Exemples d’utilisations des coordonnées barycentriques [Lecture notes]

7 Pages·2003·0.304 MB·French

by  Antoine Ducros

Pr´eparation a` l’agr´egation de math´ematiques de l’Universit´e de Rennes 1.
Ann´ee scolaire 2002-2003.
Exemples d’utilisations des coordonn´ees barycentriques
Antoine Ducros
Dans ce texte on refait en d´etail l’´etude de l’intersection de droites dans le
plan du point de vue des coordonn´ees barycentriques, et l’on montre comment
appliquercestechniquesauxd´emonstrationsdesth´eor`emesdeCevaetMenelau¨s.
On ´evoque ensuite les liens entre les barycentres et la g´eom´etrie projective.
Convention pour ce qui suit. On fixe pour toute la suite du texte un corps
k. Si (P0,...,Pn) sont des points d’un k-espa(cid:2)ce affine X et si (λ0,...,λn) est
unefamilledescalairesde somme 1onnotera λiPi lebarycen(cid:2)tredelafamille
((P1,λ1),...,(Pn,λn)).SiX(cid:2)estunespacevectorielsurk alors λiPi (ausens
desbarycentres)est´egal`a λ P (ausensdelastructuredek-espacevectoriel
i i
sur X).
Rappel sur les coordonn´ees barycentriques. Soit X un espace affine sur
un corps k et n sa dimension. Soit (P ,...,P ) un rep`ere affine sur X. On sait
0 n
alors qu’il existe pour tout point P de X une famille(cid:2)(λi) de scalaires, unique a`
multiplicationparunscalairenonnulpr`es,telleque λ (cid:1)=0ettellequeP soit
i
le barycentre de la famille ((cid:2)(P1,λ1),...,(Pn,λn)). On peut toujours normaliser
cette famille de sorte que λ = 1. Les λ sont alors uniquement d´etermin´es
i i
et l’on dit que ce sont les coo(cid:2)rdonn´ees barycentriques de P dans le rep`ere form´e
par les P ; l’on a donc P = λ P . Si Y est un espace affine quelconque alors
i i i
pour tout (n+1)-uplet (Q ,...,Q ) de points de Y il existe une et une seule
0 n
applica(cid:2)tionaffined(cid:2)eX versY envoyantPi surQi pourtouti.Cetteapplication
envoie λ P sur λ Q .
i i i i
On fixe a` partir de maintenant un(cid:2)k-espace affine X et un rep`ere affine
(P0,...,Pn) sur X. Lorsq(cid:2)u’on ´ecrira λiPi la famille des λi sera toujours
suppos´ee v´erifier l’´egalit´e λ =1 sans que cela soit rappel´e.
i
Formes affines et hyperplans affines. On appelle forme affine sur X toute
application affine de X vers k. Tout hyperplan affine est le noyau d’une forme
affine surjective, c’est-`a-dire non constante (puisque l’image d’une telle forme
est un sous-espace affine de k, donc est r´eduite a` un point ou bien´egale `a k lui-
mˆeme). R´eciproquement le noyau de toute forme affine surjective sur X est un
hyperplan affine. Deux formes affines surjectives ϕ et ψ d´eterminent le mˆeme
hyperplan si et seulement si il existe un scalaire non nul λ tel que ϕ = λψ.
1
Pour tout (n+1)-uplet (a ,...,a ) il existe une et une seule forme affine ϕ
0 n
sur X telle que ϕ(P )=a . De l’unicit´e d’une telle ϕ on d´eduit imm´ediatement
i i
que ϕ est constante si et seulement si les ϕ(P ) sont tous ´egaux. Se donner
i
uneformeaffinenonconstanterevientdonca`sedonnerunefamilledescalaires
(a ,...,a )nontous´egaux;ondirad’unetellefamillequ’elleestnonconstante.
0 n
La form(cid:2)e d´etermin(cid:2)´ee par une telle famille est l’application de X dans(cid:2)k qui
envoie λiPi sur aiλ(cid:2)i.L’hyperplanqu’elled´e(cid:2)finitestl’ensembledes λiPi
ou` la famille λ v´erifie a λ = 0, et bien suˆr λ = 1. Notons qu’une telle
i i i i
famille existe to(cid:2)ujours : en effet comme les ai ne son(cid:2)t pas tous ´egaux la forme
lin´eaire (λ )(cid:2)→ λ a n’est pas colin´eaire `a (λ )(cid:2)→ λ et donc leurs noyaux
i i i i i
respectifs sont deu(cid:2)x hyperplans vectoriels distincts de kn+1. En particulier le
n(cid:2)oyau de (λi) (cid:2)→ λiai contient au m(cid:2)oins un ´el´ement (λ0,...,λn) tel que
λ (cid:1)=0. En divisant chacun des λ par λ on obtient bien un (n+1)-uplet
i i i
qui satisfait aux conditions requises.
A partir de maintenant on suppose que X est de dimension 2. C’est
donc un plan affine, et les hyperplans affines de X sont les droites affines.
Donnons-nousdeuxfamillesnonconstantesdescalaires(a0,a(cid:2)1,a2)et(b0,b1,b2).
(cid:2)Notons Da (resp. Db) la droite affine de X d’´equation aiλi = 0 (resp.
b λ =0). Remarquons que la matrice
i i
(cid:3) (cid:4)
a a a
0 1 2
b b b
0 1 2
est non nulle d’apr`es l’hypoth`ese faite sur les a et les b .
i i
Cette matrice est de rang 1 si et seulement si la famille de ces deux lignes
est li´ee. Comme les lignes en question sont toutes deux non nulles (parce que
les a ne sont pas tous´egaux, et les b non plus) ceci´equivaut a` l’existence d’un
i i
scalaire non nul λ tel que (a ,a ,a ) = λ(b ,b ,b ), c’est-`a-dire a` l’´egalit´e des
0 1 2 0 1 2
droites D et D .
a b
Supposons que D et D sont distinctes, c’est-`a-dire, d’apr`es ce qui pr´ec`ede,
a b
que la matrice (cid:3) (cid:4)
a a a
0 1 2
b b b
0 1 2
est de rang 2. L’espace D(cid:16) des solutions (dans k3) du syst`eme lin´eaire qu’elle
d´efinit est donc de dimension 1. Soit (x ,y ,z ) un ´el´ement non nul de cet
0 0 0
espace de solutions; notons que D(cid:16) =k(x ,y ,z ). Deux cas se pr´esentent :
0 0 0
• Six0+y0+z0 =0alor(cid:2)spourtoutλa(cid:2)ppartenanta`kl’onaλx0+λy0+λz0 =
0;lesdeux´equations aiλi =(cid:2)0et biλi =0n’ontdoncaucunesolution
commune (λ ,λ ,λ ) telle que λ =1. En cons´equence D et D ne se
1 2 3 i a b
rencontrent pas : elles sont parall`eles.
• Si x0+y0+z0 (cid:1)=0 alors il existe un et un(cid:2)seul λ apparten(cid:2)ant a` k tel que
λx +λy +λz = 1; les deux ´equations a λ = 0 et b λ = 0 ont
0 0 0 i i i i
2
(cid:2)
donc une et une seule solution commune (λ ,λ ,λ ) telle que λ = 1.
1 2 3 i
En cons´equence l’intersection de D et D est un singleton.
a b
Position relative de trois droites. On se donne maintenant trois droites
D ,D ,D dans X d’´equations respectives en coordonn´ees barycentriques
a b c
(cid:5) (cid:5) (cid:5)
a λ =0, b λ =0et c λ =0,
i i i i i i
ou` les familles (a ),(b ) et (c ) sont non constantes. Soit M la matrice
i i i
 
a a a
0 1 2
 
b b b .
0 1 2
c c c
0 1 2
OnsupposequeD ,D etD sontdeux a` deux distinctescequisignifie,comme
a b c
on l’a vu plus haut, que les 3 matrices 2×3 qui peuvent ˆetre extraites de M
sont toutes de rang 2 (et le rang de M lui-mˆeme est donc 2 ou 3). On note D(cid:16)
a,b
la droite vectorielle de k3 form´ee des solutions du syst`eme
a λ +a λ +a λ = 0
0 0 1 1 2 2
b λ +b λ +b λ = 0
0 0 1 1 2 2
et on d´efinit D(cid:16) et D(cid:16) de mani`ere analogue.
a,c b,c
Proposition. Avec les hypoth`eses et notations ci-dessus les propositions suiv-
antes sont ´equivalentes :
i) La matrice M est de rang 2.
ii) Les droites D ,D ,D sont concourantes ou parall`eles.
a b c
D´emonstration.Montronsi)⇒ii).SiM estderang2l’espacedessolutions
dans k3 du syst`eme lin´eaire associ´e est une droite vectorielle D(cid:16). Comme cet
espace est inclus dans D(cid:16) de mani`ere ´evidente il est en fait ´egal `a D(cid:16) pour
a,b a,b
desraisonsdedimension;demˆemeilest´egal`aD(cid:16) etD(cid:16) .Soit(x ,y ,z )un
a,c b,c 0 0 0
´el´ement non nul de D(cid:16). Alors
D(cid:16) =D(cid:16) =D(cid:16) =k(x ,y ,z )
a,b b,c a,c 0 0 0
et l’´etude de l’intersection de deux droites faite ci-dessus montre alors que si
x +y +z (cid:1)= 0 les droites D ,D et D sont concourantes et que dans le cas
0 0 0 a b c
contraire elles sont parall`eles.
Montronsmaintenantii)⇒i).Silestroisdroi(cid:2)tessontconcourantesilexiste
une solution commune (λ ,λ ,λ ), avec de plus λ = 1, aux trois ´equations
0 1 2 i
de D ,D et D . Ce triplet (λ ,λ ,λ ) est en particulier une solution non nulle
a b c 0 1 2
3
du syst`eme lin´eaire d´efini par M; le rang de cette derni`ere ne peut donc ˆetre
´egal `a 3, et est par cons´equent ´egal `a 2.
Si les trois droites sont parall`eles alors D(cid:16) est, toujours d’apr`es l’´etude
a,b
de l’intersection de deux droites faite ci-dessus, de la forme k(x ,y ,z ) ou`
0 0 0
(x ,y ,z ) est non nul et v´erifie x +y +z =0. De mˆeme D(cid:16) est de la forme
0 0 0 0 0 0 a,c
k(x ,y ,z ) ou` (x ,y ,z ) est non nul et v´erifie x +y +z = 0. Les vecteurs
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(x ,y ,z ) et (x ,y ,z ) sont donc tous deux dans l’espace P(cid:16) des solutions
0 0 0 (cid:2)1 1 1
de l’´equatio(cid:2)n aiλi = 0. Ils sont aussi tous deux dans le plan vectoriel Q(cid:16)
d’´equation λi(cid:2)= 0. Or comme la famille (ai) est(cid:2)non constante la forme
lin´eaire (λ ) (cid:2)→ a λ n’est pas colin´eaire `a (λ ) (cid:2)→ λ . On en d´eduit que
i i i i i
les plans P(cid:16) et Q(cid:16) de k3 sont distincts, et donc que leur intersection est une
droite vectorielle. La famille ((x ,y ,z ),(x ,y ,z )) est de ce fait li´ee, et donc
0 0 0 1 1 1
(x ,y ,z ) appartient a` D(cid:16) . Ce triplet non nul annule par cons´equent les trois
0 0 0 a,c
lignesdusyst`emed´efiniparM,d’ou`ild´ecoulequeM estderang2.Ceciach`eve
la d´emonstration. (cid:1)
Le th´eor`eme de Menelau¨s. On se donne un corps k, un plan affine X sur k
etuntriangle(ABC)dansX;letriangleestsuppos´enond´eg´en´er´e,c’est-`a-dire
que les 3 points A,B et C ne sont pas align´es. On se donne trois points A(cid:1),B(cid:1)
et C(cid:1) respectivement situ´es sur (BC), (CA) et (AB), aucun des trois n’´etant
´egal `a A,B ou C. Le th´eor`eme affirme alors l’´equivalence entre les assertions
i) Les points A(cid:1),B(cid:1) et C(cid:1) sont align´es.
ii)
A(cid:1)BB(cid:1)C C(cid:1)A
=1.
A(cid:1)C B(cid:1)AC(cid:1)B(cid:1)
Comme (ABC) est non d´eg´en´er´e il constitue un rep`ere affine, dans lequel
on va travailler. Le point A(cid:1) ´etant situ´e sur la droite (BC) on peut ´ecrire A(cid:1) =
λA(cid:1)B+νA(cid:1)C et de mˆeme B(cid:1) =λB(cid:1)A+νB(cid:1)C et C(cid:1) =λC(cid:1)A+µC(cid:1)B. Les points
A(cid:1),B(cid:1)etC(cid:1)sontalign´essietseulementsiilexisteuneformeaffinenonconstante
annulant chacun de leurs syst`emes de coordonn´ees barycentriques, autrement
ditsietseulementsiilexisteuneformelin´eairenonnulleannulantchacunedes
lignes de la matrice  
0 µA(cid:1) νA(cid:1)
 
λB(cid:1) 0 νB(cid:1) .
λC(cid:1) µC(cid:1) 0
LespointsA(cid:1),B(cid:1)etC(cid:1)sontencons´equencealign´essietseulementsiled´eterminant
delamatriceci-dessusestnul.Enled´eveloppantparrapporta`l’unedescolonnes
on voit que cette annulation ´equivaut a` l’´egalit´e
λB(cid:1)µC(cid:1)νA(cid:1) =−νB(cid:1)λC(cid:1)µA(cid:1).
4
Comme A(cid:1) =µA(cid:1)B+νA(cid:1)C un calcul simple montre que
A(cid:1)B =−νA(cid:1).
A(cid:1)C µA(cid:1)
On´etablitdeuxautres´egalit´esanaloguesd’ou`l’ontireimm´ediatementl’´equivalence
des formules λB(cid:1)µC(cid:1)νA(cid:1) =−νB(cid:1)λC(cid:1)µA(cid:1) et
A(cid:1)BB(cid:1)C C(cid:1)A
=1.
A(cid:1)C B(cid:1)AC(cid:1)B(cid:1)
Le th´eor`eme de Ceva. On part de la mˆeme situation que ci-dessus : (ABC)
est un triangle non d´eg´en´er´e d’un plan affine X sur un corps k et l’on d´esigne
par A(cid:1),B(cid:1) et C(cid:1) trois points de X respectivement situ´es sur (BC), (CA) et
(AB), aucun des trois n’´etant ´egal `a A,B ou C. Le th´eor`eme de Ceva affirme
alors l’´equivalence des assertions suivantes :
i) Les droites (AA(cid:1)),(BB(cid:1)),(CC(cid:1)) sont parall`eles ou concourantes.
ii)
A(cid:1)BB(cid:1)C C(cid:1)A
=−1.
A(cid:1)C B(cid:1)AC(cid:1)B
Le triangle (ABC) ´etant non d´eg´en´er´e on travaille la` encore dans le rep`ere
affine qu’il d´efinit. Exactement comme lors de la d´emonstration du th´eor`eme
de Menelau¨s l’on peut ´ecrire A(cid:1) = µA(cid:1)B +νA(cid:1)C,B(cid:1) = λB(cid:1)A+νB(cid:1)C et C(cid:1) =
λC(cid:1)A + µC(cid:1)B. Cherchons l’´equation de la droite (AA(cid:1)) dans le rep`ere affine
(ABC); il suffit de trouver une forme affine non constante nulle en A et en
A(cid:1). Or les coordonn´ees de A sont (1,0,0) et celles de A(cid:1) sont (0,µA(cid:1),νA(cid:1)). On
remarquequelaforme(λ,µ,ν)(cid:2)→νA(cid:1)µ−µA(cid:1)ν satisfaitauxconditionsrequises;
sonnoyauestdoncladroite(AA(cid:1)).Onraisonnedemˆemepour(BB(cid:1))et(CC(cid:1)),
et l’on voit que les trois droites ´etudi´ees peuvent ˆetre d´efinies par trois formes
affines qui sont les trois lignes de la matrice
 
0 νA(cid:1) −µA(cid:1)
 νB(cid:1) 0 −λB(cid:1) .
µC(cid:1) −λC(cid:1) 0
Comme ces droites sont deux `a deux non confondues (cela r´esulte du fait que
chacun des trois points A(cid:1),B(cid:1) et C(cid:1) est par hypoth`ese diff´erent de A, B et
C) elles sont parall`eles ou concourantes si et seulement si le d´eterminant de la
matrice ci-dessus est nul (d’apr`es l’´etude de la position relative de trois droites
men´ee plus haut). On conclut en d´eveloppant le d´eterminant en question et en
utilisantlemˆemeargument(surlesmesuresalg´ebriques)qu’a`lafindelapreuve
du th´eor`eme de Menelau¨s.
5
Barycentres et g´eom´etrie projective. Le lecteur attentif aura peut-ˆetre re-
marqu´equ’uncertainnombredepointsmentionn´esicifontpenser`alag´eom´etrie
projective:parexemple,lefaitquelebarycentred’unefamilledepointspond´er´es
nechangepassionmultiplielalistedespoidsparunscalairenonnul,oubienle
fait que la th´eorie traite de mani`ere analogue les triplets de droites parall`eles et
de droites concourantes... Le but de ce qui suit est de comprendre le lien entre
les points de vue barycentrique et projectif.
SoitX unespaceaffinededimensionn.Identifions-lea`unsous-espaceaffine
non lin´eaire d’un espace vectoriel E de dimension n+1; par exemple on se
donne un rep`ere affine sur X et on envoie X dans kn+1 par l’application “liste
des coordonn´ees barycentriques”, application(cid:2)qui induit un isomorphisme entre
X et l’hyperplan affine de kn+1 d’´equation x = 1. D’une mani`ere g´en´erale
i
si X estunhyperplanaffinenon lin´eairede E ilpeuttoujoursˆetre´ecritcomme
le lieu des points en lequel une certaine forme lin´eaire ϕ (a` laquelle on peut
penser comme `a un poids) vaut 1. Le noyau de ϕ est alors isomorphe `a l’espace
directeur X(cid:16) de X. Une famille (Q ) de points de X est un rep`ere affine de X si
i
et seulement si elles constitue une base de E. Si (Pi) est une fami(cid:2)lle de points
de X et (αi) un(cid:2)e famille de scalaires preque tous nuls la somme αiPi a un
sensdansE;si αi =1cettesommeestd(cid:2)ansX (appliquerϕ)etl’onretrouve
l(cid:2)e barycentre de la famille des (Pi,αi). Si αi est un scalaire λ n(cid:2)on nul alors
α P est´egal`aλGou`Gestlebarycentredelafamille(P ,α ).Si α =0on
i i i i i
trouveun´el´ementdeX(cid:16) (parexemplesiP etQsontdeuxpointsdeX l’´el´ement
Q−P de E est bien suˆr le vecteur P(cid:16)Q de X(cid:16)).
Consid´erons maintenant l’espace projectif P(E), quotient de E−{0} par la
relation de colin´earit´e. L’espace X est inclus dans E−{0} et la restriction a` X
de l’application quotient E−{0}→P(E) est injective. Ainsi X s’identifie a` un
espaceaffinedeP(E).L’imaged’un´el´ementxdeE−{0}dansP(E)appartient
`aX sietseulementsiϕ(x)(cid:1)=0;etdanscecasl’imagedexdansP(E)est´egale
`a celle de l’´el´ement x/ϕ(x) de X. Le compl´ementaire de X dans P(E) est donc
l’hyperplan projectif P(X(cid:16)). Soit (Pi) une(cid:2)famille de points de X et (αi) une
famille de scalaires presqu(cid:2)e tous nuls. Si (cid:2)αi (cid:1)= 0 le barycentre de la famille
(P ,α ) est bien d´efini. Si α =0 mais si α P (cid:1)=0 dans E, ce qui sera par
i i i i i
exemple le cas si les P forment un rep`ere affine de X et si les α sont non tous
i i
nuls,onpeutencored´efi(cid:2)nirle“barycentre”d(cid:2)elafamille(cid:2)depoints(Pi,α(cid:2)i)comme
l’image dans P(E) de α P . Comme ϕ( α P ) = α ϕ(P ) = α = 0
i i i i i i i
cette image appartient `a l’hyperplan projectif P(X(cid:16)). Elle est donc “rejet´ee `a
l’infini” et ne change pas si l’on multiplie chacun des α par un scalaire non
i
nul.
Exemples. Si P et Q sont deux points distincts de X le “barycentre” de
((Q,1),(P,−1)) correspond d’apr`es ce qui pr´ec`ede `a l’image de P(cid:16)Q dans l’hy-
perplan a` l’infini P(X(cid:16)). Si l’on voit “l’hyperplan a` l’infini” en question comme
l’ensemble des directions de droites vectorielles de X, le “barycentre” de la
famille ((Q,1),(P,−1)) est donc le point correspondant a` la direction de la
droite (PQ); c’est encore si l’on pr´ef`ere le “point a` l’infini” de cette mˆeme
6
droite.
Ph´enom`enes amusants en caract´eristique 2 et 3. Notons que si la
caract´eristique de k est 2 on a 1 = −1 et ce que l’on vient de d´efinir est en
quelquesortel’“isobarycentre”deP etQ:en caract´eristique 2 le “milieu” d’un
bipoint(P,Q)avecP etQdistinctsestdonclepoint`al’infinideladroite(PQ).
Ainsi dans un triangle (ABC) en caract´eristique 2 la “m´ediane” issue de A est
ladroitepassantparAetparall`ele`a(BC),etidempourlesdeuxautres.Atitre
d’exercice donnez-vous explicitement (avec des coordonn´ees) un tel triangle et
v´erifiez que les “m´edianes” ainsi d´efinies concourent bien en l’isobarycentre (au
sens classique cette fois car 1+1+1(cid:1)=0 en caract´eristique 2) du triangle.
Sil’onestencaract´eristique3lemilieud’unbipointestbiend´efini(caralors
1+1 (cid:1)= 0), et l’on peut donc parler de m´ediane au sens classique... par contre
l’isobarycentre d’un triangle (en lequel les m´edianes sont cens´ees concourir) est
rejet´e `a l’infini puisque 1+1+1 = 0. On peut v´erifier que les m´edianes d’un
triangleencaract´eristique3serencontrenteffectivementencet“isobarycentre”
maiscommeilest`al’infinicelasignifiequ’ellessont...parall`elessil’onrestedans
le plan affine! La` encore, vous pouvez le v´erifier par un calcul explicite sur un
exemple de votre choix.
Remarque. Si la caract´eristique de k est diff´erente de 2 le milieu d’un bipoint
(AB) est l’unique point C(cid:1) tel que AC(cid:1) +BC(cid:1) = 0. Si A(cid:1), B(cid:1) et C(cid:1) sont les
milieux des cˆot´es d’un triangle non d´eg´en´er´e (ABC) alors le th´eor`eme de Ceva
permetdeconclurequelesm´edianessont...concourantesouparall`eles!Etcequi
pr´ec`ede montre qu’il faut se garder d’exclure ce dernier cas, ce qu’on pourrait
avoir tendance a` faire spontan´ement.
Un dernier exercice. Si vous le souhaitez vous pouvez faire l’exercice suivant
qui montre que “faire de la g´eon´etrie affine, c’est la mˆeme chose que faire de
l’alg`ebre lin´eaire en dimension un de plus, en s’´etant fix´e une forme lin´eaire.”
Vousaviezpeut-ˆetred´ej`afaitceconstat,lecalculencoordonn´eesbarycentriques
consistant essentiellement en de l’alg`ebre lin´eaire en dimension “un de plus”,
avec une attention toute particuli`ere apport´ee `a la forme lin´eaire “somme des
coordonn´ees”.
Voici l’exercice : soit k un corps, soient E et F deux k-espaces vectoriels,
et soient ϕ (resp. ψ) une forme lin´eaire non nulle sur E (resp. F). On note
X (resp. Y) le sous-espace affine de E (resp. de F) form´e des x en lesquels ϕ
(resp. ψ) vaut 1.
Montrez que l’application u (cid:2)→ u|X ´etablit une bijection entre l’ensemble
des applications k-lin´eaires de E dans F v´erifiant ψ◦u = ϕ et l’ensemble des
applications affines de X vers Y.
7