Everything You Always Wanted To Know About Mathematics

698 Pages·2013·2.72 MB·English

Everything You Always Wanted To
Know About Mathematics
*
(*But didn’t even know to ask)
A Guided Journey Into the World of Abstract
Mathematics and the Writing of Proofs
Brendan W. Sullivan
[email protected]
with Professor John Mackey
Department of Mathematical Sciences
Carnegie Mellon University
Pittsburgh, PA
May 10, 2013
This work is submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree
of Doctor of Arts in Mathematical Sciences.
2
Contents
I Learning to Think Mathematically 11
1 What Is Mathematics? 13
1.1 Truths and Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Triangle Tangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.2 Prime Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.3 Irrational Irreverence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Exposition Exhibition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1 Simply Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.2 Write Right . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.3 Pick Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.4 Obvious Obfuscation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3 Review, Redo, Renew . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.1 Quick Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.2 Algebra Abracadabra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.3 Polynomnomnomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.3.4 Let’s Talk About Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.3.5 Notation Station . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.4 Quizzical Puzzicles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4.1 Funny Money . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4.2 Gauss in the House . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.4.3 Some Other Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.4.4 Friend Trends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.4.5 The Full Monty Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.5 It’s Wise To Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.6 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2 Mathematical Induction 101
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.1.1 Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.1.2 Segue from previous chapter. . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.1.3 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.1.4 Goals and Warnings for the Reader. . . . . . . . . . . . . 103
2.2 Examples and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.2.1 Turning Cubes Into Bigger Cubes . . . . . . . . . . . . . 104
3
4 CONTENTS
2.2.2 Lines On The Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.2.3 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.3 Defining Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.3.1 The Domino Analogy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.3.2 Other Analogies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.3.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.4 Two More (Different) Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.4.1 Dominos and Tilings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.4.2 Winning Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.4.3 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.5.1 Recursive Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.5.2 The Tower of Hanoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.5.3 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.7 Chapter Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.8 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3 Sets 149
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.1 Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.2 Segue from previous chapter. . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.1.3 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.1.4 Goals and Warnings for the Reader. . . . . . . . . . . . . 151
3.2 The Idea of a “Set”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.3 Definition and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.3.1 Definition of “Set” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.3.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.3.3 How To Define a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.3.4 The Empty Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.3.5 Russell’s Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.3.6 Standard Sets and Their Notation . . . . . . . . . . . . . 162
3.3.7 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.4 Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.4.1 Definition and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.4.2 The Power Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.4.3 Set Equality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4.4 The “Bag” Analogy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.5 Set Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5.1 Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5.2 Union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.5.3 Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.5.4 Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.5.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
CONTENTS 5
3.6 Indexed Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.6.2 Indexed Unions and Intersections . . . . . . . . . . . . . . 181
3.6.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.6.4 Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.6.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.7 Cartesian Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.7.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.7.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.7.3 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.8 Defining the Natural Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.8.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.8.2 Principle of Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . 193
3.8.3 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.9 Proofs Involving Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
3.9.1 Logic and Rigor: Using Definitions . . . . . . . . . . . . . 194
3.9.2 Proving “ ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
⊆
3.9.3 Proving “=” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3.9.4 Disproving Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3.9.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.10 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.11 Chapter Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.12 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4 Logic 215
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.1.1 Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.1.2 Segue from previous chapter. . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.1.3 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.1.4 Goals and Warnings for the Reader. . . . . . . . . . . . . 216
4.2 Mathematical Statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.2.2 Examples and Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.2.3 Variable Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.2.4 Word Order Matters!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.2.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.3 Quantifiers: Existential and Universal . . . . . . . . . . . . . . . 226
4.3.1 Usage and notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
4.3.2 The phrase “such that”, and the order of quantifiers . . . 229
4.3.3 “Fixed” Variables and Dependence . . . . . . . . . . . . . 230
4.3.4 Specifying a quantification set. . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.3.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.4 Logical Negation of Quantified Statements . . . . . . . . . . . . . 235
4.4.1 Negation of a universal quantification . . . . . . . . . . . 235
4.4.2 Negation of an existential quantification . . . . . . . . . . 236
4.4.3 Negation of general quantified statements . . . . . . . . . 237
6 CONTENTS
4.4.4 Method Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.4.5 The Law of the Excluded Middle . . . . . . . . . . . . . . 240
4.4.6 Looking Back: Indexed Set Operations and Quantifiers . 241
4.4.7 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.5 Logical Connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.5.1 And . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.5.2 Or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.5.3 Conditional Statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.5.4 Looking Back: Set Operations and Logical Connectives . 255
4.5.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.6 Logical Equivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
4.6.1 Definition and Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.6.2 Necessary and Sufficient Conditions . . . . . . . . . . . . 263
4.6.3 Proving Logical Equivalences: Associative Laws . . . . . . 264
4.6.4 Proving Logical Equivalences: Distributive Laws . . . . . 268
4.6.5 Proving Logical Equivalences: De Morgan’s Laws (Logic) 269
4.6.6 Using Logical Equivalences: DeMorgan’s Laws (Sets) . . . 270
4.6.7 Proving Set Containments via Conditional Statements . . 271
4.6.8 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
4.7 Negation of Any Mathematical Statement . . . . . . . . . . . . . 278
4.7.1 Negating Conditional Statements . . . . . . . . . . . . . . 278
4.7.2 Negating Any Statement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
4.7.3 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
4.8 Truth Values and Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
4.9 Writing Proofs: Strategies and Examples. . . . . . . . . . . . . . 286
4.9.1 Proving Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
∃
4.9.2 Proving Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
∀
4.9.3 Proving Claims. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
∨
4.9.4 Proving Claims. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
∧
4.9.5 Proving = Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
⇒
4.9.6 Proving Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
⇐⇒
4.9.7 Disproving Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
4.9.8 Using assumptions in proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
4.9.9 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
4.10 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
4.11 Chapter Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
4.12 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
5 Rigorous Mathematical Induction 321
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
5.1.1 Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
5.2 Regular Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.2.1 Theorem Statement and Proof . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.2.2 Using Induction: Proof Template . . . . . . . . . . . . . . 324
5.2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
5.2.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
CONTENTS 7
5.3 Other Variants of Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
5.3.1 Starting with a Base Case other than n=1 . . . . . . . . 331
5.3.2 Inducting Backwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
5.3.3 Inducting on the Evens/Odds . . . . . . . . . . . . . . . . 335
5.3.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.4 Strong Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
5.4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
5.4.2 Theorem Statement and Proof . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.4.3 Using Strong Induction: Proof Template . . . . . . . . . . 348
5.4.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
5.4.5 Comparing “Regular” and Strong Induction . . . . . . . . 355
5.4.6 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
5.5 Variants of Strong Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
5.5.1 “Minimal Criminal” Arguments . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.5.2 The Well-Ordering Principle of N . . . . . . . . . . . . . . 362
5.5.3 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
5.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
5.7 Chapter Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
5.8 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
II Learning Mathematical Topics 375
6 Relations and Modular Arithmetic 377
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
6.1.1 Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
6.1.2 Segue from previous chapter. . . . . . . . . . . . . . . . . 378
6.1.3 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
6.1.4 Goals and Warnings for the Reader. . . . . . . . . . . . . 379
6.2 Abstract (Binary) Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
6.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
6.2.2 Properties of Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
6.2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
6.2.4 Proving/Disproving Properties of Relations . . . . . . . . 386
6.2.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
6.3 Order Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
6.3.1 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
6.4 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
6.4.1 Definition and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
6.4.2 Equivalence Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
6.4.3 More Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
6.4.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
6.5 Modular Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
6.5.1 Definition and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
6.5.2 Equivalence Classes modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . 423
6.5.3 Multiplicative Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
8 CONTENTS
6.5.4 Some Helpful Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
6.5.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
6.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
6.7 Chapter Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
6.8 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
7 Functions and Cardinality 467
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
7.1.1 Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
7.1.2 Segue from previous chapter. . . . . . . . . . . . . . . . . 468
7.1.3 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
7.1.4 Goals and Warnings for the Reader. . . . . . . . . . . . . 469
7.2 Definition and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
7.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
7.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
7.2.3 Equality of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
7.2.4 Schematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
7.2.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
7.3 Images and Pre-images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
7.3.1 Image: Definition and Examples . . . . . . . . . . . . . . 482
7.3.2 Proofs about Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
7.3.3 Pre-Image: Definition and Examples . . . . . . . . . . . . 493
7.3.4 Proofs about Pre-Images. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
7.3.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
7.4 Properties of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
7.4.1 Surjective (Onto) Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
7.4.2 Injective (1-to-1) Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
7.4.3 Proof Techniques for Jections . . . . . . . . . . . . . . . . 506
7.4.4 Bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
7.4.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
7.5 Compositions and Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
7.5.1 Composition of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
7.5.2 Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
7.5.3 Bijective Invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
⇐⇒
7.5.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
7.6 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
7.6.1 Motivation and Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
7.6.2 Finite Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
7.6.3 Countably Infinite Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
7.6.4 Uncountable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
7.6.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
7.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
7.8 Chapter Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
7.9 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
CONTENTS 9
8 Combinatorics 567
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
8.1.1 Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
8.1.2 Segue from previous chapter. . . . . . . . . . . . . . . . . 568
8.1.3 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
8.1.4 Goals and Warnings for the Reader. . . . . . . . . . . . . 569
8.2 Basic Counting Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
8.2.1 The Rule of Sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
8.2.2 The Rule of Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
8.2.3 Fundamental Counting Objects and Formulas . . . . . . . 580
8.2.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
8.3 Counting Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
8.3.1 Poker Hands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
8.3.2 Other Card-Counting Examples. . . . . . . . . . . . . . . 595
8.3.3 Other Counting Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
8.3.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
8.4 Counting in Two Ways . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
8.4.1 Method Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
8.4.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
8.4.3 Standard Counting Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
8.4.4 Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639
8.4.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
8.5 Selections with Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
8.5.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
8.5.2 Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
8.5.3 Equivalent Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
8.5.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
8.5.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
8.6 Pigeonhole Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
8.6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
8.6.2 Statement and Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
8.6.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
8.6.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656
8.7 Inclusion/Exclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
8.7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
8.7.2 Statement and Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
8.7.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
8.7.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
8.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
8.9 Chapter Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
8.10 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
10 CONTENTS
A Definitions and Theorems 671
A.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
A.1.1 Standard Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
A.1.2 Set-Builder Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
A.1.3 Elements and Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
A.1.4 Power Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
A.1.5 Set Equality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
A.1.6 Set Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
A.1.7 Indexed Set Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
A.1.8 Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
A.2 Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675
A.2.1 Statements and Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . 675
A.2.2 Quantifiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675
A.2.3 Connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676
A.2.4 Logical Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677
A.2.5 Proof Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678
A.3 Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
A.3.1 Principle of Specific Mathematical Induction . . . . . . . 680
A.3.2 Principle of Strong Mathematical Induction . . . . . . . . 680
A.3.3 “Minimal Criminal” Argument . . . . . . . . . . . . . . . 681
A.4 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682
A.4.1 Properties of Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682
A.4.2 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682
A.4.3 Modular Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684
A.5 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
A.5.1 Images and Pre-Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
A.5.2 Jections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
A.5.3 Composition of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
A.5.4 Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
A.5.5 Proof Techniques for Functions . . . . . . . . . . . . . . . 688
A.6 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
A.6.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
A.6.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
A.6.3 Standard Catalog of Cardinalities. . . . . . . . . . . . . . 694
A.7 Combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
A.7.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
A.7.2 Counting Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
A.7.3 Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
A.7.4 Standard Counting Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
A.7.5 Counting In Two Ways . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
A.7.6 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
A.7.7 Inclusion/Exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
A.7.8 Pigeonhole Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
A.8 Acronyms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
A.8.1 General Phrases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
A.8.2 Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698