Exercices d'analyse mathematiques des fonctions a une une variable = Упражнения по математическому анализу функций одной переменной

27 Pages·0.271 MB·Russian

by  Gorelik L.

Académie d’état d’agroingénieur de Tchéliabinsk
Chaire de mathématiques

L. Gorélik

EXERCICES
D’ANALYSE MATHEMATIQUES
DES FONCTIONS A UNE VARIABLE

Analyse pour les agroingénieurs

Calcul de limites
Calcul de dérivées
Application de la notion de dérivée
Étude de fonctions

Tchéliabinsk, 2011
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Челябинская государственная агроинженерная академия

Л.Б. Горелик

УПРАЖНЕНИЯ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Для студентов билингвальных групп
факультета механизации сельского хозяйства

Пределы
Производная
Применение производной
Исследование функций

Челябинск, 2011

2
AVANT-PROPOS

Le but de cette collection d’exercices est d’aider les étudiants à acquérir une
maitrise technique de base en analyse mathématique qui constitue la formation
mathématique de base des études scientifiques.
Comment se servir de ce recueil ?
Les rappels,par lesquels s’ouvre chaque section, ne se substituent pas à un
exposé de la théorie tel que le lecteur en trouvera dans l’un ou l’autre des ouvrages
théoriques. On les a conçus, en principe, comme un exposé assez bref de ce qui est
nécessaire et suffisant pour résoudre les exercices qui suivent : les définitions,
quelques propriétés, l’une ou l’autre remarque, le tout souvent rédigé dans un style
assez télégraphique.
Les énoncés des exemples sont encadrés ; ils sont suivis de leur résolution
détaillée, introduite par la balise (cid:1) et clôturée par le triangle (cid:1).
Lorsque plusieurs exercices se trouvent sous un énoncé commun, ce dernier
est signalé par le symbole (cid:2) ; les exercices groupés sous ce chapeau font alors l’objet
d’une liste en retrait.

3
CALCUL DE LIMITES
Formes algébriques

x2 −3x + 2 x + 2 − x
1 (modèle). Soit f : x a et g :a . Calculer, si
x3 −3x −2 x −2
possible, lim f et lim g.
2 2

(cid:1) Pour calculer lim f , la méthode brutale de substitution de 2 à x dans
2
l’expression de f (x) ne fonctionne pas, puisqu’elle mène à
22 −3⋅2+2 0
= .
23 −3⋅2−2 0
On a affaire à la forme indéterminée 0/0. Ceci signifie que le numérateur et le
dénominateur de f (x) contiennent tous deux un facteur x−2, qu’il s’agit de
simplifier. En fait, si x ≠ 2,
x2 −3x+2 (x−2)(x−1) x−1
f (x) = = = ;
x3 −3x−2 (x−2)(x2 −2x+1) x2 −2x+1
donc,
x−1 2−1
lim f (x) = lim = =1.
2 2
x→2 x→2 x −2x+1 2 −2⋅2+1

(cid:1) Ici encore, une tentative de calcul de g(2) conduit à la forme 0/0. C’est
donc que numérateur et dénominateur de g(x) contiennent un facteur x−2 ;
cependant, le numérateur étant irrationnel, pour faire apparaître ce facteur, il est
nécessaire, d’abord, de multiplier la fraction, haut et bas, par le binome conjugué du
numérateur. Ainsi,
x+2− x2 − x−1 −2−1 3
limg = lim = lim = = − .
2 x→2(x−2)( x+2 + x) x→2 x+2 + x 2+2 +2 4
Une autre méthode consiste à utiliser le changement de variable y = x+2 ; alors, y
tend vers 2 lorsque x tend vers 2 , et x = y2 −2 ; donc,
x+2 − x y−(y2 −2) −(y−2)(y+1) y+1 3
lim = lim = lim = − lim = − . (cid:1)
x→2 x−2 y→2 (y2 −2)−2 y→2 (y−2)(y+2) y→2 y+2 4

x3 + 3
2 (modèle). Calculer, si possible, lim .
x→±∞ x2

(cid:1) Il faut d’abord remarquer que l’énoncé contient deux exercices : il est
x3 + 3 x3 +3
demandé de calculer lim d’une part et lim d’autre part. Dans
x→+∞ x2 x→−∞ x2

4
certains cas, les deux exercices peuvent être résolus simultanément, du moins en
partie, mais ce n’est pas le cas ici.
x3 +3 1 1 3
a) lim = lim ⋅(x3 +3) = lim + = 0+0 = 0.
x→+∞ x2 x→+∞ x4 x→+∞ x x4
x3 +3
b) Le domaine de la fonction x a , [−3 3; 0[∪]0; +∞[, étant
2
x
minoré, la limite n’existe pas. (cid:1)

3 (modèle). Soit f :R → R: x a x+ x2 +7x+6. Calculer lim f et lim f .
−∞ +∞

(cid:1) D’abord, clairement, lim f = +∞. Par ailleurs, lim f donne lieu à une
+∞ −∞
indétermination «∞−∞». Mais
( ) x2 −(x2 +7x+6)
lim x+ x2 +7x+6 = lim
x→−∞ x→−∞ x− x2 +7x+6

−7x−6/ x
= lim
x→−∞ x−| x| 1+7/ x+6/ x2

−7−6/ x
= lim
| x|
x→−∞1− 1+7/ x+6/ x2
x

−7−0 7
= lim = − . (cid:1)
x→−∞1−(−1) 1+0+0 2

(cid:2) Calculer, si possible :

x2 + x −6 3x2 − 2x +1−3
5. lim ; 10. lim ;
x→2 x2 − x −2 x→2 x3 −5x2 +12
x3 + 4x2 + 4x x2 +1−1
6. lim ; 11. lim ;
x→−2 x4 + 4x3 +3x2 −4x −4 x→0 3 x2 +1−1
x3 −3x − 2 3x2 +5x +1−2x −1
7. lim ; 12. lim ;
x→−12x4 −3x2 +1 x→1 3x − x2 + 4x + 4
5x3 −8x2 − x −6 3x2 −5x −1−3x2 + 2x
8. lim ; 13. lim ;
x→2 x3 −4x2 + 4x x→−1/3 3x + 3x2 + x +1

5
x3 −6x2 +11x −6 2x4 −5x3 −27
9. lim . 14. lim .
x→3x4 −6x3 +54x −81 x→3 2x +3 − x2 − x +3

(cid:2) Сalculer, si possible:

5x3 −4x2 + x 9x2 − x−1
15. lim ; 21. lim ;
x→±∞ −3x3 + x−2 x→±∞ 2x+3
x4 − x2 +3 4x2 −10x+20
16. lim ; 22. lim ;
x→±∞3x4 − x3 +5 x→±∞ 4x4 +12
2x3 −5x+3 4x2 + x−3
17. lim ; 23. lim ;
x→±∞ −4x2 +2x+7 x→±∞ x−1
3x2 −4x+1 3− x2
18. lim ; 24. lim ;
x→±∞ −5x3 + x−2 x→±∞ x2 +4x+5
8x2 −3x+4x3 −6+7x2 −1 x−7
19. lim ; 25. lim ;
x→±∞ 3x−2x3 +5x2 − x3 +4 x→±∞ x2 +1+ x2 +7
4x5 + x−7 x+3
20. lim . 26. lim .
x→±∞ − x3 −9x2 + x+115 x→±∞ x+4

(cid:2) Сalculer, si possible:

( )
27. lim 3x− 9x2 + x+1 ; 30. lim x −1 ;
x→+∞ x→±∞ 2x + x2 +3
( )
28. lim 16x2 − x−1+4x+3 ; 2x− 4x2 + x−3
31. lim ;
x→−∞
x→±∞ 5x−1
( ) ( )
29. lim 9x2 + x−3− 9x2 −4x−1 ; 32. lim 9x4 −5x2 +1−3x2 −4 .
x→±∞ x→±∞

(cid:2) Сalculer, si possible:

 
33. lim  x+ x2 +1 − x + x2 −1 .
x→+∞  

6
34. Soit la fonction définie par f (x) = x4/3 −(x2 −1)2/3. Calculer lim f et lim f .
+∞ −∞

 
35. Soit f (x) = x3 x2 + x4 +1 − x 2. Calculer lim f ainsi que lim f .
  +∞ −∞

36. Discuter d’après les valeurs de a∈R
 x(x+2) ax3 
lim  − .
 
x→+∞  x+1 x2 +1

37. Soit
2xn+1 − xn −1 ( )
f (x) = , n, p∈N* .
xp −1
a) Calculer lim f (x) lorsque n = 2 et p = 3.
x→1
b) Exprimer lim f (x) en général, en fonction de n et de p.
x→1

38. Discuter, d’après les valeurs de a∈R, l’existence et la valeur de
x − a + x−a
lim .
x→a+ x2 −a2

39. Soit
ax3 +bx2 + x−1
f (x) = .
x−1
Discuter, d’après a et b (a,b∈R) l’existence et la valeur de
a) lim f (x),
x→±∞
b) lim f (x).
x→1

40. Déterminer a et b (a,b∈R) pour que
x2 + x+a −(x+a) 2
lim = − .
x→+∞ 4bx2 − x+4 −2 x2 − x+a 3

41. Déterminer a, b et c (a,b,c∈R) pour que
( ) bx4 + x3 + x2 +1
lim ax2 − x−1+ x+2 = lim = c.
x→−∞ x→−∞ −4x4 + x3

42. Calculer lim f et lim f , si
+∞ −∞
( )
f (x) = x 3 x3 + x2 +6x −3 x3 + x2 +1 .

7
1 1
42. Soit f : x a − .
x 3 x
a) Calculer dom f .
b) Calculer, si possible, lim f , lim f , lim f .
0+ 0− 0

Formes trigonométriques

De nombreux cas d’indétermination faisant intervenir des fonctions trigono-
métriques se résolvent par l’utilisation du résultat suivant :
sin x
lim =1.
x→0 x

cosx − cos2x
44. (modèle). Calculer, si possible, lim .
2
x→0 x

(cid:1) On rend inoffensifs les radicaux en multipliant numérateur et
dénominateur de la fraction par le binôme conjugué, puis on utilise une formule de
Simpson :
3 1
2sin xsin x
cosx − cos2x cosx−cos2x
2 2
lim = = lim = lim =
( ) ( )
x→0 x2 x→0 x2 cosx + cos2x x→0 x2 cosx + cos2x
 3 1 
sin x sin x 
2
= lim 2 ⋅ 2 ⋅  =
x→0 x x cosx + cos2x 
 
 
3 1
sin x sin x
2 3 1 3
2 2
= lim ⋅lim ⋅lim = ⋅ ⋅1= . (cid:1)
x→0 x x→0 x x→0 cosx + cos2x 2 2 4

Сette limite peut également se calculer grâce aux techniques de la règle de
L’Hospital.

(cid:2) Сalculer, si possible:
sin x x +2sinx
45. lim ; 54. lim ;
x→±∞ x x→0 x−5sinx
3
sin x 1+sinx−cosx
2 55. lim ;
46. lim ; x→0 1−sinx−cosx
x→0 x

8
ctgax ( ) 1−sinx
47. lim , a,b∈R* ; 56. lim ;
x→0 ctgbx x→π/2 cos2 x
x−π/2 2(1−cosx)
48. lim ; 57. lim ;
x→π/2 cosx x→0 x2
1−cosx x−sin x
49. lim ; 58. lim ;
2
x→0 tg x x→±∞ x+sin x
sin x x2 sin(1/ x)
50. lim ; 59. lim ;
x→ππ− x x→0 sin x
πx 1
51. lim (1− x)tg ; 60. lim xsin ;
x→1 2 x→±∞ x
tgπx arcsinx
52. lim ; 61. lim ;
x→−2 x+2 x→0 x
1 cosx− cos2x
53. lim xsin . 62. lim .
x→0 x x→0 sin2 x

sin(sinx) sin(sin(...sinx)...))
63. Calculer: a) lim ; b) lim , (n∈N).
x→0 x x→0 x

tg5x
64. Soit f (x) = . Calculer, si possible, lim f et lim f .
tg3x 0 π/2

π 
65. Calculer, si possible, lim ctg2xctg − x.
x→0  2 

1+ xsinx −cosx
66. Calculer, si possible, lim .
x→0 sinx/2

(x−π/2)cosx
67. Calculer, si possible, lim .
x→π/23 sin x +3 sin3x

(2x+4)tgxcos2 x
68. Calculer, si elle existe, lim
x→x x3 −4x
0
a) pour x =0;
0 b) pour x = 2; c) pour x = −∞.
0 0

9
1−cosx
69. Calculer, si possible, lim .
x→0 1+ x − 1− x

70. Soit la fonction f (x) = (cos2x−1)/ x2. Calculer lim f et lim f .
0 −∞

Formes exponentielles et logarithmiques

Il importe de connaître les limites suivantes, auxquelles bien d’autres se ramènent.

 1x ex lnx
1) lim 1+  = e 4) lim =+∞,(a∈R) 7) lim = 0, (a∈R*)
x→±∞  x x→∞ xa x→+∞ xa +
2) lim (1+ y)1/y = e 5) lim xaex = 0 (a∈N) 8) lim xa lnx = 0 (a∈R*)
+
x→0 x→−∞ x→0+
ex −1 ln(1+ x)
3) lim =1 6) lim =1
x→0 x x→0 x

71 (modèle). Calculer, si possible, lim (cos2 x)1/x2.
x→0

(cid:1) La parenthèse tend vers 1 et l’exposant vers +∞ ; il s’agit donc d’une
indétermination 1∞. Or,
1
=1+tg2x;
2
cos x
par suite,
tg2x
−
1 1  1  x2
( ) −  
cos2 x x2 = (1+tg2x) x2 = (1+tg2x)tg2x  .
 
 
Le changement de variable y = tg2x donne
1 1
lim(1+tg2x)tg2x = lim (1+ y)y = e,
x→0 y→0+
tandis que
 tg2x  tgx2  1 sinx2
lim−  = −lim  = −lim ⋅  = −1.
 
x→0 x2  x→0 x  x→0cosx x 
tg2x
−
 1  x2
Finalement, lim(cos2 x)1/x2 = lim(1+ tg2x)tg2x  = e−1 = 1. (cid:1)
 
x→0 x→0  e
 

(cid:2) Calculer, si possible:

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