Exempel och lösningar i linjär algebra

33 Pages·2013·0.395 MB·Swedish

by  Per Alexandersson

EXEMPEL OCH LO¨SNINGAR I LINJA¨R ALGEBRA
PERALEXANDERSSON
Sammanfattning. Dettakompendie¨arfr¨amstavsettsomettkomplementtill
TengstrandsLinj¨aralgebramedvektorgeometri,[Ten05].Materialetinneh˚aller
exempel som till stor del ¨ar snarlika de problem som finns i den boken. Jag
rekommenderarattdusoml¨asaresj¨alvf¨ors¨okerl¨osaproblemetinnandukikar
p˚al¨osningen,eller˚atminst˚andefunderarp˚ahurduskulleangripaproblemet.
Uppl¨agget¨aranpassattillf¨orstaterminensmatematikstudiervidStockholms
Universitet.
Inneh˚all
1. Introduktion 1
2. Linj¨ara ekvationssystem 2
3. Matriser 7
4. Determinanter 9
5. Vektorer i planet och i rummet 11
6. Skal¨arprodukt 16
7. Vektorprodukt, area och volym 19
8. R¨ata linjer och planets ekvation 22
9. Linj¨ara avbildningar 25
10. Teorifr˚agor 30
11. Appendix 32
11.1. R¨aknelagarna f¨or skal¨arprodukt 32
11.2. Lagar f¨or volymfunktionen 32
Referenser 33
1. Introduktion
Linj¨ar algebra ¨ar en av de mest till¨ampbara grenarna inom matematiken du
kommer st¨ota p˚a. L¨osningar till linj¨ara ekvationssystem ¨ar det som ger oss bilder
fr˚an en magnetr¨ontgen. Google anv¨ander gigantiska matriser f¨or att representera
l¨ankar mellan sidor p˚a internet, och anv¨ander sedan linj¨ar algebra f¨or att ber¨akna
vilka sidor som hamnar ¨overst n¨ar man s¨oker efter n˚agot.
Vektorer ¨ar det spr˚ak som man anv¨ander n¨ar man talar om kraft och r¨orelse.
F¨or att modellera en biljardst¨ot eller vilken annan r¨orelse som helst, s˚a ¨ar linj¨ar
algebradetperfektaredskapet.Duharantagligenredananv¨antlinj¨aralgebrainom
fysiken utan att veta om det.
Linj¨ara avbildningar ¨ar ett kapitel som man verkligen m˚aste beh¨arska om man
vill tillverka 3D-grafik. En 3D-motor till ett dataspel inneh˚aller med all s¨akerhet
Version:13.februari2013,16:22.
1
2 P.ALEXANDERSSON
en hel del avbildningar som beskriver hur man skall avbilda texturer p˚a ytor, och
mycketannat.Varjemodernfilmsomanv¨andern˚agonformavdataeffektharanv¨ant
sig av linj¨ara avbildningar i skapandet av virtuella objekt och milj¨oer.
F¨or mig som hobbyprogrammerare ¨ar det ett verktyg jag inte skulle klara mig
utan. A¨ven ett s˚a enkelt spel som Pong skulle vara om¨ojligt att tillverka utan
kunskaper fr˚an linj¨ar algebra.
2. Linja¨ra ekvationssystem
N¨arvil¨oserettekvationssystem,s˚a¨arm˚aletattgausselimineragenomattaddera
och subtrahera rader fr˚an varandra tills vi har l¨ost ut s˚a m˚anga variabler som
m¨ojligt. Man kan fr˚aga sig varf¨or detta tillv¨agag˚angss¨att fungerar, och det skall vi
nu unders¨oka. Vi observerar att raden ax+by +cz = d s¨ager precis lika mycket
som likheten λax+λby+λcz = λd om λ (cid:54)= 0 eftersom vi kan dividera med λ och
˚aterf˚a ursprungliga likheten. Om vi har tv˚a eller flera ekvationer,
(cid:40)
a x+b y+c z =d
(∗) 1 1 1 1
a x+b y+c z =d
2 2 2 2
s˚a kan man addera ett led av en ekvation till en annan:
(cid:40)
a x+b y+c z =d
1 1 1 1
(a +a )x+(b +b )y+(c +c )z =d +d
1 2 1 2 1 2 1 2
Detta kan vi ocks˚a g¨ora bakl¨anges, genom att helt enkelt subtrahera f¨orsta raden
fr˚an den andra. Allts˚a har vi inte f¨orlorat n˚agon information genom att addera en
radiettekvationssystemtillettannat.F¨orattsammansfatta,s˚akanvimultiplicera
radermedkonstanter,samtadderaochsubtraheraolikaraderfr˚anvarandra.S¨atter
man samman dessa tv˚a regler, s˚a ¨ar systemet (∗) ekvivalent med f¨oljande f¨or alla
λ∈R:
(cid:40)
a x+b y+c z =d
1 1 1 1
(λa +a )x+(λb +b )y+(λc +c )z =λd +d
1 2 1 2 1 2 1 2
Genom att v¨alja λ s˚a att λa +a = 0, s˚a har man gjort en eliminering, eftersom
1 2
variablen x inte l¨angre ing˚ar i den andra ekvationen. Den resulterande ekvationen
¨ar allts˚a“enklare”. Processen att f¨orenkla ekvationssystem p˚a det h¨ar s¨attet kallas
Gauss-elimination. Det r¨acker att bara h˚alla koll p˚a koefficienterna s˚a man skriver
om ekvationssystem p˚a matrisform ist¨allet:
(cid:40) (cid:18) (cid:19)
a x+b y+c z =d a b c d
1 1 1 1 ⇔ 1 1 1 1
a2x+b2y+c2z =d2 a2 b2 c2 d2
Problem 1. L¨os ekvationssystemet

x+y+2z =3

x−y−3z =2.
3x−y+2z =1
L¨osning. Vi st¨aller upp ekvationssystemet p˚a matrisform, s˚a vi skriver bara ned
koefficienterna framf¨or variablerna:
 
1 1 2 3
 1 −1 −3 2 
3 −1 2 1
EXEMPEL OCH LO¨SNINGAR I LINJA¨R ALGEBRA 3
Nu b¨orjar vi gausseliminera:
 
1 1 2 3
 1 −1 −3 2  ∼ {subtrahera rad 1 fr˚an rad 2}
3 −1 2 1
 
1 1 2 3
 0 −2 −5 −1  ∼ {subtrahera 3× rad 1 fr˚an rad 3}
3 −1 2 1
 
1 1 2 3
1
 0 −2 −5 −1  ∼ {multiplicera rad 3 med − }
4
0 −4 −4 −8
 
1 1 2 3
 0 −2 −5 −1  ∼ {subtrahera rad 3 fr˚an rad 1}
0 1 1 2
 
1 0 1 1
 0 −2 −5 −1  ∼ {addera 2× rad 3 till rad 2}
0 1 1 2
 
1 0 1 1
1
 0 0 −3 3  ∼ {multiplicera rad 2 med − }
3
0 1 1 2
 
1 0 1 1
 0 0 1 −1  ∼ {subtrahera rad 2 fr˚an rad 3 och rad 1}
0 1 1 2
 
1 0 0 2
 0 0 1 −1  ∼ {subtrahera rad 2 fr˚an rad 3}
0 1 0 3
O¨vers¨atter vi nu denna matrisform ¨over till ett ekvationssystem igen, s˚a finns bara
x = 2,z = −1,y = 3 kvar. Allts˚a ¨ar l¨osningen till ekvationssystemet x = 2,y =
3,z =−1. (cid:3)
Problem 2. L¨os ekvationssystemet

2x+3y−4z =−2

2x−2y+1z =3 .
6x−y−2z =4
L¨osning. Vi st¨aller upp det som en matris och b¨orjar gausseliminera.
 
2 3 −4 −2
 2 −2 1 3  ∼ {Eliminera v¨anstra kolonnen med rad ett.}
6 −1 −2 4
 
2 3 −4 −2
 0 −5 5 5  ∼ {Dividera med -5 och -10 i rad 2 och 3}
0 −10 10 10
 
2 3 −4 −2
 0 1 −1 −1 
0 1 −1 −1
4 P.ALEXANDERSSON
Vi ser nu att de tv˚a sista raderna ¨ar identiska, s˚a vi f¨orlorar ingen information
genom att stryka en av dessa. Vi har d˚a kvar
(cid:18) (cid:19)
2 3 −4 −2
∼ {Eliminera med hj¨alp av rad 2}
0 1 −1 −1
(cid:18) (cid:19)
2 0 −1 1
∼ {Dividera f¨orsta raden med 2}
0 1 −1 −1
(cid:18) 1 0 −1 1 (cid:19)
∼ 2 2
0 1 −1 −1
Vikannuintegausselimineramer,s˚aomvinuskriveromdettasomekvationerigen,
s˚a har vi ekvationerna x−z/2=1/2, samt y−z =−1. Vi l¨oser ut x och y, och f˚ar
attx=(1+z)/2,y =z−1.Viharallts˚ao¨andligtm˚angal¨osningar,somberorp˚az.
F¨or att tydligg¨ora detta, s¨atter man z =t. D˚a beror x,y och z p˚a t och man s¨ager
att t parametriserar l¨osningarna. Vi har slutligen (x,y,z) = (1/2+t/2,t−1,t),
och f¨or varje t ∈ R s˚a har vi en l¨osning. Testa sj¨alv att f¨or t.ex. t = 2 s˚a ¨ar
(x,y,z)=(3/2,1,2) en l¨osning till ekvationssystemet. (cid:3)
Problem 3. L¨os f¨oljande ekvationssystem f¨or alla v¨arden p˚a parametern a:

x+2y+az =6

2x−2y+4z =2 .
3x−2y+3az =10
L¨osning. Vi skiver om p˚a matrisform och gausseliminerar:
 
1 2 a 6
 2 −2 4 2 ∼{subtrahera 2× rad 1 fr˚an rad 2}
3 −2 3a 10
 
1 2 a 6
 0 −6 4−2a −10 ∼{subtrahera 3× rad 1 fr˚an rad 3}
3 −2 3a 10
 
1 2 a 6
 0 −6 4−2a −10 ∼{dividera sista raden med −8, och forts¨att.}
0 −8 0 −8
 
1 0 a 4
(∗)  0 0 4−2a −4 
0 1 0 1
Nu vill vi g¨arna dividera mittersta raden med 4−2a, men vi f˚ar aldrig dividera
med 0. Vi kan bara dividera under f¨oruts¨attningen att 4−2a(cid:54)=0. Vad h¨ander om
4−2a=0? Vi f˚ar helt enkelt dela upp det i tv˚a fall.
Fall 1: 4−2a(cid:54)=0. Under dessa f¨oruts¨attningar kan vi dividera och f˚ar d˚a efter
f¨orkorning att (∗) blir
 
1 0 a 4
 0 0 1 2/(a−2) ∼{subtrahera a× rad 2 fr˚an rad 1}
0 1 0 1
 
1 0 0 4−2a/(a−2)
 0 0 1 2/(a−2) 
0 1 0 1
EXEMPEL OCH LO¨SNINGAR I LINJA¨R ALGEBRA 5
Uttrycket f¨or x skriver vi om p˚a gemensam n¨amnare och f¨orenklar:
2a 4(a−2) 2a 4a−8−2a 2a−8
4− = − = =
a−2 a−2 a−2 2−a a−2
L¨osningen d˚a 4−2a(cid:54)=0⇔a(cid:54)=2 blir d˚a

x= 2a−8
 a−2
y =1
z = 2
a−2
Men vi ¨ar inte klara, vi har fortfarande ett fall kvar att unders¨oka.
Fall 2: 4−2a=0. Detta intr¨affar precis d˚a a=2, och detta v¨arde p˚a a s¨atter
vi in i (∗):
 
1 0 2 4
 0 0 0 −4 
0 1 0 1
Den mittersta raden s¨ager att 0·x+0·y+0·z = −4 vilket aldrig kan uppfyllas.
Ekvationssystemet saknar d¨arf¨or l¨osningar d˚a a = 2. L¨osningarna vi fann i f¨orsta
fallet ¨ar allts˚a de enda l¨osniningarna. (cid:3)
Problem 4. L¨os f¨oljande ekvationssystem f¨or alla v¨arden p˚a parametern a:

(1+a)x+(2−2a)y+(−2)z =2

3x−3y−2z =2 .
(6a−2)x+(1−6a)y+(2−4a)z =4+4a
L¨osning. Vi anv¨ander den vanliga metoden och b¨orjar gausseliminera. H¨ar g¨aller
detattverkligensetillattmaninteslarvar,f¨ordetkommerblijobbigautr¨akningar.
Vi skriver om p˚a matrisform och dividerar mittenraden med 3:
 
1+a 2−2a −2 2
 1 −1 −2 2 ∼{Eliminera mha mittenraden}
3 3
6a−2 1−6a 2−4a 4+4a
 0 3−a 2a−4 4−2a 
3 3
 1 −1 −2 2 
3 3
0 −1 2 16
3 3
Det blev genast b¨attre. Vi forts¨atter att eliminera i mittersta och f¨orsta raden med
hj¨alp av sista raden:
 0 3−a 2a−4 4−2a 
3 3
 1 0 −4 −14 ∼
3 3
0 −1 2 16
3 3
 0 0 2 52−18a 
3 3
 1 0 −4 −14 
3 3
0 −1 2 16
3 3
Detkank¨annasfrestandeattmultipliceraf¨orstaradenmed3f¨orattslippan¨amnare,
men eftersom vi har 3 i n¨amnaren i h¨ogerledet, s˚a l˚ater vi det vara. Vi eliminerar
6 P.ALEXANDERSSON
nu med hj¨alp av f¨orsta raden och f˚ar
 0 0 2 52−18a   0 0 1 26−9a 
3 3
 1 0 0 30−12a ∼ 1 0 0 30−12a 
0 −1 0 6a−12 0 1 0 12−6a
Vi har d˚a l¨osningarna

x=30−12a

y =12−6a .
z =26−9a
Kundevil¨ostsystemetp˚an˚agotenklares¨att?Omvifunderarliten¨arvieliminerar
och letar efter parallella vektorer, (vektorer d¨ar ena vektorn ¨ar en multipel av
den andra), s˚a kan vi g¨ora utr¨akningarna betydligt enklare. Se alternativ l¨osning i
Problem 5. (cid:3)
Problem 5. L¨os ekvationssystemet i exempel 4 genom att eliminera smart.
L¨osning. Vi st¨aller upp systemet p˚a matrisform men vi dividerar inte mittenraden
med 3:
 
1+a 2−2a −2 2
 3 −3 −2 2 
6a−2 1−6a 2−4a 4+4a
H¨ar observerar vi att koefficienterna framf¨or a i tredje raden ¨ar (6,−6,−4) vilket
¨arparallelltmedkoefficienterna(3,−3,−2)irad2.S˚avisubtraherar2ag˚angerrad
2 fr˚an rad 3.
   
1+a 2−2a −2 2 1+a 2−2a −2 2
 3 −3 −2 2 ∼ 1 −2 0 6 
−2 1 2 4 −2 1 2 4
Nu observerar vi att koefficienterna framf¨or a i f¨orsta raden st¨ammer ¨overens med
andra raden. Vi eliminerar d˚a alla a i f¨orsta raden genom att subtrahera a g˚anger
radtv˚afr˚anradett.D¨arefteranv¨andsmittenradentillatteliminerai¨ovrigarader:
   
1 2 −2 2−6a 0 4 −2 −4−6a
 1 −2 0 6 ∼ 1 −2 0 6 
−2 1 2 4 0 −3 2 16
Vi dividerar f¨orsta raden med 2, f¨or att sedan addera den till rad tv˚a och tre:
   
0 2 −1 −2−3a 0 2 −1 −2−3a
 1 −2 0 6 ∼ 1 0 −1 4−3a 
0 −3 2 16 0 −1 1 14−3a
Addera 2 g˚anger rad 3 till rad 1 och anv¨and sedan rad 1 f¨or att eliminera resten:
   
0 0 1 26−9a 0 0 1 26−9a
 1 0 −1 4−3a ∼ 1 0 0 30−12a 
0 −1 1 14−3a 0 −1 0 6a−12
Detta ger (x,y,z)=(30−12a,12−6a,26−9a) och vi ¨ar klara. (cid:3)
EXEMPEL OCH LO¨SNINGAR I LINJA¨R ALGEBRA 7
3. Matriser
Detfinnsmycketatts¨agaommatriser,mendetabsolutviktigaste¨arattkomma
ih˚ag att matrismultiplikation inte ¨ar kommutativ. Detta inneb¨ar att om A och B
¨ar kvadratiska matriser, s˚a g¨aller det oftast att AB (cid:54)=BA.
Vi kommer att anv¨anda bokstaven E f¨or att beteckna enhetsmatrisen. Det ¨ar
en matris med ettor p˚a diagonalen, och nollor p˚a alla andra platser. Storleken p˚a
matrisen ¨ar underf¨orst˚att i dess sammanhang.
En viktig definition att komma ih˚ag ¨ar att om A och B ¨ar kvadratiska matriser
s˚a att AB =BA=E, s˚a ¨ar B inversen till A. Detta betecknas som B =A−1. En
matris kommuterar alltid med sin invers, AA−1 =A−1A=E.
Problem 6. Finn den 2×2−matris X som l¨oser matrisekvationen AX +B =C
d¨ar
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 3 1 2 2 4
A= , B = och C = .
2 4 −2 1 −2 3
L¨osning. Vi b¨orjar med att skriva om ekvationen som AX = C −B. Vi ber¨aknar
sedan C−B och f˚ar att
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
2 4 1 2 1 2
C−B = − =
−2 3 −2 1 0 2
S¨atter vi nu
(cid:18) (cid:19)
x x
X = 1 2
x x
3 4
s˚a blir ekvationen vi vill l¨osa f¨oljande:
(cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 3 x x 1 2
1 2 = .
2 4 x x 0 2
3 4
Matrismultiplikation ger att
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
x +3x x +3x 1 2
1 3 2 4 = .
2x +4x 2x +4x 0 2
1 3 2 4
Allaelementimatrisernap˚ab˚adasidornam˚astest¨amma¨overens,s˚avif˚arf¨oljande
ekvationssystem som vi l¨oser:
  
x +3x =1 x +3x =1 x =−2
2x1 +4x3 =0 −12x 3 =−2 x1 =1
1 3 ∼ 3 ∼ 3
2xx2++34xx4 ==22 x−22+x 3x4 ==−22 xx2 ==−11
2 4 4 4
(cid:18) (cid:19)
−2 −1
Allts˚a ¨ar X = .
1 1
Alternativt kan man finna X genom att vi vet
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)−1(cid:18) (cid:19)
x x 1 3 1 2
1 2 =
x x 2 4 0 2
3 4
och d¨arf¨or bara beh¨over ber¨akna matrisinversen i h¨ogerledet. (cid:3)
Problem 7. Finn alla kolonnvektorer v s˚a att Av=v, d¨ar
 
1 2 4
A=0 2 2.
3 1 6
8 P.ALEXANDERSSON
L¨osning. Vi vill finna v=(x,y,z) s˚a att
        
1 2 4 x x x+2y+4z x
0 2 2y=y⇔ 2x+2z =y
3 1 6 z z 3x+y+6z z
Alla tre koordinaterna m˚aste vara lika i VL och HL samtidigt, s˚a vi f˚ar ekvations-
systemet
 
x+2y+4z =x 2y+4z =0
 
2y+2z =y ⇔ y+2z =0
3x+y+6z =z 3x+y+5z =0
Detta l¨oser vi genom att skriva om p˚a matrisform och l¨osa med gausselimination.
   
0 2 4 0 0 1 2 0
 0 1 2 0 ∼ 0 1 2 0 ∼
3 1 5 0 3 1 5 0
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
3 1 5 0 3 0 3 0 1 0 1 0
∼ ∼
0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0
Eftersom kolonnen som motsvarar z inte ¨ar en enhetskolonn, s˚a parametriserar vi
z =t. D˚a ¨ar x=−t och y =−2t. De vektorer v som ¨ar p˚a formen t(−1,−2,1) d¨ar
t∈R ¨ar d˚a de vektorer som uppfyller Av=v. (cid:3)
Problem 8. Best¨am a och b s˚a att matriserna
   
1 0 0 1 a 0
 0 3 1  och  a 2 b 
0 1 2 0 b −1
kommuterar.
L¨osning. L˚at oss kalla f¨orsta matrisen f¨or X och den andra f¨or Y. Matriserna kom-
muterar om XY = YX. Vi beh¨over allts˚a bara ber¨akna de tv˚a produkterna, och
unders¨oka vad som m˚aste g¨alla. Matrismultiplikation ger oss att
   
1 a 0 1 3a a
XY = 3a b+6 3b−1 , YX = a b+6 2b+2 
a 2b+2 b−2 0 3b−1 b−2
Tittar vi i f¨orsta raden, tredje kolumnen, s˚a m˚aste a = 0. I andra raden, tredje
kolumnen, s˚a m˚aste 3b−1=2b+2, s˚a b=3. S¨atter vi in dessa v¨arden ¨overallt, s˚a
ser vi att produkterna verkligen blir lika och det ¨ar bara f¨or dessa v¨arden p˚a a och
b som matriserna kommuterar. (cid:3)
Problem9. MatrisernaAochB ¨arkommuterandekvadratiskamatriseravsamma
storlek, d¨ar A5 =B5 =0. Visa att (A+B)10 =0.
L¨osning. Matrisernakommuterar,vilketinneb¨arattAB =BA.Vikand˚aanv¨anda
oss av binomialsatsen och f˚ar att
10 (cid:18) (cid:19)
(cid:88) 10
(A+B)10 = AkB10−k.
k
k=0
Om k ¨ar ett tal mellan 0 och 10, s˚a g¨aller antingen k ≥ 5 eller 10−k ≥ 5. Detta
betyderattminstenavmatrisernaf¨orekommermedpotens5ivarjetermisumman
EXEMPEL OCH LO¨SNINGAR I LINJA¨R ALGEBRA 9
ovan. D˚a A5 =B5 =0, s˚a m˚aste d˚a varje term vara 0, och hela summan ¨ar d¨arf¨or
0. Allts˚a ¨ar (A+B)10 =0.
Om A och B inte kommuterar, s˚a g¨aller inte binomialsatsen: Till exempel s˚a ¨ar
(A+B)2 = A2+AB+BA+B2, s˚a vi ser h¨ar att binomialsatsen bara g¨aller om
AB =BA. (cid:3)
Problem 10. Visa att om A ¨ar en kvadratisk matris s˚a att (A−E)(E+A+A2+
A3+···+Ak)=0, s˚a ¨ar Ak =A−1.
L¨osning. Vi manipulerar likheten genom att utveckla den f¨orsta parentesen i ut-
trycket i h¨ogerledet, och sedan f¨orenkla:
(A−E)(E+A+A2+A3+···+Ak) = 0
⇔
A(E+A+A2+A3+···+Ak)−E(E+A+A2+A3+···+Ak) = 0
⇔
(A+A2+A3+···+Ak+Ak+1)−(E+A+A2+A3+···+Ak) = 0
Alla termer utom den sista i v¨anstra parentesen elimineras av n˚agot i den h¨ogra
parentesen, och vi har bara kvar Ak+1−E =0. Detta inneb¨ar att Ak+1 =E vilket
betyder att A(Ak)=E. D˚a g¨aller det att Ak =A−1. (cid:3)
4. Determinanter
F¨orst n¨ar man ¨agnar sig˚at volymfunktioner och linj¨ara avbildningar inser man
hela nyttan med determinanter, och det ¨ar f¨orst d¨ar man f¨orst˚ar anledningen till
varf¨or formlerna f¨or determinanter ser ut som de g¨or. Jag skall g¨ora ett f¨ors¨ok att
f¨orklara ungef¨ar vad en determinant ¨ar.
Determinanterm¨atervolymenavdevektorersommatrisenbest˚arav,(matrisens
rader), och detta avg¨or ocks˚a om man kan invertera matrisen. Determinanten ¨ar
samtidigt ett m˚att p˚a hur mycket en matris f¨orstorar en vektor vid matrismultipli-
kation.
Det ¨ar s˚a man kan tolka alla formler: Avbildningen AB f¨orstorar f¨orst med
faktor |B|, sedan med faktor |A|. Totalt m˚aste AB f¨orstora lika mycket som att
f¨orst f¨orstora med B och sedan med A, s˚a |AB| = |A||B|. Med samma motivering
f˚as att |AB|=|BA|. Om jag p˚a n˚agot s¨att minskar n˚agot s˚a att det f¨orsvinner, s˚a
kan jag om¨ojligt g¨ora detta bakl¨anges. En matris med determinant 0 m˚aste allts˚a
sakna invers.
Problem 11. Finn |B| givet att |C|=2 och CA−1BACt =E d¨ar A,B och C ¨ar
3×3-matriser och A ¨ar inverterbar. Vilka av matriserna B och C ¨ar inverterbara?
L¨osning. Vi tar determinanten p˚a b˚ada sidor av den givna likheten och f˚ar
|CA−1BACt|=|E|.
Anv¨ander man nu [Ten05, Sats 5.8] samt att |E|=1 f˚ar vi att
|C||A−1||B||A||Ct|=1.
Vivetatt|C|=2ochd˚aatt|Ct|=2enligt[Ten05,Sats5.9],samtatt|A|·|A−1|=1
enligt [Ten05, Sats 5.12]. Detta ger oss att 22 ·|B| = 1, s˚a |B| = 1/4. En matris
¨ar inverterbar om och endast om dess determinant ¨ar nollskild. Vi ser att detta ¨ar
sant f¨or b˚ade B och C, s˚a dessa har invers. (cid:3)
10 P.ALEXANDERSSON
Problem 12. F¨or en viss matris A g¨aller det att A3−A = 0. Visa att minst en
av matriserna A, A−E och A+E saknar invers.
L¨osning. Vi skriver om likeheten A3 −A = 0 till A(A2 −E) = 0 och sedan till
A(A − E)(A + E) = 0 genom att anv¨anda konjugatregeln. Detta g˚ar att g¨ora
eftersom alla matriser som ing˚ar kommuterar. Tar vi determinanten p˚a b˚ada sidor,
s˚a inser vi att |A||A − E||A + E| = 0, och om en produkt av tre tal ¨ar 0, s˚a
m˚aste det g¨alla att minst ett av talen ¨ar 0. (Observera att detta inte inneb¨ar att
n˚agonavmatrisernaiprodukten¨arnollmatrisen.)S˚an˚agonavdeterminanternaf¨or
matrisernaA,A−E ochA+E ¨arnoll,ochdenmatrisen¨ard˚ainteinverterbar. (cid:3)
Problem 13. F¨or vilka v¨arden p˚a a ¨ar determinanten till M nollskild, om
 
1−a 0 0
M = 10 2−a 1?
1 1 a
L¨osning. Vi ber¨aknar determinanten med hj¨alp av Sarrus regel, som presenteras i
[Ten05, Figur 5.10]. Det g¨aller d˚a att
|M| = (1−a)(2−a)a+0·1·1+0·10·1
−(1−a)·1·1−0·10·a−0·(2−a)·1
= (2−2a−a+a2)a−(1−a)
= a3−3a2+3a−1
Det sista uttrycket b¨or man k¨anna igen som (a−1)3, och determinanten ¨ar allts˚a
skild fr˚an noll om a(cid:54)=1. (cid:3)
Problem 14. Visa att oavsett v¨arde p˚a a ∈ R s˚a ¨ar determinanten f¨or nedanst˚a-
ende matris aldrig negativ:
 
1 1 1
1 a+1 a+1
1 a+1 2a+1
L¨osning. Vi ber¨aknar determinanten med Sarrus regel och f˚ar att denna blir
(a+1)(2a+1)+(a+1)+(a+1)−(a+1)2−(2a+1)−(a+1)=a2
Eftersom kvadraten p˚a ett reellt tal aldrig ¨ar negativ, har vi visat p˚ast˚aendet. (cid:3)
Problem 15. L¨os ekvationssystemet
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)1 2 3(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)x x2 x3(cid:12)=0.
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)4 5 6(cid:12)
L¨osning. Vi ber¨aknar determinanten med Sarrus regel och f˚ar att ovanst˚aende blir
6x2+8x3+15x−5x3−12x−12x2 =3x3−6x2+3x
Vi vill allts˚a l¨osa 3x3−6x2+3x = 0 vilket efter division med 3 och faktorisering
blir x(x−1)2 =0. L¨osningarna blir d˚a x =0,x =1. (cid:3)
1 2