerédactioncomplètepourlesquestionsnonimmédiates.
MichelQuercia
Table des matières
I Algèbregénérale 6
1 Applications 6
2 Coefficientsdubinôme 8
3 Ensemblesfinis 10
4 Nombrescomplexes 12
5 Opérations 16
6 Groupes 17
7 Anneaux 23
8 Relationsd’équivalence 28
9 Relationsd’ordre 29
10 PropriétésdeN 32
11 PropriétésdeR 34
12 Suitesrécurrenteslinéaires 35
13 Permutations 36
II Arithmétique 38
14 Congruences 38
15 Pgcd 40
16 RelationdeBézout 42
17 Factorisationennombrespremiers 43
1
18 PropriétésdeQ 44
19 PropriétésdeZ/nZ 45
III Polynômes 47
20 Polynômes 47
21 Divisioneuclidienne 51
22 Racinesdepolynômes 54
23 Polynômesirréductibles 58
24 Fonctionssymétriques 59
25 Fractionsrationnelles 61
26 Décompositionsdefractionsrationnelles 62
27 Décompositionenélémentssimples 64
28 Divisionsuivantlespuissancescroissantes 66
IV Algèbrelinéaire 66
29 Espacesvectoriels 66
30 Applicationslinéaires 68
31 Espacesvectorielsdedimensionfinie 69
32 Applicationslinéairesendimensionfinie 71
33 Matrices 76
34 Calculmatriciel 82
35 Équationslinéaires 85
36 Déterminants 88
37 Calculsdedéterminants 91
38 Rangdematrices 94
39 Projections 98
40 Réductionsdesendomorphismes 99
40.1 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
40.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
40.3 Espacesfonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
40.4 Polynômescaractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
40.5 Polynômesannulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
40.6 Endomorphismesdecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
40.7 Similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2
40.8 Usagedelaréduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
40.9 Réductionparblocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
40.10Imageetnoyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
40.11Sous-espacesstables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
40.12Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
41 Dualité 119
42 Sommesdirectes 123
V Algèbrebilinéaire 124
43 Produitscalaire 124
44 Espacevectorieleuclidienorientédedimension3 130
45 Formesquadratiques 133
46 Transformationsorthogonales 136
47 Endomorphismesauto-adjoints 140
48 Problèmesmatriciels 146
49 Espacesvectorielshermitiens 149
VI Fonctionsd’unevariable 152
50 Fonctionscontinues 152
51 Fonctionsmonotones 155
52 Fonctionsusuelles 157
53 Fonctionscirculairesinverses 161
VII Calculdifférentiel 163
54 Dérivation 163
55 Fonctionsconvexes 169
56 FormulesdeTaylor 172
57 Calculsdedéveloppementslimités 174
58 Calculsdelimitespardéveloppementslimités 176
59 Développementslimitésthéoriques 179
60 Développementslimitésimplicites 180
61 Équivalents 181
62 Équationsdifférentielleslinéaires(I) 182
3
63 Équationsdifférentielleslinéaires(II) 188
64 Équationsdifférentiellesnonlinéaires(I) 192
65 Équationsdifférentiellesnonlinéaires(II) 193
66 Dérivéespartielles 196
67 Étuded’extrémums 205
68 Équationsauxdérivéespartielles 207
VIII Calculintégral 209
69 IntégraledeRiemann 209
70 Primitives 215
71 Intégralegénéralisée 217
72 Intégraledépendantd’unparamètre 223
73 Intégralemultiple 232
IX Séries 236
74 Fonctionexponentiellecomplexe 236
75 Sériesnumérique 237
76 Famillessommables 247
77 Suitesetsériesdefonctions 249
78 Sériesentières 258
78.1 Rayondeconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
78.2 Développement,sommation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
78.3 Étudeaubord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
78.4 Équationsdifférentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
78.5 Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
78.6 Analycité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
78.7 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
79 SériesdeFourier 268
79.1 Développements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
79.2 Calculdeséries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
79.3 CoefficientsdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
79.4 RelationdeParseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
79.5 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
79.6 IntégraledeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
79.7 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
X Topologie 275
4
80 Suitesconvergentes 276
81 Suitesu = f(u ) 280
n+1 n
82 TopologiedeR 282
83 Topologiedanslesespacesmétriques 284
84 Topologiedanslesespacesvectorielsnormés 285
84.1 Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
84.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
84.3 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
84.4 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
84.5 Fonctionscontinues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
84.6 Applicationslinéairescontinues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
84.7 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
85 Compacité 298
86 Connexité 300
87 Espacescomplets 300
88 Fonctionsvectorielles 301
XI Géométrie 302
89 Sous-espacesaffines 302
90 Applicationsaffines 304
91 Barycentres 306
92 Propriétésdestriangles 307
93 Coniques 309
93.1 Parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
93.2 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
93.3 Hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
94 Quadriques 313
95 Torseurs 315
96 Géométrieeuclidienneendimension2 316
97 Géométrieeuclidienneendimension3 318
98 Courbesparamétrées 321
99 Courbesenpolaires 323
100Courbesdéfiniesparunecondition 323
101Branchesinfinies 325
102Pointsderebroussement 326
5
103Enveloppes 326
104Rectification,courbure 328
105Courbesdansl’espace 331
106Surfacesparamétrées 332
Première partie
Algèbre générale
1 Applications
Exercice2889 Imagesdirectesetréciproques
Soit f :E →F uneapplication,A,A(cid:48)⊂E etB,B(cid:48)⊂F.
1. Simplifier f(f−1(f(A)))et f−1(f(f−1(B))).
2. Montrerque f(A∩ f−1(B))= f(A)∩B.
3. Comparer f(A∆A(cid:48))et f(A)∆f(A(cid:48)).
4. Comparer f−1(B∆B(cid:48))et f−1(B)∆f−1(B(cid:48)).
5. Aquelleconditionsur f a-t-on:∀A⊂E, f(E\A)=F\ f(A)?
[002889]
Exercice2890 (X∩A,X∩B)
SoitE unensemble,etA,BdeuxpartiesfixéesdeE.Soitφ :P(E)→P(A)×P(B),X (cid:55)→(X∩A,X∩B).
1. Qu’est-cequeφ(∅)?φ(E\(A∪B))?
2. AquelleconditionsurAetB,φ est-elleinjective?
3. Est-cequelecouple(∅,B)possèdeunantécédentparφ?
4. AquelleconditionsurAetB,φ est-ellesurjective?
[002890]
Exercice2891 Partiestableparuneapplication
Soit f :E →E.Pourn∈N∗,onnote fn= f ◦ f ◦···◦ f ,et f0=id .
E
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
nfois
SoitA⊂E,A = fn(A),etB=(cid:83) A .
n n∈N n
1. Montrerque f(B)⊂B.
2. MontrerqueBestlapluspetitepartiedeE stablepar f etcontenantA.
[002891]
Exercice2892 Factorisationd’uneapplication
1. Soit f :F →E etg:G→E deuxapplications.Montrerqu’ilexisteuneapplicationh:G→F telleque
g= f ◦hsietseulementsi:g(G)⊂ f(F).
Aquelleconditionhest-elleunique?
2. Soit f :E →F etg:E →Gdeuxapplications.Montrerqu’ilexisteuneapplicationh:F →Gtelleque
(cid:0) (cid:1)
g=h◦ f sietseulementsi:∀x,y∈E, f(x)= f(y)⇒g(x)=g(y) .
Aquelleconditionhest-elleunique?
6
[002892]
Exercice2893 PropriétésdesapplicationsA(cid:55)→ f(A)etB(cid:55)→ f−1(B)
Soit f :E →F.Onconsidèrelesapplications
Φ:P(E)→P(F),A(cid:55)→ f(A) et Ψ:P(F)→P(E),B(cid:55)→ f−1(B).
Montrerque:
1) f estinjective ⇐⇒ Φestinjective ⇐⇒ Ψestsurjective. [002893]
2) f estsurjective ⇐⇒ Φestsurjective ⇐⇒ Ψestinjective.
Exercice2894 ϕ (cid:55)→ f ◦ϕ etϕ (cid:55)→ϕ◦ f
Soit f :E →F uneapplication,etGuntroisièmeensembleayantaumoinsdeuxéléments.Onconstruitdeux
nouvellesapplications:
f :EG→FG,ϕ (cid:55)→ f ◦ϕ et f∗GF →GE,ϕ (cid:55)→ϕ◦ f
∗
Montrerque:
1. f estinjective ⇐⇒ f estinjective ⇐⇒ f∗ estsurjective.
∗
2. f estsurjective ⇐⇒ f estsurjective ⇐⇒ f∗ estinjective.
∗
[002894]
Exercice2895
f g h
[h◦g◦ f,g◦ f◦hinjectiveset f◦h◦gsurjective]SoientE →− F →− G→− E troisapplicationstellesqueh◦g◦ f
etg◦ f ◦hsontinjectiveset f ◦h◦gestsurjective.Montrerque f,g,hsontbijectives. [002895]
Exercice2896 Partiessaturéespourlarelationd’équivalenceassociéeà f
Soit f :E →F uneapplication,etS ={X ⊂E tq f−1(f(X))=X}.
1. PourA⊂E,montrerque f−1(f(A))∈S.
2. MontrerqueS eststableparintersectionetréunion.
3. SoientX ∈S etA⊂E telsqueX∩A=∅.MontrerqueX∩ f−1(f(A))=∅.
4. SoientX etY ∈S.MontrerqueX etY\X appartienentàS.
5. Montrerquel’applicationS →P(f(E)),A(cid:55)→ f(A)estunebijection.
[002896]
Exercice2897 Conjugaison
SoitE unensembleet f :E →E bijective.
Laconjugaisonpar f estl’applicationΦ :EE →EE,φ (cid:55)→ f ◦φ◦ f−1
f
1. MontrerqueΦ estunebijectiondeEE.
f
2. SimplifierΦ ◦Φ .
f g
3. SimplifierΦ (φ)◦Φ (ψ).
f f
4. SoientI,S,lessous-ensemblesdeEE constituésdesinjectionsetdessurjections.MontrerqueI et
S sontinvariantsparΦ .
f
(cid:16) (cid:17)−1
5. Lorsqueφ estbijective,qu’est-ceque Φ (φ) ?
f
7
[002897]
Exercice2898 Ensembleséquipotents
E estmoinspuissantqueF s’ilexisteuneinjection f : E →F
SoientE,Fdeuxensembles.Onditque: E estpluspuissantqueF s’ilexisteunesurjection f : E →F
E etF sontéquipotents s’ilexisteunebijection f : E →F.
1. Démontrerque:(E estmoinspuissantqueF) ⇐⇒ (F estpluspuissantqueE).
2. MontrerqueN,N∗,{n∈Ntqnestdivisiblepar3},etZsontdeuxàdeuxéquipotents.
3. DémontrerqueE estmoinspuissantqueP(E).
4. Soit f :E →P(E)quelconqueetA={x∈E tqx∈/ f(x)}.ProuverqueA∈/ f(E).
5. Est-cequeE etP(E)peuventêtreéquipotents?
6. Soit G un troisième ensemble. Si E est moins puissant que F, démontrer que EG est moins puissant
queFG.
[002898]
Exercice2899 Affirmations
Soit f :E →F.Quepensez-vousdesaffirmationssuivantes?
1. ∀x∈E ∀y∈F f(x)=y.
2. ∀x∈E ∃y∈F telque f(x)=y.
3. ∃x∈E telque ∀y∈F f(x)=y.
4. ∃x∈E telque ∃y∈F telque f(x)=y.
5. ∀y∈F ∀x∈E f(x)=y.
6. ∀y∈F ∃x∈E telque f(x)=y.
7. ∃y∈F telque ∀x∈E f(x)=y.
8. ∃y∈F telque ∃x∈E telque f(x)=y.
[002899]
2 Coefficients du binôme
Exercice2900 Calculdesommes
Calculer∑n kCk et∑n Cnk .
k=0 n k=0k+1
Correction(cid:72) [002900]
Exercice2901 Calculdesommes
Soientn,p∈N∗ avecn(cid:62) p.
1. VérifierqueCkCp=CpCk−p pour p(cid:54)k(cid:54)n.
n k n n−p
2. Calculer∑n (−1)kCkCp.
k=0 n k
3. Endéduire∑n (−1)kCkkp=0si p<n.
k=0 n
Correction(cid:72) [002901]
Exercice2902 Calculdesommes
Soientn,p∈N∗.Simplifier∑p (−1)kCk.
k=0 n
Correction(cid:72) [002902]
8
Exercice2903 Sommesdecardinaux
SoitE unensemblefinidecardinaln.Calculer∑ Card(A),∑ Card(A∩B),∑ Card(A∪B).
A⊂E A,B⊂E A,B⊂E
Correction(cid:72) [002903]
Exercice2904 Sommesd’entiers
Soitn∈N.Calculer ∑ ij et ∑ ijk.
i+j=n i+j+k=n
Correction(cid:72) [002904]
Exercice2905 Combinaisonsavecrépétitions
Soientn,p∈N.OnnoteΓp lenombreden-uplets(x ,...,x )∈Nn telsquex +···+x = p.
n 1 n 1 n
1. DéterminerΓ0,Γ1,Γ2,Γn.
n n n 2
2. Démontrer que Γp+1 = Γp +Γp+1 (on classera les (n+1)-uplets tels que x +···+x = p+1
n+1 n+1 n 1 n+1
suivantquex =0ounon).
1
p p
3. EndéduirequeΓ =C .
n n+p−1
Correction(cid:72) [002905]
Exercice2906 Sommesdecoefficientsdubinôme
Soientn,p∈N.Montrerque∑nk=0Cpp+k =Cpp++n1+1. [002906]
p
Exercice2907 C maximal
n
Soitn∈Nfixé.Déterminerpourquellevaleurde plenombreCpestmaximal(onétudieralerapportCp/Cp+1).
n n n
Correction(cid:72) [002907]
p
Exercice2908 ParitédeC
n
Soit p∈N∗,etn=2p.
1. Soitk∈{1,...,n−1}.VérifierquekCk =nCk−1.
n n−1
2. Endéduireque:∀k∈{1,...,n−1},Ck estpair.
n
3. Endéduireque:∀k∈{0,...,n−1},Ck estimpair.
n−1
[002908]
Exercice2909 FormuledeVandermonde
Soienta,b,c∈N.Démontrerque∑c CkCc−k =Cc ...
k=0 a b a+b
1. Encalculantdedeuxmanières(1+x)a(1+x)b.
2. EncherchantlenombredepartiesdecardinalcdansE∪F,oùE etF sontdesensemblesdisjointsde
cardinauxaetb.
3. Application:Soientn,p,q∈N.Montrerque∑qk=0CqkCnp+k =Cnp++qq.
[002909]
Exercice2910 Formuled’inversion
Soit(xn)unesuitederéels.Onposeyn=∑nk=0Cnkxk.Montrerque(−1)nxn=∑nk=0(−1)kCnkyk. [002910]
Exercice2911 SuitedeFibonacci
Soitun=∑np=0Cnp−p.Montrerqueu0=u1=1et:∀n∈N, un+2=un+1+un (suitedeFibonacci). [002911]
9
3 Ensembles finis
Exercice2912 Permutations
Combienya-t-ildebijections f de{1,...,12}danslui-mêmepossédant:
1. lapropriété:nestpair⇒ f(n)estpair?
2. lapropriété:nestdivisiblepar3⇒ f(n)estdivisiblepar3?
3. cesdeuxpropriétésàlafois?
4. Reprendrelesquestionsprécédentesenremplaçantbijectionparapplication.
Correction(cid:72) Vidéo (cid:4) [002912]
Exercice2913 Permutationsdecouples
On doit placer autour d’une table ronde un groupe de 2n personnes, n hommes et n femmes, qui constituent n
couples.Combienexiste-t-ildedispositions...
1. autotal?
2. enrespectantl’alternancedessexes?
3. sansséparerlescouples?
4. enremplissantlesdeuxconditionsprécédentes?
Correction(cid:72) [002913]
Exercice2914 Nombred’opérations
1. Combienexiste-t-ild’opérationsinternessurunensembleànéléments?
2. Combiensontcommutatives?
3. Combienontunélémentneutre?
4. Combiensontcommutativesetontunélémentneutre?
Correction(cid:72) [002914]
Exercice2915 Formuleducrible
SoientA ,...,A nensemblesfinis.
1 n
1. (a) CalculerCard(A ∪A ∪A )etCard(A ∪A ∪A ∪A ).
1 2 3 1 2 3 4
(b) SuggéreruneformulepourCard(A ∪···∪A ).
1 n
(cid:40)
1 six∈A
2. Démonstrationdelaformule:OnnoteE =(cid:83)n A,etpourx∈E onpose f(x)= i
i=1 i i
0 sinon.
(a) Soientx ,...,x ∈R.Développercomplètement p=(1−x )×···×(1−x ).
1 n 1 n
(b) Enconsidérantlasomme∑x∈E(1− f1(x))...(1− fn(x)),démontrerlaformule1b.
3. Applications:
(a) Déterminerlenombred’applications f :{1,...,p}→{1,...,n}nonsurjectives.
(b) Déterminerlenombredepermutationsd’unensembleànélémentsayantaumoinsunpointfixe.
Correction(cid:72) [002915]
Exercice2916 Inégalitéspourlaformuleducrible
SoientA ,...,A nensemblesfinis,etE =(cid:83)n A.
1 n i=1 i
1. MontrerqueCard(E)(cid:54)∑ni=1Card(Ai).Casd’égalité?
2. MontrerqueCard(E)(cid:62)∑ni=1Card(Ai)−∑1(cid:54)i<j(cid:54)nCard(Ai∩Aj).Casd’égalité?
10