Exerc cios resolvidos de Algebra Linear e Geometria Anal tica

44 Pages·2009·0.21 MB·Portuguese

Exerc(cid:19)(cid:16)cios resolvidos de
(cid:19)
Algebra Linear e Geometria Anal(cid:19)(cid:16)tica
Rui Albuquerque
[email protected]
(cid:19)
Departamento de Matem(cid:19)atica da Universidade de Evora
(cid:19)
Rua Rom~ao Ramalho, 59, 7000-671 Evora, Portugal
10 de Maio de 2009
| Primeira vers~ao |
1
2
Albuquerque,Exerc(cid:19)(cid:16)ciosdeA(cid:19)lgebraLineareGeometriaAnal(cid:19)(cid:16)tica
Breve explica(cid:24)c~ao da origem destes exerc(cid:19)(cid:16)cios
(cid:19)
Aqueles que leiam o nosso\Prontu(cid:19)ario de Algebra Linear e Geometria Anal(cid:19)(cid:16)tica",
textoescritoparaocursodealga daslicenciaturasemramosdaEngenhariaedaF(cid:19)(cid:16)sica
(cid:19)
daUniversidadedeEvoradoanolectivo2008/09, commaiordi(cid:12)culdadeen~aopossam
assistir a aulas, encontrar~ao no presente um conjunto de exerc(cid:19)(cid:16)cios complementares (cid:18)a
teoria.
Mostramosaquiosenunciadosquese(cid:12)zeramparaosv(cid:19)ariosmomentosdeavalia(cid:24)c~ao
do curso. Acrescidos de um grupo de problemas dados numa aula te(cid:19)orico-pr(cid:19)atica, o
conjunto resulta em bastante mais do que o que se pode dar num semestre de aulas
pr(cid:19)aticas. Apresentamos ainda a resolu(cid:24)c~ao de todos os exerc(cid:19)(cid:16)cios.
Note-se que este texto n~ao (cid:19)e su(cid:12)ciente em problemas de c(cid:19)alculo linear, nomeada-
menteresolu(cid:24)c~aodesistemasdeequa(cid:24)c~oes,pr(cid:19)aticadom(cid:19)etododeGaussoucondensa(cid:24)c~ao,
c(cid:19)alculo de determinantes e invers~ao de matrizes | essenciais para a consolida(cid:24)c~ao do
estudo.
Necessitamos por vezes de fazer refer^encia ao \Prontu(cid:19)ario de ALGA", edi(cid:24)c~ao de
14 de Mar(cid:24)co de 2009, a u(cid:19)ltima que se disponibilizou ao pu(cid:19)blico e que se encontra em
http://home.uevora.pt/∼rpa/ . Sobre esses apontamentos, con(cid:12)amos que se mostre
positiva aquela escrita r(cid:19)apida | n~ao menos cuidada |, assim tanto quanto se possa
bene(cid:12)ciar o estudo urgente de um instrumento da matem(cid:19)atica fundamental como a
(cid:19)algebra linear.
Recordemos que o conhecimento te(cid:19)orico (cid:19)e o esteio de toda a formac(cid:24)~ao cient(cid:19)(cid:16)(cid:12)co-
t(cid:19)ecnica de base. Sempre a ser conferido pela pr(cid:19)atica.
Rui Albuquerque
Lisboa, 10 de Maio de 2009
3
Albuquerque,Exerc(cid:19)(cid:16)ciosdeA(cid:19)lgebraLineareGeometriaAnal(cid:19)(cid:16)tica
(cid:19)
Departamento de Matem(cid:19)atica da Universidade de Evora
1o Teste de
(cid:19)
Algebra Linear e Geometria Anal(cid:19)(cid:16)tica
27 de Outubro de 2008, 1a turma
Cursos de Ci^encias Ter. Atm., Eng. Civil, Eng. En. R., Eng. Geol., Eng. Inf. e
Eng. Mecat.
1. Seja(A;+;·)umanel. Mostreprimeiroque0+0 = 0edepoisquea·0 = 0; ∀a ∈ A.
2. Suponha que A;B ∈ M s~ao matrizes invert(cid:19)(cid:16)veis. Mostre que AB (cid:19)e invert(cid:19)(cid:16)vel.
n;n
3. Resolva o sistema 
 2u+v +x−z = 0


3u+2v −x−z = 0
(1)
 2u+x−2z = u


3x−v −2z = 0
pelo m(cid:19)etodo da matriz ampliada. Diga qual (cid:19)e a matriz do sistema, a sua carac-
ter(cid:19)(cid:16)stica, a caracter(cid:19)(cid:16)stica da matriz ampliada e o grau de indetermina(cid:24)c~ao.
Descreva o conjunto de solu(cid:24)c~oes, se existir, na forma mais simples que consiga.
[ ]
a b
4. Diga qual a condi(cid:24)c~ao para a matriz ter caracter(cid:19)(cid:16)stica 1. Pode sup^or
c d
desde j(cid:19)a a 6= 0.
5. Escreva a condi(cid:24)c~ao sobre uma matriz 2×2 para que seja complexa, isto (cid:19)e,
[ ][ ] [ ][ ]
x y 0 1 0 1 x y
= :
z w −1 0 −1 0 z w
4
Albuquerque,Exerc(cid:19)(cid:16)ciosdeA(cid:19)lgebraLineareGeometriaAnal(cid:19)(cid:16)tica
(cid:19)
Departamento de Matem(cid:19)atica da Universidade de Evora
1o Teste de
(cid:19)
Algebra Linear e Geometria Anal(cid:19)(cid:16)tica
29 de Outubro de 2008, 2a turma
Cursos de Ci^encias Ter. Atm., Eng. Civil, Eng. En. R., Eng. Geol., Eng. Inf. e
Eng. Mecat.
1. Seja (G;·) um grupo.
i) Suponha que G tem dois elementos neutros e;e0. Mostre que ent~ao e = e0.
ii) Suponha que g0 e g00 s~ao dois inversos do mesmo elemento g ∈ G. Mostre
que g0 = g00.
2. Considere uma matriz diagonal D e outra matriz quadrada A qualquer,
   
d 0 0 a a a
1 11 12 1n
   
 0 d   a a 
2 21 22
D =   A =  
 ...   ... 
0 d a a
n n1 nn
ambas de ordem n.
i) Calcule DA.
ii) Mostre que D tem inversa sse d 6= 0; ∀1 ≤ i ≤ n. Calcule a inversa.
i
3. Resolva o sistema 
 x−y +2u+v = 0


3u+2v −x−y = 0
(2)
 2u+x = 2y +u


3x = v +2y
pelo m(cid:19)etodo da matriz ampliada. Diga qual (cid:19)e a matriz do sistema, a sua carac-
ter(cid:19)(cid:16)stica, a caracter(cid:19)(cid:16)stica da matriz ampliada e o grau de indetermina(cid:24)c~ao.
Descreva o conjunto de soluc(cid:24)~oes, se existir, na forma mais simples que puder.
 
1 2 1
 
4. Diga qual a condi(cid:24)c~ao para a matriz  0 1 1  ter caracter(cid:19)(cid:16)stica 2.
1 c d
5. Encontre uma matriz n~ao nula cujo quadrado seja 0.
5
Albuquerque,Exerc(cid:19)(cid:16)ciosdeA(cid:19)lgebraLineareGeometriaAnal(cid:19)(cid:16)tica
Resolu(cid:24)c~ao do 1o Teste, 1a turma
1. 0 (cid:19)e o elemento neutro da adi(cid:24)c~ao, logo 0 + 0 = 0. Para a segunda igualdade,
faz-se
a:0 = a:(0+0) = a:0+a:0 (propriedade distributiva) ⇒ 0 = a:0
como quer(cid:19)(cid:16)amos demonstrar.
2. Se A e B s~ao invert(cid:19)(cid:16)veis, ent~ao admitem inversa A(cid:0)1 e B(cid:0)1, respectivamente.
Ent~ao
(AB)(B(cid:0)1A(cid:0)1) = A(BB(cid:0)1)A(cid:0)1 = AA(cid:0)1 = 1
n
ou seja (AB)(cid:0)1 = B(cid:0)1A(cid:0)1.
3. A matriz ampliada (cid:19)e, na ordem u;v;x;z,
 
2 1 1 −1 0
 
 3 2 −1 −1 0 
 :
 1 0 1 −2 0 
0 −1 3 −2 0
As primeiras 4 colunas formam a matriz do sistema, a qual tem caracter(cid:19)(cid:16)stica
igual (cid:18)a da matriz ampliada (o sistema (cid:19)e homog(cid:19)eneo). Apagando ent~ao a u(cid:19)ltima
coluna e resolvendo pelo m(cid:19)etodo de Gauss, come(cid:24)camos por fazer L − 2L e
1 3
L −3L e colocamos a L no lugar da primeira:
2 3 3
   
1 0 1 −2 1 0 1 −2
   
 0 1 −1 3  −L−3−(cid:0)−2L−2−; −L4−+−L→2  0 1 −1 3 
 0 2 −4 5   0 0 −2 −1 
0 −1 3 −2 0 0 2 1
 
1 0 5 0
 
 0 1 −7 0 
−L−2−+−3L−3−;−L−1+−2−L−4;−L−4−+−L→3  :
 0 0 2 1 
0 0 0 0
Assim obtemos caracter(cid:19)(cid:16)stica 3 e grau de indeterminac(cid:24)~ao 1. Uma forma de
descrever as solu(cid:24)c~oes (cid:19)e p^or z = −2x; v = 7x; u = −5x. Outra (cid:19)e escrevendo o
conjunto solu(cid:24)c~ao: {(−5x;7x;x;−2x) : x ∈ R}.
4. Usando o m(cid:19)etodo de Gauss para triangularizar a matriz mantendo a caracter(cid:19)(cid:16)s-
tica: [ ] [ ]
a b −L−2−(cid:0)−ac−L→1 a bc :
c d 0 d− b
a
c
A caracter(cid:19)(cid:16)stica ser(cid:19)a 1 (pois a 6= 0) se d− b = 0, ou seja, ad−bc = 0.
a
6
Albuquerque,Exerc(cid:19)(cid:16)ciosdeA(cid:19)lgebraLineareGeometriaAnal(cid:19)(cid:16)tica
5. Fazendo as contas,
[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]
x y 0 1 0 1 x y −y x z w
= ⇔ = :
z w −1 0 −1 0 z w −w z −x −y
Ou seja, x = w; z = −y.
Resolu(cid:24)c~ao do 1o Teste, 2a turma
(Sobre a primeira quest~ao houve uma breve explica(cid:24)c~ao durante o teste)
1. i) Por ser e elemento neutro, ee0 = e0. Por ser e0 elemento neutro, ee0 = e.
Donde e = ee0 = e0.
ii) Seja e o elemento neutro. Sabemos que g0g = gg0 = e e, pela mesma raz~ao
de ser inverso de g, tamb(cid:19)em g00g = gg00 = e. Ent~ao,
0 0 0 00 0 00 00 00
g = g e = g (gg ) = (g g)g = eg = g :
2. i) DA =
    
d 0 0 a a a d a d a d a
1 11 12 1n 1 11 1 12 1 1n
    
 0 d  a a   d a d a 
2 21 22 2 21 2 22
   =  :
 ...  ...   ... 
0 d a a d a d a
n n1 nn n n1 n nn
ii) Para D ter inversa deve existir uma matriz A tal que DA = 1 . Da equa(cid:24)c~ao
n
   
d a d a d a 1 0 0
1 11 1 12 1 1n
   
 d a d a   0 1 0 
2 21 2 22
  =  
 ...   ... 
d a d a 0 1
n n1 n nn
resulta que d a = 1; ∀i, e que todos os d a = 0 sempre que i 6= j.
i ii i ij
Existe solu(cid:24)c~ao se, e s(cid:19)o se, todos os d forem n~ao nulos. Teremos ent~ao
i
1
a = ; a = 0; ∀i 6= j:
ii ij
d
i
A inversa de D ser(cid:19)a a matriz A seguinte:
 
d (cid:0)1 0 0
1
 0 d (cid:0)1 
A = D(cid:0)1 =  2 :
 ... 
0 d (cid:0)1
n
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Albuquerque,Exerc(cid:19)(cid:16)ciosdeA(cid:19)lgebraLineareGeometriaAnal(cid:19)(cid:16)tica
3. A matriz ampliada (cid:19)e, na ordem u;v;x;y,
 
2 1 1 −1 0
 
 3 2 −1 −1 0 
 :
 1 0 1 −2 0 
0 −1 3 −2 0
Este exerc(cid:19)(cid:16)cio (cid:19)e bastante parecido ao exerc(cid:19)(cid:16)cio 3 do teste da 1a turma, para o
qual remetemos o leitor.
4. A matriz tem, pelo menos, caracter(cid:19)(cid:16)stica 2. Para esta ser mesmo 2, temos de
conseguir anular a u(cid:19)ltima linha. Usando o m(cid:19)etodo de Gauss para triangularizar
a matriz, vem:
     
1 2 1 1 2 1 1 2 1
 0 1 1  −L−3−(cid:0)−L→1  0 1 1  −L−3−(cid:0)−(c−(cid:0)−2)−L→2  0 1 1 :
1 c d 0 c−2 d−1 0 0 d−1−c+2
A condi(cid:24)c~ao para a caracter(cid:19)(cid:16)stica ser 2 exprime-se pela equa(cid:24)c~ao d−1−c+2 = 0,
ou seja, d−c+1 = 0.
5. Quatro solu(cid:24)c~oes, da simples (cid:18)a complicada:
 
  1 1 ··· 1
[ ] [ ]
0 1 1 1  1 1 1   ... 
; ;  1 1 1  ;  :
0 0 −1 −1  1 1 ··· 1 
−2 −2 −2
−n −n ··· −n
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(cid:19)
Departamento de Matem(cid:19)atica da Universidade de Evora
2o Teste e 1a Frequ^encia de
(cid:19)
Algebra Linear e Geometria Anal(cid:19)(cid:16)tica
22 de Novembro de 2008 Cursos de CTA, EC, EER, EG, EI e EM
1. Sejam A ∈ M ; B ∈ M ; C ∈ M ; D ∈ M , com dimens~oes l;n;p;q ∈ N.
n;p n;q p;l q;l
Mostre que [ ]
[ ]
C
A B = AC +BD:
D
2. Escreva a seguinte permuta(cid:24)c~ao como um produto de ciclos disjuntos e em seguida
como um produto de transposi(cid:24)c~oes:
( )
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(cid:27) = :
6 4 5 8 9 3 2 7 1
Diga qual o sinal de (cid:27) e justi(cid:12)que o c(cid:19)alculo.
3. Calcule o determinante e, se poss(cid:19)(cid:16)vel, encontre a inversa de
 
1 3 1 1
 
 0 2 4 2 
A =  :
 1 2 1 3 
0 0 0 1
4. Resolva o sistema em x;y;z;v

 x−y +v = z
2v −x−y = 0


x = 2y +v
pelo m(cid:19)etodo da matriz ampliada. Diga qual (cid:19)e a matriz do sistema, a caracter(cid:19)(cid:16)s-
tica e o grau de indetermina(cid:24)c~ao do sistema. Descreva o conjunto de soluc(cid:24)~oes,
se existir, na forma mais simples que puder.
5. Estude a independ^encia linear dos vectores de R4:
(1;1;3;2); (0;2;4;1); (1;3;0;2):
Escreva o vector (3;3;2;5) como combinac(cid:24)~ao linear daqueles tr^es, se poss(cid:19)(cid:16)vel.
6. Calcule os seguintes determinantes:
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 0 1 0 1 (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) −1 2 5 (cid:12) (cid:12) 0 1 3 3 2 (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
i) (cid:12) 1 2 4 (cid:12) ii) (cid:12) 3 1 0 0 2 (cid:12):
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) 4 5 2 (cid:12) (cid:12) 3 1 0 −2 1 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
4 1 2 0 0
9
Albuquerque,Exerc(cid:19)(cid:16)ciosdeA(cid:19)lgebraLineareGeometriaAnal(cid:19)(cid:16)tica
Resolu(cid:24)c~ao do 2o Teste
[ ]
[ ]
C
1. A matriz A B est(cid:19)a em M . A matriz est(cid:19)a em M . Podemos
n;p+q p+q;l
D
ent~ao multiplic(cid:19)a-las. O resultado desse produto aparece em M , tal como os
n;l
produtos AC e BD.
Sejam A = [a ]; B = [b ]; C = [c ]; D = [d ]. A entrada (i;t) do produto
ij ik jt kt
vem ent~ao a ser:
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
∑p ∑q ∑p ∑q
c
a b jt = a c + b d = a c + b d
ij ik ij jt ik kt ij jt ik kt
d
kt
j=1 k=1 j=1 k=1
e a partir daqui o resultado torna-se claro.
2. Basta tomar um elemento inicial e procurar as imagens sucessivamente, comple-
tando os ciclos. Depois h(cid:19)a um truque conhecido para escrever cada ciclo como
produto de transposi(cid:24)c~oes. Neste caso,
(cid:27) = (16359)(2487) = (19)(15)(13)(16)(27)(28)(24):
(Lembrar que a func(cid:24)~ao composta se l^e da direita para a esquerda...)
3. A matriz ampliada do sistema, na ordem x;y;z;v, (cid:19)e
 
1 −1 −1 1 | 0
 
 −1 −1 0 2 | 0 :
1 −2 0 −1 | 0
Osistema(cid:19)ehomog(cid:19)eneo, logoasuacaracter(cid:19)(cid:16)stica(cid:19)eadamatrizsimples. Esque(cid:24)ce-
mos ent~ao a u(cid:19)ltima coluna e resolvemos pelo m(cid:19)etodo de Gauss, come(cid:24)cando pelas
transformac(cid:24)~oes:
 
1 −1 −1 1
 
−L−2−+−L−1;−L−3−(cid:0)−L→1  0 −2 −1 3  −L−1−(cid:0)−L3−;−(cid:0)−2−L3−+−L→2
0 −1 1 −2
   
1 0 −2 3 3 0 0 −5
   
 0 −2 −1 3  −(cid:0)−3−L2−+−L−3;−3−L−1−(cid:0)−2L→3  0 6 0 −2 :
0 0 −3 7 0 0 −3 7
A caracter(cid:19)(cid:16)stica do sistema (cid:19)e 3. O grau de indetermina(cid:24)c~ao (cid:19)e 1 = 4 − 3 e as
solu(cid:24)c~oes podem ser escritas como
7 2 5
z = v; y = v; x = v; v ∈ R:
3 6 3
10
Albuquerque,Exerc(cid:19)(cid:16)ciosdeA(cid:19)lgebraLineareGeometriaAnal(cid:19)(cid:16)tica
5. A caracter(cid:19)(cid:16)stica do sistema de vectores (cid:19)e a da matriz
     
1 1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2
     
 0 2 4 1  −→  0 2 4 1  −→  0 2 0 0 ;
1 3 0 2 0 2 0 0 0 0 4 1
logo os tr^es vectores dados s~ao linearmente independentes. Para escrevermos
(3;3;2;5) (cid:18)a custa desse sistema, temos de resolver
(3;3;2;5) = x(1;1;3;2)+y(0;2;4;1)+z(1;3;0;2)
o que obriga a
x+z = 3; x+2y +3z = 3; 3x+4y = 2; 2x+y +2z = 5:
Este sistema de equa(cid:24)c~oes lineares escreve-se e resolve-se, na ordem x;y;z,
     
1 0 1 3 1 0 1 3 1 0 1 3
     
 1 2 3 3   0 2 2 0   0 0 2 2 
  −→   −→  :
 3 4 0 2   0 4 −3 −7   0 0 −3 −3 
2 1 2 5 0 1 0 −1 0 1 0 −1
Donde o sistema (cid:19)e poss(cid:19)(cid:16)vel e determinado: x = 2; y = −1; z = 1 (signi(cid:12)ca que
o vector (3;3;2;5) est(cid:19)a no espa(cid:24)co gerado pelos tr^es vectores iniciais linearmente
independentes). A veri(cid:12)ca(cid:24)c~ao dos valores encontrados faz-se com facilidade.
6. i) Pela regra de Sarrus:
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) −1 2 5 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 1 2 4 (cid:12) = −1:2:2+4:2:4+5:1:5−5:2:4−(−1):4:5−2:1:2 = 29:
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
4 5 2
ii) Apliquemos as regras do c(cid:19)alculo de determinantes:
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) 1 0 1 0 1 (cid:12) (cid:12) 1 0 1 0 1 (cid:12) (cid:12) 1 0 1 0 1 (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) 0 1 3 3 2 (cid:12) (cid:12) 0 1 3 3 2 (cid:12) (cid:12) 0 1 3 3 2 (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) 3 1 0 0 2 (cid:12) = (cid:12) 0 1 −3 0 −1 (cid:12) = (cid:12) 0 0 −6 −3 −3 (cid:12):
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) 3 1 0 −2 1 (cid:12) (cid:12) 0 1 −3 −2 −2 (cid:12) (cid:12) 0 0 −6 −5 −4 (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
4 1 2 0 0 0 1 −2 0 −4 0 0 −5 −3 −6
Apagando as duas primeiras linhas e colunas, obtemos
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) −6 −3 −3 (cid:12) (cid:12) −6 −3 −3 (cid:12) (cid:12) −6 −3 −3 (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
= (cid:12) 0 −2 −1 (cid:12) = (cid:12) 0 −2 −1 (cid:12) = (cid:12) 0 −2 −1 (cid:12):
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) 0 −3+ 15 −6+ 15 (cid:12) (cid:12) 0 −1 −21 (cid:12) (cid:12) 0 0 −21 + 1 (cid:12)
6 6 2 6 6 4
Juntando tudo de novo obtemos uma matriz diagonal da qual j(cid:19)a sabemos bem
como calcular o determinante:
( )
−21 1
deter. = 1:1:(−6):(−2): + = −42+3 = −39
6 4